К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Найти коэффициент трения скольжения. у 2.134. Материальная точка Т нахо- А днтся в верхнем полюсе А неподвиж- ной шероховатой полусферы радиуса В. Какую начальную горизонтальную скорость се нужно придать точке, чтобы она, начав движение, остановилась на поверхности полусферы? О Х Считать, что коэффициенты трения К задаче 2З34. скольжения и покоя одинаковы и рав- ны 1. 2.5. Движение при наличии трения 2.135. Материальная точка Т находится в нижнем полюсе В внутренней части неподвижной шероховатой сферы радиуса В. При каких значениях начальной горизонтальной скорости точка достигнет верхнего полюса А сФеры? Коэффициент трения скольжения равен 1.
К задаче 2.135. 2.136. Материальная точка А под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось Оз которой вертикальна. Поверхность задана уравнением х = а ° ~р + ~?г'?. Коэффициент трения точки о поверхность равен з. Найти условие, у при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от К задаче 2.136. оси АВ = гс, т.е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения.
Указание. Воспользуйтесь представлением движения с помощью естественного трехгранника. 2.137. На два одинаковых вращаю! 2 щихсл в противоположные стороны С цилиндрических шкива свободно ног г 1 2 ложен однородный стержень. Центры >+ — + +- 1 Х шкивов лежат на одной горизонтальной примой, расстояние между ними равно 21. Стержень движется под К задаче 2 137.
действием сил трения, возникающих в точках касания со шкивами. Эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, коэффициент трения равен 1. м Определить движение стержня, если его сдвинуть на расстояние хс при нулевой начальной скорости. 3. Найти значение коэффициента трения ?, при котором период колебаний стержня будет равен Т.
78 Глава 2. Динамика 2 .138. Материальная точка с начальной скоростью ез движется в поле силы тяжести вверх по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент трения скольжения равен 1. При каких значениях угла а точка вернется в начальное положение, и какова будет ее скорость в этот момент? 2.139. Доска массы М движется по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы Р. КоМ 1з эффицент трения между доской и плоскостью равен /. На доске лежит однородный круглый цилиндр К задаче 2.139. массы т, который может катиться по доске без проскальзывания. Определить ускорение доски.
2.140. Найти условие возможности качения без проскальзывания круглого цилиндра радиуса г, положенного без начальной скорости на шероховатую наклонную плоскость,образующую с горизонтом угол о. Коэффициент трения скольжения равен 1. Радиус инерции цилиндра относительно оси симметрии равен л. А В 2.141. Ведущее колесо А снегоочи- ститетя имеет радиус г и массу Мы "( равномерно распределенную по ободу.
К колесу приложен постоянный вращающий момент т. Суммарная масса снега С, щита В и других поступательно движущихся частей постоянна и равна Мз. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен ~, коэффициент трения качения колеса о землю равен Д,. Найти зависимость между путем, пройденным щитом В, и модулем его скорости. В начальный момент система покоилась. М, 2.142. К диску массы М, и радиу- А са г приложен постоянный вращаю- /И щий момент т. На диск намотана М2 невесомая нить, к свободному кон- цу которой привязан груз массы Мз, а который поднимается по наклонной плоскости, образующей угол о с горизонтом.
Коэффициент трения груза о плоскость равен 1. Какую угловую скорость приобретет диск, повернувшись на угол ф? 2зн Движение при наличии трения 2.143. Ведущее колесо автомобиля имеет радиус г и массу М, его ось движется горизонтально и прямолинейно. Радиус инерции колеса относительно его оси равен р. К колесу приложен вращающий момент вь Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен 1. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент, чтобы колесо катилось без проскальзывания? 2.144.
Решить предыдущую задачу с учетом трения качения. Коэффициент трения качении равен ~„. 2.145. Ведомое колесо автомобиля имеет радиус г н массу М, его ось движется горизонтально и прямолинейно. Радиус инерции колеса относительно его оси равен р. К оси колеса приложена горизонтальная сила Р.
Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен 1. Какому условию должна удовлетворять приложенная сила, чтобы колесо катилось без проскальзывания? 2.146. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения. Коэффициент трения качения равен 1к. 2.147. Колесо радиуса г и массы М, равномерно распределенной по его ободу, движетсн из состояния покоя по прямолинейному горжзонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента 5 ьч = — 1Мдг, 2 где 1 — — коэффициент трения скольжения. Найти скорость проскальзывания — скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом. 2.148.
Решить предыдущую задачу с учетом трения качения. Коэффициент трения качении ранен 1, = 51 . г. 1 2.149. Однородный цилиндр, ось которого горизонтальна, под действием силы тяжести катится с проскальзыванием по наклонной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен ?. Какие значения может принимать угол наклона плоскости к горизонту, н каково будет ускорение оси цилиндра? 2.150.
Однородный цилиндр радиуса г катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Начальнан скорость его оси равна еш коэффициент трения качения равен Б. Какое расстояние пройдет ось цилиндра до остановки? 80 Глава 2. Динамика 2.181. Садовый каток лежит на земле не так, что его ручка длины 1, одинакового с ним веса, опирается о землю, Центру катка сообщают начальную скорость ез. Найти, на каком расстоянии остановится каток, если К задаче 2.151.
коэффициент трения качения катка равен з, а коэффициент трения скольжения между ручкой катка и землей равен 1. Считать, что центр тяжести ручки находится в ее середине. 2.152. Цилиндр радиуса г находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Коэффициент трения скольжения равен 1, условия чистого качения не выполнены, т. е. йз+ 2 18 о ) йз где я — радиус инерции цилиндра относительно его оси. В начальный момент времени цилиндр находился в покое.
Найти движение цилиндра. Ответы 1.1. о = -Ь вЂ”" ° ~Я2а — г). еи 1.2, Логарифмическая спиразь =- гас ь; закон движения Ь /сс г= ге+ей и= — )п) — +1). с га 1.3. Окружность радиуса — ', касающаяся в полюсе полярной оси. 2~ 3' 1 4. Окружность радиуса Ь с центром в точке О. 1.6. г= - — — е —, о=-=сопли с — Ьге(у — Ме) ' их + Ьш" + хх ~ух — ху)з + (хх — хл)е + (ху — ух)з 1.3.
а , о„=- где е = -„/хгз + рг + -з, з Ьз 1.9. д = - — ~Ь + ~с — тех) ); в вершине траектории р = —. Д ' 1.10. Логарифмическая спираль г = Ье"; е = ~/21г, а = 21~с, р = ~/2г. 1.11. Цешюл линия р = ЬсЬ 1 Ь ); радиус кривизны р = гЬ-. 1.12. в = (О; ЬЬ; и), а = (-ЬЬз; О; О); касательное и нормальное устсорения равны а„= О и о„= Ьх; 2, ЬЬ радиус кривизны равен р = †ф †~-. ЬЬ 1.13. Лаксодромия 13 ( — + $) = 13 ( + ) е~ 2 ез ез 2 1.14. а, = — ~-, ах = -Л.мпосоеоСВИ, а„=. — Л-е1п осВх; г з А Я где Л вЂ” радиус Земли, о =- ие + ~ — ~~~ — о. 1.1$.
Логарифмическая спираль г = гее е "х При о = х — окружность г = ге,' при о = О или а = 1г — прямал,р = О. 2 2 1.18. е =- —,Ъ е2+ е2 — 2е1езссво. еш и 1.17. г = го ссВ" оесВ" о, где Ь = Я-, о = ф. 1.13. е = ыЯ. 1.22. ОМ = г = $е1пыа Траектория — окружность радиуса 2е —, касающаяся оси Ох в точке О. Ускорение а = 2еы направлено к центру окружности.
Ответы 82 а = ао 4оггзоог созг огс+ (огг + (огг + огог) взп огре)г = В'-огг яп ' а = ~-з/(2 — оггоггег совг ые)2 + 12~~22212(4совоге — звсйпоге)2 т р+*'р, = оГ Сг р~*'»', г образует угол агсгйп ~~ с перпендикуляром к хорде. Р 1.26. Точка М движется по неподвижной прямой, на которой в начальный момент лежат точки М, О и С со скоростью е = 2от мп мг и ускорением а = ы~ .
МС. 1.27. Траектория — окружность радиуса вз-, проходюцая через центр В диска; е = Лог, а = 22аог. 1,28, — Ь вЂ” св 'Р сов Вг 1.23. а = — У вЂ” 2ога — ог х — е а —, И х о(у г Йо йг аг аг ' ар = — 7 + 2ог а- — ы р+ х —. Г' $2 згх 2 око Ж сй 1.30. 1) Траектория — окружность радиуса ~~-, описываемая со скоростью ео 2) Траектория — окружность радиуса со с центром в начале координат, описываемая со скоростью еу-. 1.31.
а = еог взвоз/ыгег + 1 .... = г, ~ —,Зло*о;..ь',>.*, е. г 1.33. а о =- ~~-~/с + з- м/с . 1.34. а,, = ео+ыгйов!пгез+2огггг72ег(1-~-совгоо). 1.35. аг = гог — —, аз = Згог + ив аг = ао = 2ги + а.. 1.36. е о = ео 1.37. ес = ас = 1.38. ея = й е, 22 + Ьг г г г /(„'+ )г „212' )з 1.40. х = —" агсвзп Т 4- ~,/)2 — уг — й 1.41.
азор — — 2,91 10 м/с . Ответы 33 1.43. а,р —— 1,69 10 з м/сз, а =3,33 10 ~ и/сз, а р — — 1,61 10 ~ м/сз. 1.43. В сферических координатах г, сг и 3 скорость и ускорение равны и = (О; езИ; сПЬ е1п р), а = ( — И~(ез+е~1 зшгрсоз р); 1(ез — (щсз(п р) ); 1(е1е1п <р+2е1езй совр)). 1.44. Ускорение равно ам — ы (ро(1 — а) 42ре + 1)) и напРавлено вертикально вверх, если выражение в скобках положительно.
1.47. а = ел — Т~+ ~- сд р+ ))3+$ — 2(ея е1п р — ел сов ~о)ы, з аз — — ем+ ззтвдг Сдлс+ ~УЩ+ (В+Л)ы~ з1п ЛзсоЕЛР+ 2елмеш1р, е +е г а, = ел — " — (В+ Ь)м соз р — 2евм сов:р. г г + 1.43. Обе центроиды — одинаковые эллипсы с полуосями Ь и;/Ьз — сз; фокусы неподвижной центроиды — точки А н В, подвижной — точки С и В. Точка касания центроид Р— мгновенный центр вращения. 1А9.
Две одинаковые гиперболы с действительной осью, равной 2Ь, фокусы неподвижной центронды совпадают с А и В, фокусы подвзпкной ценхроиды совпадают с С и Р. 1.50. Неподвижная центроида — - окружность радиуса 1 с центром в точке О; подвижная центроида — окружность радиуса з с центром в 2 2 сеРеДине стеРжнЯ. ТРаектоРии — эллипсы — х — т 4 -Ут = 1; (1 — гп) ш 1 — т т ша е и, ез — — — — иссб~Р, аз = О, а„=— 1 сйпэ м где лз = 2ОАВ. 1.31. Неподвижная центроида — окружность, проходящая через точки О, М и Х; подвижная — окружность вдвое большего радиуса, чем первая, с центром в точке О.
Мгновенный центр вращения (точка соприкосновения центроид) находится на неподвижной центроиде в точке, диаметрально противоположной точке О. 1.52. Траектория точки, находящейся на расстоянии с от конца А, есть «улитка Паскаля», которая в полярных координатах с началом в точке М и полярной осью, проходящей через точку О, задается уравнением р = 2г сое д — с. Неподвижная центроида — данная окружность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
