К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Я Р(е) + В(е) (2.8) ~Й Поскольку Я = Мис, то из соотношения (2.8) можно получить теорему о движении центра масс системы материальных точек ис Р(е) В(е) Й Иными словами, центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе всей системы, под действием всех внешних сил. Если выполняется равенство Р(') + В(') = О, то вектор коли- чества движения системы не изменяется: Ц = Мис = С, где С вЂ” постоянный вектор. Этот первый интеграл называют законом сохранения количества движения системы.
В этом случае центр масс системы движется равномерно и прямолинейно. Если сумма Р(') + В~~~ ф О, но равна нулю сумма проекций всех внешних сил на некоторую неподвижную ось Ок, то получим (.,) = сопя(, йс = сова(, т.е, проекция на ось Оз центра масс системы точек будет двигаться равномерно. Теорема об изменении кинетического момента.
Производная по времени от кинетического момента системы материальных то- чек относительно неподвижного центра О равна сумме главного (е) момента Мо всех деиствующих на систему заданных внешних сил и главного момента Хо реакций внешних связей, т.е. (е) с(КО (е) (е) — =М, +Е,. Й Если сумма этих моментов равна нулю, Мо + Ьо — — О, то имеет (е) (е) место первый интеграл к =с, где С вЂ” постоянный вектор. Этот первый интеграл называют законом сохранения вектора кинетического момента. Глава 2. Динамика 60 Если существует неподвижная ось 0» такая, что относительно нее сумма моментов всех внешних сил и реакций внешних связей равна нулю, то имеет место первый интеграл Ко, = сопв1, т. е, сохраняется кинетический момент относительно оси 0». Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек.
Дифференциал кинетической энергии системы материальных точек равен сумме элементарных работ всех заданных сил и реакций связей на действигельных перемещениях точек, в которых они приложены, ИТ=" Р .Ыг +~ В„ог Если выполнены следукнцие условия: и сумма элементарных работ реакций связей на действительных Ю перемещенинх равна нулю ~~ ль - Нг = О; и=1 и 2. существует функция 1» такая, что ~~ Р Нг„= — У, н=1 то имеет место первый интеграл Т+ $' = й, где й — постоянная. Этот первый интеграл называют законом сохранения полной механической энергии.
Если удается получить систему уравнений, не содержащих реакций связей, определение движения системы сводится к интегрированию системы и дифференциальных уравнений второго порядка, где и — число степеней свободы системы. Возможными 1виртпуолвными) перемещениями точек системы называются перемещения, задаваемые любым набором векторов 6г = (6ию дрю 6»„), и = 1, ..., Ю, удовлетворяющих условиям (ду (1, гы ..., гл. ) ВУ" (1, гы ..., гн) и=1 + ' ' '' 6») =О, а=1,...,1.
дЛ,(8, и,, ..., гж) д» 2.3. Динамика системы точек Связи называются идеальными, если на любых возможных перемещениях системы выполняется условие Ю 1ь бг,=0, ь=-1 т. е. сумма работ реакций связей на любых возможных перемещениях системы равна нулю. Реакции селзеб — это прилагаемые к точкам рассматриваемой системы дополнительные силы, которые при мысленном удалении связей обеспечивают такие же движения точек системы, как и при наличии связей. Уравнения движения точек системы после введения реакций связей записывают в форме и=1,...,п, (2.9) гпг„= Р + ль„, где Р и 1х — — равнодействующие заданных сил и реакций связей, действующих на и-ю точку, соответственно. В этом состоит принцип освобождаемости от связей.
Из условия идеальности связей и уравнения (2.9) следует общее уравнение динамики, которое часто называют также принПипом Даламбера — Лаеранлса: М (гп й — Р„) бг = О. (2. 10) и=1 Этот принцип позволяет записывать разные формы уравнений движения, не содержащих реакции связей. 1) Если среди возможных перемещений системы в любой момент времени есть поступательное перемещение всей системы как твердого тела параллельно некоторому неподвижному направлению, например оси Оя, то производная по времени от проекции количества движения системы ва это направление равна сумме проекций внешних заданных сил на это направление, т.
е. «й~, Дс -' 2) Если среди возможных перемещений системы в любой момент времени есть вращение всей системы как твердого тела вокруг некоторой неподвижной оси, например Оз, то производная по времени от кинетического момента относительно этой Глава 2. Динамика ег оси равна сумме моментов внешних заданных сил, т. е. 3) Если действительные перемещения системы находятся среди возможных перемещений, то имеет место теорема об изменении кинетической энергии системы ИТ = ~г', й;.
ьКс ще хе о+ о сг1с = „~,р ссР +~~' ж .ссРч, где ор, - — относительное действительное перемещение и-й точки системы в осях Кенига. ЗАДАхМИ 2.8а. Найти абсолютную траекторию шарика А массы т, скатывающегося по поверхности абсолютно гладкого цилиндра массы М и радиуса Д, лежащего на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Движение начинается нз состояния покоя. К задаче 2.85. Изложенные теоремы справедливы в инерциальной системе отсчета.
В неинерциальной системе отсчета этн теоремы также могут быть применены, если к заданным силам н реакциям связей добавить силы инерции — переносные и кориолисовы. Особым преимуществом обладают оси Кенига, поскольку в них теоремы об изменении кинетического момента и кинетической энергии сохраняют такой же вид, как в инерциальной системе отсчета, а именно, 2.3. Динамика системы точек вз 2.86. Электрический мотор с корпусом массы М1 установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте: на валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 2) и массы Мз, на другой конец стержня насажен точечный груз массы Мз, угловая скорость вала равна м.
Определить: 1) горизонтальное движение корпуса К задаче 2.бб. мотора при условии, что в начальный момент корпус покоился; г) при каких значениях угловой скорости ы вала электромотор, не закрепленный на фундаменте, будет подпрыгивать над ним; з) наибольшее значение горизонтальной составляющей реакции, если корпус электромотора закрепить на фундаменте. 2.87. На абсолютно глалкой горизонтальной плоскости лежит обруч радиуса а и массы М, вдоль которого в некоторый момент начинает ползти жук массы т. Найти траектории центра обруча и жука. 2.88. Горизонтальная однородная трубка ОА массы М и длины 2! А вращается по инерции с угловой скоростью ще вокруг неподвижной вер- м е тикальной оси, проходящей через конец О.
В трубке в середине отрез- К задаче 2.88. ка ОА закреплен шарик массы пз. В некоторый момент шарик освободили. Найти угловую скорость трубки после того, как шарик выскочит из нее. 2.89. Определить, с какой угловой ~Ь скоростью упадет на землю спиленное дерево массы М, если его центр масс С расположен на расстоянии Ь от основания, а момент сил сопрогивления воздуха равен т, = †)е)е~, где Й = сопл). Момент инерции дере- К задаче 2.В9. ва относительно оси з, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен ). Глава 2. Динамика 64 2.91. Концы однородного стержня массы М и длины 21 скользят по неподвижной гладкой горизонтальной окружности радиуса В, й > К По стержню движется материальная точка массы т с относительной скоростью е = а 1, а = сопя1.
В начальный момент стержень покоится, а точка находится в его середине. Найти закон движения стержня, определяя его положение углом О с некоторым неподвижным направлением (. 2.92. На однородный диск радиуса г и массы т намотана невесомая нить, конец которой прикреплен к вертикальной стене. Найти ускореяие центра диска, угловое ускорение диска, натяжение нити и реакцию стены в точке касания при движении диска вниз. 2.93.
Однородный цилиндр массы М под действием силы тяжести катится без проскальзывания по наклонной плоскости, составляющей угол о с горизонтом. Найти ускорение центра масс цилиндра, давление цилиндра на плоскость, а также силу трения,препятствуюшую скольжению цилиндра,. 2.94. Однородный цилиндр массы М и радиуса г двилеется по наклонной плоскости, составляющей угол и с горизонтом.
На цилиндр намотана К задаче 2.9К К задаче 2.92. К задаче 2.94 2.90. Две свободные материальные точки с массами чв, и тз притягиваются друг к другу силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, коэффициент пропорциональности равен 1. В начальный момент точки покоятся, расстояние между ними равно а. Найти скорости точек в тот момент, когда расстояние между ними уменьшится вдвое. 2.3, Динамика системы точек К задаче 2.97 нить, не проскальзывающая по нему; свободный конец А нити тянут вверх вдоль наклонной плоскости с постоннным ускорением ос. Найти ускорение центра масс цилиндра н натяжение нити. Исследовать случаи о =- 0 и а = е. 2' 2.95.
Для предыдущей задачи найти, с каким ускорением надо тянуть вверх нить, чтобы цилиндр вращался на месте. Найти натяжение нити в атом случае. Рассмотреть случай о = 90'. 2.96. Диск радиуса г может катиться без проскальзывания по горизонтальной прямой. Центр масс диска находится в точке С, не совпадающей с его центром О, расстояние а ОС = а. Радиус инерции диска.относительно оси, перпендикулярной его г~ 9' плоскости и проходящей через точку С, равен Е В начальный момент отрезок ОС образует с вертикалью К задаче 2.96.
угол у = чзе и ~р = О. Найти угловую скорость диска как функцию угла у. Найти период малых колебаний около положении равновесия. 2.97. Доска массы М лежит на двух одинаковых катках массы ги каждый. На доску действует горизонтальная сила Я. Определить ускорение доски. Проскальзывание отсутствует. 2.98. Стремянка АВС с шарниром В, . В АВ = ВС = 21, стоит на гладком горизонтальном полу, центры масс лестниц находятся в нх серединах О Л Е и Е, радиус инерции каждой лестницы относительно оси, проходящей г' через центр масс, равен р, расстоя- С ние от шарнира В до пола равно л. Н некоторый момент времени стремянка начинает падать нз-за разрыва К задаче 2.99. стержня ВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
