К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ось у направлена вертикально вверх. 2.34. Две ненапряженныс пружины ОАС„ВЕ..«ейуОн~ А В р ° Н/ *,Р ные по горизонтальной прямой Ак, к прикреплены шарнирами к неподвиж- Р(8; 2) ным точкам А и В, а в точке С— езу к гире массы 2 кг. Начальное расстояние АС = ВС' = !О см. Гире С сообщена скорость ее = 2 м/с в вертикальной плоскости в таком направлении, что при последующем движении она проходит через точку Р(8; 2) в системе координат с началом в точке А и осями, показанными на рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения точки Р.
А 2.33. Путь, по которому движутся санки под действием силы тяжести, (В 2 соскальзывая без трения из точки А, образует разомкнутую петлю, представляющую собой окружность рва,, О диуса г, из которой вырезана дуга СР как показано на рисунке, ~ВОС = ~ВОР = о. С какой высо- К задаче 2 35 2.1. Динамика точки 47 чтобы они прошла всю петлю, перелетев из точки В в точку С? Прн каком значении о зта высота будет наименьшей? 2.36. Гладкое кольцо М массы т скользит без В трения под действием силы тяжести по дуге М окружности радиуса й, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОА, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А.
Коэффициент упругости нити равен с и ее натяжение А равно пулю, когда кольцо М находится в точке О. Определить давление, производимое кольцом на окружность при движении из точки В, задаваемой углом ~ре, с нулевой начальной скоростью. 2.37. Точка М массы т движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности гладкого кругового Р ! э цилиндра радиуса и, ось которого вер- ' ~ Е тикальна.
Начальная скорость точки равнялась ее и составляла угол о с го- ! ризонтом. Определить давление точки на цилиндр. ~г 2.38. Камень М, лежащий на вершине А гладкого полусферического ку- 'А пола радиуса Я, получив начальную горизонтальную скорость ее, движет- М ся под действием силы тяжести. В,' Д ~ <р, / каком месте камень покинет купол? При каких значениях ее камень сойдет с купола в начальный момент? К задаче 2.38. 2.39. Точка М массы ш движется под г действием силы тяжести, параллельной оси х, по гладкой поверхности полусферического купола радиуса Л. В Ь' начальный момент точка находилась и лч" на высоте Йе от основания купола и О .1 имела скорость ее.
Определить давление точки на купол, когда она будет на высоте Л от основания купола. К зздаче 2.39. 48 Глава 2. Динамика 2.40. На точку М массы т = 1 кг, движущуюся по гладкой поверхности кругового конуса с углом раствора 2о = ф, действует сила отталки- ~ гч' ванин от вершины О, пропорциональи ! ная расстоянию ОМ, г' = с ОМ Н, где с = 1 Н/м. В начальный момент времени точка М находилась в точке А, расположенной на расстоянии 2 м от вершины О. Начальная скорость точки И была равна вс = 2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Найти закон движения точки М. Считать, что сила тяжести отсутствует.
Указание. Положение точки М задать цилиндрическими координатами г, г и ~р. 2.41. В условиях задачи 2.40, считая ось конуса направленной по вретикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса. 2.42. В гладкой горизонтальной прямолинейной трубке, вращающейся с постояной угловой скоростью м вокруг вертикальной оси, проходящей через конец трубки О, находится шарик М массы пь В начальный момент расстояние ОМ было равно а, а скорость шарика относительно трубки равнялась нулю. Найти закон относительного движения шарика вдоль трубки и горизонтальную составляющую реакции трубки. 2.43.
Гладкая трубка, осевая линия которой имеет форму некоторой плоской кривой, расположенной в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку О плоскости. В трубке находится шарик И. В начальный момент расстояние ОМ было равно ге, а скорость шарика относительно трубки была равна нулю. Показать, что относительная скорость шарика выражается формулой ,„ /гз гз где г = ОМ. 2Д. Динамика точки 2.44.
Горизонтальная трубка СО длины Е равномерно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси АВ с угловой скоростью м, Внутри трубки находится точка ЛХ. В начальный момент времени точка находилась на расстоянии хе от оси АВ и ее скорость относительно трубки равнялась нулю. Определить относительную скорость точки в мо- мент вылс~ а. Трением пренебрс ~ь. К задаче 2.44. 2.45.
В задаче 2.44 определить время движении точки в трубке. 2.46. В задаче 2.44 составить дифференциальное уравнение дви- жения точки в трубке, с учетом трения скольжения между точкой и трубкой с козффицнентом ~. 2.47. Нрямолииейная горизонтальная трубка АВ длины ! вращается с постояннои угловой скоростью м вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку О, причем ОА =- В1 и ОВ = Нз. Внутри трубки может двигаться без тренин шарик Л1 массы т. Найти относительное движение шарика, если известно, что в начальный момент времени он находился в точке А и его относительная скорость была равна ее.
Определить горизонтальную сос гавляюшую реакции трубки. Найти момент времени, тит из трубки. Определить относительную момент вылета из трубки. К задаче 2.4У. когда шарик вылсскорость шарика в 2.42. Согнутая в виде окружности радиуса г трубка находится в горизонтальной плоскости и вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку А окружности. Внутри трубки может перемещаться без трения шарик массы т. В начальный момент времени шарик находился в некоторой точке В окружности и его относигельнея скорость равнялась ее.
Найти закон изменения относительной скорости и горизонтальную составляющую реакции трубки. Определить период малых колебаний шарика около его положения относительного равновесия. Глава 2. Динамика 50 2.49. Учитывая суточное вращение Земли, определить закон относительного движения материальной точки, движущейся без трения с начальной относительной скоростью ее в горизонтальной плоскости на широте р.
2.59. Плоскость Оха вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Оа с постоянной угловой скоростью ы. Материальная точка массы гв движется без трения в зтой плоскости под действием силы тяжести. В начальный момент времени точка имела координаты (хе, ае), а ее относительная скорость равнялась нулю. Найти закон относительного движения точки. Определить реакцию вращающейсн плоскости. 2.51.
Материальная точка движется в плоскости Оху, которая вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Оа с постоянной угловой скоростью ы. Доказать, что в относительном движении точки имеют место следующие равенства: 1) х +у — ы (х +у ) =соней, ух — ху — ~а(х + у ) = сопз1. 2) 2.52. Материальная точка М массы т движется без трения по гладкой горизонтальной плоскости, которая вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через точку О плоскости. Точка М притягивается к точке О силой, величина которой равна г' = гамзе, где г = ОМ. Найти закон относительного движения точки М для произвольных начальных условий.
Л Е 2.53. Гладкая горизонтальная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через ес конец. В трубке находится шарик массы т, прикрепленный к концу трубки пружиной жесткости с, длина кото- ) Г рой в свободном состоянии равна а. В начальный момент времени шарик К задаче 2.53. находится на расстоянии а от оси вращения и его относительная скорость равна нулю. Найти закон относительного движения шарика.
2.1. Динамика точки 51 2.55. Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикальной оси СВ, составляя с ней неизменный угол 45е. В трубке без трения движется точка М, которая в начальный момент времени находилась на расстоянии а от точки О и имела нулевую относительную скорость. Найти закон движения точки относительно трубки. К задаче 2.55. 2.56.
Материальная точка массы пз движется по окружности радиуса В, которая вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг неподвижного вертикального диаметра АВ. Составить уравнение движения точки, найти его первый интеграл. А аяза 2.57. Определить, как меняется уско- К задаче 2.бб. рение силы тяжести в зависимости от широты места уз вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли считать равным Л = 6 370 км. Угловая скорость Земли равна ы = — ~ — ~.
с 2а 24 60 2.58. Маятник, расположенный на 60' северной широты, полу- чает небольшую начальную скорость в вертикальной плоскости север-юг. Считая отклонения маятника от положения равнове- сия малыми по сравнению с длиной нити и учитывая суточное вращение Земли, найти моменты времени, в которые плоскость качания маятника совпадает с плоскостью запад-восток. 2.59. Точка массы т движется прямолинейно под действием двух сил: силы притяжения, пропорциональной расстоянизо я до данной точки, Г = †с|я,и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния а,Ч, = сзтпяз. Нарисовать фазовый портрет. 2.54. В вагоне, движущемся равноускоренно по прямолинейному горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем его среднее положение отклонено от вертикали на угол о.
Найти: 1) ускорение вагона; 2) период малых колебаний маятника. 52 Глава 2. Динамика У 2.60. Нарисовать фазовый портрет механической системы, зная показанную на рисунке зависимость потенци- Р '" РФ" *2.61.НР*ФГРР а) б) математического маятника. 2.62. Нарисовать фаэовыс портреты уравнения К задаче 2 60. х = — а|их+ М, х где М -- постоянное число. 2.63. Найти угол между сепаратрнсами в точке, соответствующей макх симуму потенциальной энергии Р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
