К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Стержень ОА, который может Е свободно вращаться вокруг неподв вижной точки О, расположенной на столе опирается на брусок Н имею- ГР 3 щий высоту 6 и движущийся поступательно со скоростью е. Определить К задаче 1.38, величину абсолютной скорости точки Е стержня, находящейся в соприкосновении с углом бруска, в тот момент, когда расстояние от края стола до точки О равно з.
1.39. Стержень с роликом опирает! ся на полудиск, движущийся посту2р пательно с постоянной скоростью ео Г ио вдоль своего диаметра АВ. Стержень перпендикулярен диаметру АВ, ролик имеет радиус р. Найти скорость К задаче 1.39. и ускорение стержня. В начальный момент стержень опирается на верхнюю точку полудиска. 1.2. Сложное движение точки 1.41. По железнодорожному пути, проложенному вдоль некоторой параллели северной широты, движется тепловоз со скоростью е = 20м/с с запада на восток.
Определить величину кориолисового ускорения тепловоза. Угловую скорость суточного вращения Земли считать равной 2и с 24. 60 1.42. По реке Неве с востока на запад по параллели 60' северной широты со скоростью и = 1,11 м/с плывет плот. Определить пе- реносное, относительное и кориолисово ускорения плота. Радиус Земли считать равным 6,4 10е м. 1.43. Точки А и В находятся на расстоянип 1 от точки С и расположены в плоскости, вращающейся вокруг неподвижной осн ОС с угловым ускорением еь В этой плоскости точки А и В движутся так, что выполняется соотношение В;Те, А К задаче 1.4Э. 22 2 Определить абсолютные скорости и ускорения точек А и В как функции времени.
Известно, что в начальный момент система покоилась. Ускорения ее и ез считать известными постоянными. 1.40. Б неподвижной плоскости Оку у уаЮ вокруг неподвижной точки О может свободно вращаться стержень ОЛ длины й Другой его конец А скользит по жесткомУ пРофилю, котоРый С О ф„'"Ц' л движется с постоянной скоростью с вдоль оси Оз. К задаче 1ДО. В системе координат Оззу, связанной с профилем, определить такую его форму у = У(з), при которой скорость точки А стержня была бы постоянной по величине и равнялась пЛ.
Глава 1. Кинематика 18 1.44. Воздушная трапеция АВС1Э с боковыми сторонами юО ВС = АО = 1 совершает качания вокруг горизон- гальнои оси 010з по закону чо =- уеез1поЛ. Епер — Впер ° Иотн — Вотн 1.46. 11оказатрч что в сложном движении точки всегда выполнено равенство 4е (Вотч Веер) = аотп Опер. 1.47.
Восточная, северная и вертикальная проекции скорости некоторой точки М относи гельно Земли соответственно равны рн, ри, рю Определить проекции абсолютного ускорения точки М, движущейся вблизи Земли, на координатные оси, направленные следующим образом: ось Ох направлена на восток, ось Оу — на север, ось О» — по местной вертикали. Высоту Ь точки над поверхностью Земли и широту места у в данный момент времени считать известными. Также известны радиус тт' и угловая скорость ~ суточного вращения Земли. Гимнаст, выполняющий упражнение К палаче К44 на перекладине АЯ, вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью ы относительно плоскости трапеции.
Определить абсолютное ускорение точки М, расположенной на подошве гимнаста и находящейся на расстоянии а от перекладины АВ в момент времени 1 = — ". 1.4з. Найти условия, при которых в сложном движении точки справедливы соотношения 1.3. Кинематика абсолютно твердого тела 1.3. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Абсолютно твердым телом в классической механике наэываегся совокупность точек, расстояния между которыми при движении тела не меняются.
Скорости и ускорения различных точек тела, совершающего произвольное движение, различны, поэтому выражения «скорость тела» и «ускорение тела» в общем случае лишены смысла. Характеризуя движение абсолютно твердого тела, говорят о поле (или распределении) скоростей, которое задается формулой Эйлера в;и = вл + ы х АМ, Здесь вм, вл — скорости любил двух точек М и А тела, а и —. угловая скорость тела относительно неподвижной системы отсчета. Если ввести подвижную систему с началом в точке А и осями, параллельными осям неподвижной системы, то формулу Эйлера можно интерпретировать как теорему сложения скоростей для точки М .— ее абсолютная скорость вм равна векторной сумме переносной вл и относительной ы х АМ скоростей.
В смысле этой интерпретации точку А иногда называют полюсом. Ускорение ам произвольной точки М тела определяется формулой Ривальса ам = ал + я х АМ + ы х (ы х АМ), где ад — ускорение точки А тела; л = - — углоное ускорение сйл лс тела. Вектор л х АМ называется вращательным ускорением точки М, а вектор ы х (ы х АМ) — ее осестремительным ускорением.
Важнейшие частные случаи движензш абсолютно твердого тела. 1. Мгновенно-поступательное и поступательное движения. Если в некоторый момент времени 1е угловая скорость тела равна нулю, из формулы Эйлера, следует, что в этот момент скорости всех точек тела одинаковы.
Такое движение называется мгновенно-поступательным. Ускорения точек тела при мгновенно-поступательном движении не обязательно одинаковы, так как вектор углового ускорения может быть отличен от нуля в этот момент времени. 20 Глава Е Кинематика Если же угловая скорость равна нулю на интервале [$е', 1,), то скорости и ускорения всех точек тела на этом интервале времени одинаковы и равны соответственно скорости и ускорению полюса, поскольку теперь и вектор углового ускорения обращается в нуль. В этом случае движение тела называют поступательным. Траектории точек тела при поступательном движении могут быть произвольными. 2.
Движение с одной неподвижной точкой (сферическое движение). Если одна из точек твердого тела неподвижна, то ее скорость и ускорение тождественно равны нулю. Выбрав эту точку в качестве полюса и совместив с ней начало неподвижной системы координат, получим, что формулы Эйлера и Ривальса приобретают внд вм=ыхАМ, ам = я х АЖ + ы х (ы х Аля).
Скорости точек тела, лежащих на прямой, проходящей через неподвижную точку и параллельной вектору ы, равны нулю, поэтому эта прямая называется мгновенной осью вращения. Геометрическое место мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с телом, называется подвижным аксоидом. Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижном пространстве называется неподвижным аксоидом.
Траектория любой точки тела в рассматриваемом случае лежит на сфере соответствующего радиуса с центром в неподвижной точке, поэтому одно из названий этого движення —— сферическое. 3. Плоскопараллельное движение. Если при движении абсолютно твердого тела расстояния от всех его точек до некоторой неподвижной плоскости Р остаются постоянными, то говорят, что тело совершает плоскопараллельное движение.
В этом случае изучение движения тела можно заменить изучением движения плоской фигуры, получающейся при сечении тела неподвижной плоскостью, параллельной плоскости Р. Вектор угловой скорости при плоскопараллельном движении всегда перпендикулярен плоскости Р: если ы ф О,то существует точка С плоской фигуры (или точка пространства, жестко свя- 21 1.3. Кинематика абсолютно твердого тела занного с плоской фигурой) скорость которой в данный момент равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром вращения или мгновенным центром скоростей.
Выбирая мгновенный центр скоростей в качестве полюса, можно представить поле скоростей в виде , = хСМ, т. е, скорости точек фигуры распределены так, как они были бы распределены, если бы фигура вращалась вокруг неподвижной точки С. С течением времени мгновенный центр скоростей может менять свое положение как по отношению к телу, так и по отношению к неподвижной плоскости. Геометрическое место положений мгновенного центра скоростей на неподвижной плоскости называется неподвижной центро- идой, а на плоскости, жестко связанной с телом, — подвижной центроидой. Если ез + шч ф О, то существует точка К плоской фигуры (или точка пространства, жестко связанного с плоской фигурой), ускорение которой в данный момент равно нулю.
Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Выбрав точку К в качестве полюса, получим ам = я х КМ вЂ” ш Км, т.е. в этом случае ускорения точек плоской фигуры распределены так, как онн были бы распределены, если бы эта фигура вращалась вокруг неподвижной точки К с заданными угловой скоростью и угловым ускорением. Мгновенный центр скоростей и мгновенный центр ускорений, вообще говоря, ие совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
