К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Г!усть г(с, и, с) и В(х, у, »)— радиус-векторы точки в соответствующих системах отсчета. Таким образом, точка участвует в двух движениях: относительно системы отсчета Е и вместе с ней относительно системы Я. Говорят, что точка совершает сложное движение. Движение точки относительно системы О~У~ называется относительным; так >ке скорость и ускорение в этом движении называются относительными. Они определяются формулами й в, „= — = наес + це„+ ьес, й пзг а~~~ = — = ~еС + йея + ~е~, »12 где г(1) определяет закон относительного движения в системе отсчета Е (ООК).
Абсолютными скоростью и ускорением называются ИВ в.е. = — — — йе*+ уел +»е., сй »2В ае; — — з =Ее +уел+»е„ 11» где В(1) определяет закон абсолютного движения в системе отсчета Я (О~»у»). Теорема сложения скоростей говорит, что абсолютная и относительная скорости точки в любой момент времени связаны соотношением вабс — поти + нпер где в„ер — переносная скорость точки, определяемая как скорость той точки подвижной системы отсчега О~У(, в которой находится точка в данный момент времени.
Она вычисляется как скорость точки твердого тела (по теореме Эйлера). 1.2. Сложное движение точки Теорема сложения ускорений (теорема Корнолиса) устанавливает связь между абсолютным и относительным ускорениями точки в любой момент времени иебс — Поен + Опер + аког где ап,р — переносное ускорение точки — ускорение той точки подвижной системы отсчета, в которой находится точка в данный момент времени (вычисляется по теореме Ривальса); величина а„р — — 2ы х и „называется ускорением Кориолиса (кориолисовым ускорением); ы — угловая скорость подвижной системы отсчета. ЗАДАЧИ 1.16.
Прямая АВ движется поступательно со скоростью сз, перпендикулярной к АВ, а прямая С11— поступа гельно со скоростью см перпендикулярной к С11. Найти величину скорости точки Я пересечения этих прямых, если угол между ними равен а. задаче 1.1б. 1.17. Лодку И, уносимую течением реки, подтягивают веревкой к с, точке А берега. Найти траекторию лодки, считая ее точкой. Принять, М что скорость с~ течения реки посто- А янна по всей ее ~ннрине, скорость наматывания веревки постоянна и К задаче 1.17.
раппа См И Что СКОРОС71 ЛОДКИ О'Г- носнтельно системы координат, связанной с водой, направлена вдоль веревки. 12 Глава 1. Кинематика М 1.18. Проволочная окружность радиуса В вращается в своей плоскости вокруг неподвижной оси 0 с постоянной угловой скоростью ы. Найти скорость точки М пересечео~~ ния этой окружности с пеподвиж- ной окружностью того же радиуса, К задаче 1.18. проходящей также через точку О. 1.19. Доказать следующий способ построения касательной к архимедовой спирали, уравнение которой в полярных координатах имеет вид г = йзр: соединив движущуюся точку М с полюсом О, проведем из точки 0 перпендикуляр к ОМ и на этом перпендикуляре отложим в сторону вращения радиус-вектора отрезок ОА длины ~.
Прямая, проведенная через точку М перпендикулярно к МА, и будет касательной к спирали в точке М. 1.20. Точка описывает эллипс. Пользуясь тем, что сумма расстояний от этой точки до фокусов эллипса является постоянной величиной, показать, что нормаль к эллипсу в этой точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведенными из фокусов в эту точку. Аналогично показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиус-векторами, соединяющими точку касания с фокусами гиперболы.
1.21. Точка движется по параболе. Пользуясь тем, что расстояния от нее до директрисы и до фокуса параболы во все время движения равны между собой, показать, что касательная к параболе образует равные углы с радиус-вектором этой точки, проведенным из фокуса, и осью параболы. 1.22. В непожвижной плоскости во- М круг точки 0 вращается прямак так, что угол р между прямой и осью Ол изменяется по закону Фр Р— = ы = сопес.
й О В момент, когда прямая совпадает с К задаче 1.22. осью Ол, иэ точки 0 начинает двигаться вдоль прямой точка М. Подобрать такой закон движения точки по прямой, чтобы она сохранила постоянную по величине абсолютную скорость е. Найти траекторию и ускорение точки. 1.2. Сложное движение точки 1.23. В неподвижной плоскости Ову вокруг данной точки О вращается стержень ОЛ так, что угол у между стержнем и осью Ов изменяется по закону (~~ сй — = ы = санек Кольцо Р движется вдоль стержня по закону К задаче 1.23. ОР = ае(1+ яшыо1).
Найти величины абсолютных скорости и ускорения кольца, пренебрегал его размерами. 1.24. В неподвижной плоскости Озу стержень ОА совершает вокруг точки О колебания по закону р = уз з1пм1. По стержню скользит кольцо Р по закону ОР = Тае12. Найти величины 2 абсолютных скорости и ускорения кольца, пренебрегая его размерами.
1.25. Диск вращается с постоянной х и угловой скоростью ю вокруг оси, проходящей через его центр и перпенди- Р М кулярной к его плоскости. По хорде ~ о диска, удаленной па расстояние р от центра диска, движется с постоянной относительной скоростью и точка М. Найти величины абсолютных скорости и ускорения точки М в зависимости от расстояния з до середины хорды. 1.26. Окружность радиуса г вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью ы против часовой стрелки вокруг неподвижной точки С, лежащей на окружности. Точка М движет- О ся по окружности по часовой стрелке со ! скоростью 2ыт. В начальный момент ! точки М и С и центр окружности О лежат на одной прямой.
Определить абсолютную траекторию точки М, ее скорость и ускорение. К задаче 1.26. Глава 1. Кинематика 14 1.27 Диск радиуса Я вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной к его плоскости. По диаметру диска, выходя иэ его центра, движется точка по закону з = йяшьЛ.
Найти абсолютные траекторию, скорость и ускорение точки. 1.23. В неподвижной плоскости Оху вокруг некоторой точки О вращается А стержень ОС. Стержень АВ движется в направляющих К так, что он всегда остается параллельным оси Оу, а точка А находится на стержне ОС. чч Расстояние ОК равно й Определить О В х скорость движения точки А относи- тельно стержня ОС как функцию уг- К задаче 1 28. ла Зз между стержнем ОС и осью Ох и его производной у = щ. 1.29.
Плоскость Оху вращается вокруг оги Оз с переменной угловой скоростью ы. Движение точки М в этой плоскости задано уравнениями х = х(1), у = у(1). Найти проекции абсолютного ускорения точки на подвижные оси Ох и Оу. 1.30. В предыдущей задаче, полагая ы = сопа1, найти относительное движение точки, если 1) абсолютное ускорение точки совпадает с ее переносным ускорением и начальная относительная скорость пе не равна нулю; з) абсолютное ускорение совпадает с относительным ускорением, а в начальный момент расстояние ОМ было равно ге.
1 ~ 1.31. Круговой конус с углом раствора 2а вращается вокруг своей оси ! п) с постоянной угловой скоростью ы. Точка М выходит из вершины конуса ! и движется равномерно по его обраи зующей со скоростью з. Выразить величину абсолютного 1 ускорения точки М как функцию вре- мени, прошедшего с момента начала К задаче 1.31 движения точки. 1.2.
Сложное движение точки 1.32. Шар радиуса Н вращается вокруг вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью ы. Точка М движется равномерно по его меридиану со скоростью е. Найти величину абсолютного ускорения точки М в зависимости ог широты чз. 1.33. Прямоугольник АВСР, в котором РА = СВ = 1 м, вращается вокруг стороны СР с постоянной угловой скоростью ы = х с ~. Вдоль стороны АВ движется точка М по закону н с = сейл —,1 м. 2 Определить величину абсолютного ускорения точки в момент времени 1 = 1 с.
1.34. Диск радиуса Л вращается вокруг своего неподвижного диаметра с постоянной угловой скоростью ы. По ободу диска с постоянной по величине скоростью е движется точка М. Найти абсолютное ускорение точки М как функцию угла р, образованного радиус-вектором точки с осью вращения диска. 1.35. Полое кольцо радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью зз вокруг неподвижной оси АВ, расположенной в плоскости кольца на расстоянии 2г от его центра. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем с постоянной относительной ско- ростью и. Определить величины абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 1, 2, 3 и 4.
К задаче К32. 11 С В Р А К задаче КЗЗ. К задаче К34. К задаче К35. 16 Глава 1. Кинематика ооз 1.36. Диск врап1ается вокруг своего неподвижного диаметра с постоянной угловой скоростью ыз, 11одвижный ео радиус вращается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью ыо. Но подвижному радиусу диска от центра к краю движется точка М с постоянной скоростью ео. Найти абсолютную скорость точ- К задаче 1.36.
ки М, считая, что в начальный момент она находилась в центре диска, а подвижный радиус был направлен по оси вращения диска. 1.37. Диск вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр О. Точка С движется по диску с постоянной по величине относительной скоростью ц, описывая при этом заданную кривую, обращенную выпуклостью к точке О. Найти абсолютные скорость и ускорение точки С в тот момент времени, когда ОС = г, радиус кривизны относительной траектории в этой точке равен р, а нормаль образует с ОС угол ~р. А 1.38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
