К.Е. Якимова - Задачи по теоретической механике (1159490), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти, где и когда встретятся эти тела. При каком условии возможна встреча? 42 Глава 2. Динамика 2.11. Стрелок стреляет из ружья, направленного горизонтально, в цель, находящуюся на, продолжении линии ствола на расстоянии 40 м. Насколько ниже цели попадет пуля, вылетающая со скоростью 400 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
2.12. В поле силы тяжести из некоторой точки одновременно бросают материальные точки с одинаковой по величине скоростью сс вдоль различных направлений, лежащих в одной плоскости. Доказать, что если сопротивление воздуха отсутствует, то в каждый момент времени все зти точки располагаются на одной окружности. 2.13. Точку массы т бросили с начальной скоростью ес под углом ос к горизонту. Сила сопротивления среды В = — хтув, где й — постоянный козффициент, а в — вектор скорости точки. Найти закон движения точки. Показать, что ее траектория имеет вертикальную асимптоту. Найти предельную скорость точки.
2.14. С какой минимальной скоростью следует бросить камень с поверхности Земли так, чтобы он перелетел через забор высоты й, находящийся на расстоянии 1 от точки бросания? 2.15. Камень, застрявший между покрышками заднего колеса грузового автомобиля, движущегося с постоянной скоростью с по горизонтальному участку шоссе, может вылететь в любой момент времени. Какую дистанцию должен выдерживать водитель едушего за грузовиком автомобиля, чтобы избежать удара летящего камня? Сколько времени после проезда грузовика должен подождать пешеход, чтобы при переходе шоссе вылетевший камень не попал в него? Сопротивлением воздуха пренебречь.
У В 2.16. Упругая нить, описываемая за- коном Гука с коэффициентом упруго- М сти Й, закреплена в точке А и проходит через неподвижное гладкое кольцо О: к ее свободному концу прикреплен шарик И массы т. Длина нерастянутой нити 1 = АО. Вытянув х нить вдоль прямой АВ так, что дли- А на ее увеличилась вдвое, шарику со- общили скорость сс перпендикулярно К задаче 2лб. прямой АВ. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести. 2.1. Динамика точки 2.17.
В вершине С равнобедренного у прямоугольного треугольника АВС В с гипотенузой АС = 2а, находится точка ЛХ массы т, имеющая нулевую начальную скорость. Каждая из ЛХ трех вершин треугольника притягивает точку М с силой Р = — язгпг, А О С х где г есть вектор, соединяющий со- К зада»е 2.17. ответствующую вершину треугольника с точкой М.
Найти траекторию точки М и ее скорость. 2.18. Частица массы т, несущая отрицательный электрический заряд е, попадает в однородное электрическое поле напряженности Е со скоростью ве, перпендикулярной направлению напряженности поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы. Учесть, что на заряженную частицу в электрическом поле действует сила Р =- — еЕ, направленная в сторону, противоположную направлению вектора напряженности поля Е. Действием силы тяжести пренебречь.
2.19. Частица массы т, несущая отрицательный электрический заряд е, попадает в однородное магнитное поле напряженности Н со скоростью ве, перпендикулярной направлению напряженности поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы. Учесть, что на заряженную частицу в магнитном поле действует сила Р = — е(п х Н). Действием силы тяжести пренебречь. Указание. Удобно записать уравнения движения точки в проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории. 2.20. В однородное электрическое поле переменной напряженности Е = А соеы1, где А и й — постоянные, попала частица массы т, несущая отрицательный электрический заряд е, со скоростью ие, перпендикулярной направлению напряженности поля.
Определить траекторию частицы, учитывая, что в электрическом поле на нее действует сила Р = — еЕ. Действием силы тяжести пренебречь. 2.21. Свободная материальная точка ЛХ массы гп притягивается некоторой неподвижной точкой А. В результате точка М описывает окружность радиуса а, проходящую через точку А. Выразить величины силы притяжения и скорости точки как функции расстояния г от движущейся точки до точки А. Глава 2.
Динамика 44 2.22. Свободнал материальная точка движется под действием центральной силы, являющейся функцией расстояния г от этой точки до центра силы. Величина скорости точки изменяется обратно пропорционально этому расстоянию, т. е. е = "—. Найти г' траекторию точки, если ее секторная скорость равна 2~. 2.23. Частица массы гп движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону Р = к~гпг, где и — радиус-вектор точки.
В начальный момент частица находилась в точке ЛХе(а; 0) я имела скорость ве, направленную параллельно оси Оу. Определить траекторию частицы. 2.24. Свободная материальная точка массы т описывает эллипс., болыпзя полуось которого равна а, под дейсгвием силы ньютоновского притяжения Р = — з-, направленной к фокусу эллипса цгв г и зависящей от расстояния г от точки до фокуса. Доказать, что ее скорость е изменяется по закону 2.25. Материальнал точка Р притягивается к неподвижной точке О массы М по закону всемирного тяготения. Под каким углом к прямой ОР и с какой начальной скоростью нужно выпустить точку Р, чтобы она описывала эллиптическую траектрию с паРаметРами гз = г2- и г„= -ф, где и — пеРицентР, о-- апоцентр, ге -- начальное расстояние между точками? 2.26. Два астероида М1 и Мг дви- 1 Ма жутся по одному и тому же эллипсу, Дз, В, в фокусе Я которого находится СолнА це.
Расстояние между астероидами настолько мало, что дугу ЛХ1 Мз зллипса можно считать отрезком прямой. Когда середина дуги М1Мз находи- К задаче 2.26. лась в перигелии Р, ее длина равнялась а. Известно, что БР = ХХ1 и ЯА = Лз. Определить длину дуги М1 Мг, когда ее середина будет проходить через афелий А. 2.27. Шарик массы т, привязанный к нерас гяжнмой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное в 2.1. Динамика точки 45 плоскости.
Известно, что в начальный момент нить была прямолинейна, шарик находился на расстоянии Л от отверстия, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити была равна гс. Найти закон движения шарика и натяжение нити. 2.28. К шарику массы т привязана резинка, имеющая в нерастянутом состоянии длину й Шарик нанизывают на прямолинейную проволоку, образующую с горизонтом угол о > р, где )с — угол трения шарика о проволоку. Свободный конец резинки прикрепляют к этой же проволоке на расстоянии ) кверху от шарика и затем шарик отпускают. Найти закон движения шарика до его первой остановки. Учесть, что сила натяжения резинки пропорциональна ее относительному удлинению с коэффициентом пропорциональности с. 2.29. Кольцо массы И, надетое на неподвижную гладкую проволочную окружность радиуса г, плоскость которой вертикальна, может свободно перемещаться по этой окружности.
В начальный момент кольцу сообщают скорость гс. Найти скорость кольца в зависимости от его положения на окружности, задаваемого углом )г между радиусом, проходящим через кольцо, и вертикалью; у = О, когда кольцо находится в нижней точке окружности. Найти также реакцию связи. 2.30. Гладкий желоб, имеющий форму окружности радиуса г, установ.лен в вертикальной плоскости.
В начальный момент в низшую точку желоба кладут шарик и сообщают ему горизонтальную скорость пс. Какова должна быть скоросгь пе, чтобы: 1) шарик пришел в круговое движение; з) шарик выскочил иэ желоба; з) шарик совершал колебательное движение, не отрываясь от желоба? 2.31. Материальная точка спускается под действием силы тяжести по гладкой кривой, расположенной в вертикальной плоскости. Известно, что точка удаляется от горизонтали, проходящей через ее начальное положение, с постоянной скоростью с. Найти эту кривую. 46 Глава 2.
Динамика К задаче 2.34 ты должны начинать движение санки, 2.32. Материальная точка движется без трения под действием силы тяжести по нижней ветви астроиды, уравнение которой имеет вид 2 2 з кз + уз = (2г)з За какое время, выйдя с ничтожно малой скоростью из вершины (2г, О), К задаче 2.32. точка достигнет вершины (О, — 2т)! 2.33. Шарик массы ш под действием силы тяжести скользит без трения по дуге эллипса, заданного уравнением (3''(~)'=' Определить давление шарика на эллипс в точке (О; — Ь), если шарик начинает движение без начальной скорости из точки (ьч О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
