М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда уравнение !о Риккати имеет вид ю — 1 = ю . Отсюда следует, что агсуя ю = 2+ 2 + С, т. е. ю = Тя(2+ С). Если длина отрезка [2й, Ф!] больше тт, то ю(2) имеет на [Зе, и! ] точку разрыва. Присоединенная задача и определение сопряженной точки. Для изучения вопроса о неотрицательной определенности квадратичного функционала б2,7 воспользуемся вышеприведенными результатами. Заметим, что неотрицательная определенность функционала б2.7 эквивалентна тому, что Ь() = 0 дает минимум функционалу б~У. Поэтому рассмотрим следующую присоединенную эхстремальную задачу: с, б,7= [(АЬ, Ь)+2(СЬ, Ь)+(ВЬ, Ь)]!12- 1п(, Ь() еС'.
а Л е м м а 1.2. Фунхционал б2.7 обраи4ается в нуль на любом решении Ь( ) е Со! уравнения (1.48). Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем б2.7 в виде Й б,7= [((АЬ+ СтЬ), Ь)+ ((СЬ+ ВЬ), Ь)]!(й. то Интегрируя первый член по частям и учитывая, что внеинтегральный член обращается в нуль, поскольку Ь( ) Е Со([йо, 2!]), получаем ч — — (АЬ+ С'Ь)+(СЬ+ ВЬ), Ь М причем последнее равенство следует из того, что Ь( ) — решение уравнения Якоби.
П Рассмотрим матричное решение 17(2) уравнения (1.48): — — [А(7'+ С~У]+ [С17'+ В77] = О, (1.49) !(2 где 77(Ф) — (их п)-матрица, удовлетворяющая начальным условиям: (7(г,) =О, (7'(2,) =1. (1.50) Это означает, что т-й столбец матрицы 77(Ф) есть решение Ь,,(2) уравнения (1.48), удовлетворяющее условиям Ь,.(ге) = О, Ьт(го) = = е,, где е, — единичный базисный орт. О и р е д е л е н и е. Точка т > то называется сопряженной с тпочхои тв, если существует нетривиальное решение Ь(Ф) уравнения (1.48) такое, что Щ) = Ь(т) = О.
У т в е р ж д е н и е 1.1. Точха т > 2 являетпся сопряженной с точхои 2 тогда и тполахо тпогда, хогда бе1 77(т) =О. Доказательство. Пусть т)е117(т)=0. Тогда существует нетривиальный набор констант с,, т = 1,..., я, такой, что линейная комбинация столбцов Ь1(т) матрицы 17(т) с коэффициентами с, равна нулю: );С,Ьу(т) =.О. Рассмотрим функцию Ь(т) =2 с,Ь,(2), которая является решением системы (1.48). Это решение не тривиально, так как в точке гз его производная отлична от нуля, и оно обращается в нуль как при Ф = Фз, так и при Ф = т.
42 ГЛАВА Е КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пусть теперь точка т является сопряженной. Тогда решение Ь(.) можно выразить как линейную комбинацию решений Ь1( ), разложив Ь1(г ) по базису с,: Ь(г) = ~" с,ь,.(г), при этом набор сг не тривиален. Поскольку Й(т) = О, мы имеем нетривиальную линейную комбинацию столбцов матрицы У(т), дающую нулевой столбец.
Следовательно, г[е1 Щт) = О. П Необходимые условия неотрицательной определенности 6 .У. Т е о р е м а !.5. Для неотрицательной определенности квадратпичного функционала 6~,У при условии вьтолнениа усиленного условил Лежандра (А( г) > 0) необходилсо, чтобы интервал (гз, г1) не содержал точек, сопряженных с точкой г . Доказательство. Предположим противное. Пусть т е Е (го, г1) — точка, сопряженная с точкой г„. Тогда в силу определения существует нетривиальное решение Ь(г) уравнения Якоби (1.48), обращающееся в нуль при г = ~о и прн $ = т, Й(го) = = Ь(т) = О.
Продолжим эту функцию нулем на отрезок [ г, 41[: ~ Й(г) прн ЕЕ[го,т'1> ~ 0 при г ч [т, г1[. Применив лемму 1.2 к функции Й(г) и отрезку [гз, т1, нетрудно убедиться, что б~,У(Ь(.)) =О. Поскольку бг,У > О, получаем, что Ь(.) есть решение присоединенной задачи, имеющее точку излома т. Следовательно, в этой точке должно выполняться условие Вейерштрасса — Эрдмана. Запишем это условие. Импульс В присоединенной задаче равен 2АЬ+2Сть. Поскольку Ь(т) =О, а матрица А невырождена, непрерывность импульса влечет за собой непрерывность Ь.
Но Ь(т+0) =О. Следовательно, Ь(т — 0) = = О. Функция Ь( ) на отрезке [го, т'1 является решением уравнения второго порядка (1.48) и в точке т удовлетворяет условиям Ь(т) =О, Й(т) =О. Следовательно, Ь(г) КВО, что противоречит определению сопряженной точки. П Непосредственным следствием теоремы 1.5 является Теорема 1.6 (необходимое условие Якоби). Пусть х( ) — реигсние задачи 1. Тогда если на х( ) выполнено уси- $4.
ЪРАвнение РиккАТН ленное условие Лежандра (Уг >0), ого интсРвал (го г1) нс содержит тпочек, сопряженных с го. О пределе н не. Будем говорить, что для функционала бгз выполнено условие Якоби, если интервал (го, г1) не содержит точек, сопРЯжеиных с Го, БУдем говоРить, что вытголнено усиленное условие Якоби, если полуинтерзал (го, г1[ не содержит точек, сопряженных с г . у 4. уравнение риккати Достаточные условия положительной определенности бз.т. Теорема 1.7. Пусть для функционала б',У выполнены усиленное условие Лежандра и усиленное условие Якоби.
Тогда сг.У >О. Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму (ИГ(г)Ь, Ь) с симметричной матрицей ИГ(г). Наша цель состоит в том, чтобы найти И'(г), удовлетворяющую следующим условиям: а) прибавление к подынтегральному выражению слагаемого ь 11 1ь ьг — (%(г) Ь Ь) не должно менять 6,У, т.
е. ~ — (Иг(г)Ь, Ь)11г = 0; ',) Уг И 1ь б) прибавление — (И'(г)Й, Й) к подынтегральной функции а'г должно превратить ее в полный (скалярный) квадрат. Для выполнения пункта а) достаточно, например, чтобы И'(г) была гладкой функцией, определенной на всем отрезке [г„г11 и чтобы Ь Е Со. Ниже (на с. 48) будет использовано более общее достаточное условие. Посмотрим, какие условия нужно наложить на матрицу Иг, 11 чтобы выполнялся пункт б).
После добавления — (И'(г)ь, Ь) по1й дынтегральная функция примет вид (А Ь, Ь) + 2(С Ь, Ь) + (В Ь, Ь) + 2(В'Ь, Ь) + (Ф Ь, Ь) = = [А'У'Ь+ А-1~'(Ст+ И )Ь['- — [А-'У'(С'+ И )ь)г+ ((В+ И'')ь, ь). (1.51) 44 ГЛАВА т. клАссическое ВАВНАционное исчисление 45 где А тг — симметрическая положителъно определенная катри!/г ца, квадрат которой равен А. (Чтобы убедиться в существовании такой матрицы, достаточно привести матрицу А к диагональному аиду, извлечь арифметический корень из собственных значений, стоящих на главной диагонали, и вернуться к старому базису.) Выражение (1.51) будет полным квадратом, если ((Ф+ В)5, й) = (А-'Г'(С'+ И)А,А-'7'(С'+ И~)5) = = ((С+ И')А 1(Ст+ Ит)1т„й), т.
е, матрица Ит должна быть решением уравнения И'+ В = (С+ И')А '(Ст+ Ит). (1.52) Уравнение (1.52) называется (матричным) уравнением Ршткатпи для функционала б~,У. Нам надо найти симметрическую матрицу И"(т), являющуюся решением уравнения Риккати (1.52) на отРезке [Го, гт), УдовлетвоРЯющУю Условию а). К доказателъству теоремы 1.7 мы вернемся после того, как докажем несколько вспомогателъных утверждений. Как было объяснено во введении, скалярное уравнение Риккати возникает при понижении порядка линейного дифференциального уравнения второго порядка.
Аналогичное соотношение имеет место между решениями матричного линейного уравнения Якоби (1.49) и матричного уравнения Риккати (1.52). В леммах 1.3-1.5 будет показано, что по решению У(г) уравнения Якоби (1.49), удовлетворяющему начальным условиям (1.50), можно построить одно и только одно решение уравнения Риккати (1.52). (В точке т это решение имеет особенность.) Л е м м а 1.3.
Пустпь У(т) — лтатпричное решение уравнения Якоби (1.49), не вырождающееся на интервале (1о, т,[. Тогда Ит(г) = -(А У'+ С'У) У-' (1.53) — матпричное решение уравнения Рикхатпи (1.52). Доказательство проводится прямой проверкой. Правая часть (1.52) имеет вид (С вЂ” АУ'У ' — С )А '(С вЂ” АУ'У ' — С )= = — (С вЂ” АУ'У ' — С )У'У '. Подставляя (1.53) в левую часть (1.52) получаем  — (АУ'+ С'У)'У-'+ (А У'+ Ст У) У-'У'У-'.
Преобразуя второе слагаемое при помощи уравнения Якоби (1.49), получим  — (СУ'+ ВУ)У '+АУ'У 'У'У '+ С У'У ' = = — СУ'У '+ АУ'У ~У'У 1+ С У'У что совпадает с правой частью уравнения (1.52). Лемма доказана. О Решение уравнения Якоби У(г), использующееся в определении сопряженной точки, невырождено лишь на пол)тинтервале (г, 4,1.
В самой точке т мы имели У(то)= — О, У(4о)=Х (см. (1.50)). Поэтому Ит(г), построенное по этой матрице У(т), имеет в точке г особенность. Выясним ее вид. Л е м м а 1.4. Матрица Ит(г), постпроеннал по формуле (1.53) с помощью решения У(т) уравнения (1.49) с начальными условиями (1.50), удовлетпворяетп в окрсстпно- А(го) сти тпочки т соотпношению Ит(т) = — — ~+ Ф(г), где мат — то трица Ф(т) непрерывна в окрестпностпи тпочхи С>. Доказательство. Используем условия (1.50) для разложения матриц У(т), У '(г), У'(т) по формуле Тейлора в окрестности точки то.
Имеем У'(г) = Х+ (г — Го)Я,(1), У(г) = (г — Го)[Х+ (г — 4,)Я,(г)), 1 и, следователъно, У '(г) = [Х+(т — то)ВА(т)1. Здесь матрицы Вт(г), 4=1,2,3, непрерывны в окрестности точки го. Подстановка этих разложений в формулу (1.53) завершает доказательство леммы. О Таким образом Ит(т) имеет в точке Го простой полюс с вычетом ( — А(то)). Докажем еще один вспомогательный результат из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Л е м м а 1.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
