М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Рассмотприм систпему обыкновенных дифференциальных уравнений х= х+ Х(х), (1.54) где хай", 7 Е С (т'), т' — областпь в 1к", содерткащал точку О. Пустпь существует констпантпа Х > 0 такая, что )Х(х)) (Х4 ~х~ длл всех хб 'т . Тогда для любого 1ЕЖ", Я =1, 46 ГЛАВА Ь КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ~ХО -0(В, го(т, О)) + рз(т, 0) юг 1+ т(0, Кт(т, 0)) (1.58) Правая часть уравнения (1.58) в окрестности у" является непрерывной функцией от т и О. Обозначим ее через К(т, В). Грах( з) ничным условиям —,— — +1 при в-+ — оо соответствует условие 0(0) = 1. Имеем !х(т)~ Ю вЂ” =К(т, В), В(О) = 1. (1.59) Утверждение леммы следует теперь из теоремы существования и единственности решения задачи Коши (1.59).
П У и р а ж и е н и е. Объясните почему аналогичное доказательство ие годится для системы х Кх+,Г(х) при Х т1. сущестпвуетп, и притпом тпольхо одна, фаэовая тпраехтпо- рия х(ь) систпемы (1.54) тпахая, чтпо х(а) — +О, х(в)Щв)~- 1 при к-+ — оо. Доказательство, Введем сферическиекоординаты хее = тВ; таей+, ВЕ Я" ', где В" ' — (и — 1)-мерная единичная сфера. Система (1.54) принимает вид тВ+ тв = тв+1(тв). (1.55) Оценка ~~) ( К~х! и условие 1 е С (У) позволяют записать функцию Г в виде 1(т, 0) = т со(т,В), где соей С'(У).
Умножая уравнение (1.55) скалярно на В и учитывая равенства (В, 0) = 1, (В, д) =О, получаем т = т+ т~(0, от(т, О)). (1.56) Подстановка (1.56) в (1.55) дает д = -тВ(В, чг(т, 0)) + тчз(т, 0). Получаем систему т = т+ т~(0, чз(т, 0)), д= — тВ(В, р(т, 0)) + тот(т, В). Из первого уравнения этой системы следует, что т > 0 при достаточно малом т, т. е. в достаточно малой окрестности Р начала координат т монотонно стремится к нулю при в — + -ОО. Поэтому т можно принять в области Р за независимое перемен- ное. В результате имеем е 4. уРАВнение РиккАти Смысл леммы 1.5 можно пояснить следующим образом. Траекториями линейной системы уравнений х = х являются лучи, выходящие из начала координат.
Добавление малого нелинейного слагаемого 1(х) в правую часть этого уравнения искривляет эти лучи, но ие меняет качественной картины в окрестности начала координат фазового пространства. Сформулируем теперь обращение лемм 1.3 и 1.4, построив решение уравнения Якоби по решению уравнения Риккати. Л е м м а 1.6. Пустпь И'(ь) — решение уравнения Риххатпи (1.52), удовлетпворяющсе условию И'(ь') = — " + Ф(г), А(М ) (г- Ы (1.60) где Ф(ь) непрерывна при с Е(ьо, г,].
Тогда: 1) сущестпвуетп единственная матприца У(ь), удовлетпв оряющая уравнению АУг СТУ И У (1.61) — =-(А И"У)е — (А С У)е, — = е. с1У т гь'т Йт Используя (1.60), получаем с1У г(е — =У+В(е)Уе, — =е, г(т ат и начальным условилле (1.50), тп. е. У(го) =О, У'(Го)=Г; 2) фунхиия У(к) являетпся решением уравнения Яхоби (1.49). Доказательство.
То, что из 1) следует 2) проверяется непосредственным вычислением, которое практически повторяет доказательство леммы 1.3. У п р а ж и е и и е. Проведите иеобходимые вычислеиия. Докажем пункт 1). Уравнение (1.61) является линейным дифференциальным уравнением относительно матрицы У(в). КоэффиЦиенты этого УРавнениЯ РазРывны пРи г = Гз (именно поэтому при й = то заданы не только начальные условия У(во), но н У (~ )).
Для того, чтобы устранить разрыв, введем новую фазовую координату есх $ — го и новое независимое переменное т = 1п(г — гп). Тогда (1.61) примет вид 48 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4 з. индекс морсА где В(гс) — непрерывная матрица. В новых координатах начальным значениям У(ро) =О, У(гв) = 1 соответствуют начальные условия У-+О, тс -+О при т — -оо с направлением 1, определяемым в фазовом пространстве У,у парой (1, 1).
Итак, существование и единственность решения уравнения (1.61) с начальными условиями У(~ ) = О, У'(гп) = 1 следуют из леммы 1.5. П Вернемся теперь к доказательству теоремы 1.7. По функции У(г) — матричному решению уравнения Якоби (1.49) — построим матрицу И'(г), являющуюся по лемме 1.3 решением уравнения Риккати (1.52). Эта матрица непрерывна на (гп, 11], а в точке г имеет простой полюс, Кроме того, поскольку 6( ) е Св, имеем 6(1) = (1 — г )со(г), гДе Р(Ф) непРеРывна. ИспользУЯ оба эти факта, получим — (УУ(Х)й(г), 6(1))с(г = (И (г )6(11), 6(11))— со — )пп ( ту (1) 6(1), 6(г)) = О.
с Это означает, что величина 6 .1 действительно не изменяется от с( добавления — (Итй, 6) к подынтегральной функции, и мы установили выполнение условия а). Покажем, что построенная нами матрица Ит(г) симметрическая. Транспонируя обе части уравнения (1.52), и используя симметричность матриц А и В, получаем (И'т)'+ В = (С+ В')А-'(С'+ В').
Тем самым матрица ту' также является решением уравнения т Риккати (1.52). Транспонируя формулу (1.60), получаем (в силу симметричности А), что И' (1) также, каки Ит(к), имеет в точке гп простой полюс с вычетом (-А(й )). Здесь-то нам и понадобится лемма 1.6, позволяющая по решению уравнения Рнккатн построить решение уравнения Якоби. По лемме 1.6 матрице ту' отвечает одна и только одна матрица т У(г), являющаяся решением уравнения АУ' = — С~У вЂ” тт ~У.
При этом У является оешением уравнения Якоби (1.49) с начальными значениями У(й ) = О, У'(гп) = 1. Следовательно, по теореме единственности для уравнения (1.49) У(к) = У(к). Сопоставляя равенства ИГ~У=-АУ'-СГУ и И'У=-АУ'-С У, заключаем, что (Ит — тт"~) У = О. Поскольку матрица У невырождена при 1 > тп, имеем Ит(й) = Ит (Ф) при Ф > гп, т. е. матрица И' симметрическая. Таким образом мы обосновали формулу с, 6г 1 (Астгй+ А-стг(Ст+ Ит)й)гс(г (1 62) ч Из нее следует, что 6~1) О.
Докажем положительную определенность 6 1. Пусть 6~1(6()) =О. Тогда А'с 6+А 'тг(С + тт)ЬВВО. Но 6(гп) = О и, следовательно, А'с~(гп)Ь(гп) =О. Заметим, что й дает минимум функционалу 6~.с, и поэтому является решением уравнения Якоби (1.46). Начальные условия 6(тп) =О, й(гп) =О означают, что Ь(г) ьа О. Итак, 6~.с > О. П У п р а ж н е и и е. Докажите слеауюшую теорему. Те ар е ма 1.8. Пусть для квадратичного функционала б .7 выпол- 2 нено усиленное усговие легсандра (А(с) > О).
бгсспсервал (со, сс) нс содержит точек, сопряженныя с скачкой то, а точка Сс сопРягсена с тпочкой то. Тогда бгу > 0 (при втолс б~.1 не является положительно определеннььн). Указание. Пусть бз,г(А(.))<0. Аппроксимируйте у(с) в метрике С' последовательностью функций, обрапшсошихси в нуль прн с = то и прн с = с,— — 17п. Далее примените теорему 1.7. 9 б. Индекс Морса В этом параграфе мы обсудим теорему Морса об индексе квадратичного функционала.
Через Гк С будет обозначаться ранг матрицы С. Определение. Крсзтпностпьто тпонхы т, сопряженной с точкой гп, называется число и — гк У(т). Упражнение. Докажите, что кратностьточки т совладаете чнсломлинейно независимых решений 6(с) системы (1.48), обрапшюшихсв в нуль в точках то н т. О п р е д е л е н и е. Индехсолс хвадротпичного фунхтбыонала называется максимальная размерность подпространства, на котором этот функционал является отрицательно определенным. ГЛАВА 1.
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Теорема 1.9 (Морс). Пустпь для фунхционала б,У выполнено усиленное условие Лежандра (А > 0). Тогда 2 индехс Л этого функционала равен числу тпочеж, сопряженных с точкой 1 на интервале (го, 2 ), если считатпь каждую сопряженную тпочху столько раэ, ««ахова ее жрат- ность. Доказательство этой теоремы можно найти в книге [32), с.
81-100. П Дадим геометрическую интерпретацию теоремы Морса. Представим себе, что бесконечномерное пространство, на котором определен функционал б Х вЂ э плоскость (х, у), а значе- 2 ние функционала откладывается по оси г. Посмотрим, как эволюционирует поверхность г = г(х, у) при удалении точки 21 от точки 2. Пока точка го достаточно близка к 21, так что на полуотрезке (го, 21) нет точек, сопРЯженных с то, фУнкЦионал б~,7 положительно определен и поверхность является «эллиптическим параболондом». Когда 21 доходит до первой точки т сопряженной с го, функционал б,т' становится неотрицательно определенным.
Точнее, в силу леммы 1.2, у него возникает «нулевое подпространство», состоящее из функций 6(2), удовлетворяющих определению сопряженной точки (см. с. 41). Поверхность становится «эллиптическим цилиндром», «образующая» которого имеет размерность, равную кратности точки г. После того как 21 цройдет через точку т, эта образующая уйдет под «плоскость (х, у)», и поверхность станет «гиперболическим параболоидом» с размерностью отрицательного подпространства, равной кратности точки т. При дальнейшем росте 21, от положительного надпространства (размерность которого всегда равна бесконечности) будут отщепляться новые надпространства с размерностями, равными кратности сопряженных точек, проходимых точкой 2,. П р и м е р 1.10 (гармонический осциллятор). Рассмотрим т функционал,т = (х (2) — ы~х (2)) аг (определяющий функцию о действия для гармонического осцнллятора) и экстремаль х(2) Ве ВВО.
Функционал,7 квадратичный, поэтому он совпадает со своей второй вариацией б~.7. Уравнение Эйлера (оно же уравнение 5 к индекс моРОА Якоби) имеет вид й+ аРх=О. (1.63) Решение уравнения (1.63) с начальными условиями х(0) =О, х(0) = 1 определяет матрицу П(2) (которая состоит из одного элемента, поскольку х одномерно) 1 гт (г) = — 51п юг. Нули этой функции — точки 2 = кй/ьт, к б Е. Следовательно, экстремаль х(.): 1) дает строгий минимум э при Т ( ~/ьт; 2) дает нестрогий минимум т при Т = к/ьт; 3) не дает минимума .7 при Т > к/от. П р и м е р 1.11 (геодезические на цилиндре). Цилиндр зададим уравнением х = соз и, у = 5! и и, г = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
