М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Первая квадратичная форма имеет вид т(в = т(и + г(и . Функционал длины при нева- 2 2 висимом переменном и есть уи +1г(и. Уравнение Эйлера .! ~2 г и — ) = О„или и =О, имеет решения и= С,и+ С2, кот2 ~ —,„— „,) торые являются винтовыми линиями. Если за независимое переменное принять и, то и = 61 и+ 6 и, кроме уже найденных экстре- малей, возникнут прямолинейные образующие и = соп51. Уравнение Якоби в это уравнение в вариациях для уравнения Эйлера, т. е.
йв = 0 его решением с начальными условиями Й(ио) = О, Ь'(и ) = 1 является линейная функция. Она не может дважды обратиться в нуль. Поэтому сопряженных точек нет. П р и м е р 1.12 (продолжение примера 1.2). Первая квадратичная форма в сферических координатах имеет вид г(в = 2 = соз 4~Иу + 3»р . Уравнение Эйлера имеет внд Н ~ 4 ~ со51651пф "',/-Г» -»*' тГ*Г»м»' Решениями этого уравнения, как мы видели (пример 1.2), являются большие круги сферы. Поскольку любые два больших круга можно перенести друг в друга вращением сферы, достаточно рассмотреть геодезическую ф(~р) ВВО.
Уравнение Якоби получится, 52 ГЛАБА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Б Б. ТеОРемА якОБи ОБ ОГиБАющеЙ если записать уравнение в вариациях для (1.64) в окрестности тд( ). Нетрудно проверить, что получится уравнение Ь+ Ь= О. У и р а ж н е н н е. Восстановить пропущенную выкладку. В соответствие с примером 1.10 сопряженной с начальной точкой является диаметрально противоположная точка сферы. В силу необходимого условия Якоби, геодезическая, продолженная за диаметрально противоположную точку, теряет свойство минимальности. Все полуокружности, соединяющие диаметрально противоположные точки, имеют одинаковую длину. То, что сопряженная точка является здесь точкой пересечения всех экстре- малей, исходящих из одной точки, явление вырожденное, связанное с симметрией сферы.
Ниже, в примере 1.14, мы встретимся с более типичной ситуацией — наличием огибающей семейства экстремалей, исходящих из одной точки. П р и м е р 1.! 3 (продолжение примера 1.3). На этом примере будет продемонстрирован другой прием нахождения сопряженных точек. В примере 1.3 было показано, что общее решение уравнения Эйлера для нашей задачи имеет вид у=  — (х+ Р) . Здесь произвольные постоянные В и дд соот- 2 2 ветствуют начальным данным на геодезической. Уравнение Якоби — это уравнение в вариациях для уравнения Эйлера.
Поэтому решениями уравнения Якоби являются производные по начальным данным от решений уравнения Эйлера или, что то же самое, производные по В и В: а~ В Ду ( +р) Ь,= — = Ь = — = 2  — (х+ 11) 2 01О 2 2  — (х+ Р) Фиксируем произвольную геодезическую Л, В. Тогда Ь, и Ьг являются линейно независимыми и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения Якоби.
Общее решение уравнения Якоби является их линейной комбинацией: С,В- С,(х+В) С,Ь,+СЬ,= В2 ( + 12)г Если взять не равное нулю решение, которое при х = х обращается в нуль, то второй раз это решение в нуль уже не обратится, так как в числителе стоит линейная функция от х.
Следовательно, сопряженных точек нет. П р и м е р 1.14 (задача баллистики). 1 т/у + й1/ 1 + у~с1х †+, у(0) = О, у(1) = а ) — й. у + й Интеграл энергии дает — = С. Общее решение этого урав(~1+ у' пения имеет вид (х — А)2 = 4С2(у+ й — Сг). Для решения, проходящего через точку (0,0), получаем А =4С2(й — С ). За параметр, определяющий экстремаль, проходящую через точку (О, 0), выберем величину у'(0) = а. Тогда а = — А/(2С ), А =4С (й — С ).
Исключив А и С, получим у= +ха. 2 г 2 (1+ а )х 4й Находим огибающую этого семейства парабол: 1+а 2 ах 2 у= хг-1-хст, 0= — + х. 4й ' 2й 2 Так что у = — — й. Эта кривая носит в баллистике название твп4й раболы йезооасыостпи. Точка касания экстремали с параболой безопасности определяет сопряженную точку. Уп раж не вне. Докажите втот факт. у б. Теорема Якоби об огибающей Как уже отмечалось, типичная ситуация возникновения сопряженной точки на экстремали — это ее касание с огибающей однопараметрического семейства экстремалей, исходящих из одной точки.
Такие огибающие были найдены Якоби при исследовании геодезического потока на трехосном эллипсоиде. Приведем здесь теорему, характеризующую замечательное геометрическое свойство огибающих однопараметрического семейства экстремалей. При этом вместо задачи с фиксированными концами, когда все экстремали выходят из одной точки, будет рассмотрена более общая задача с подвижным левым концом, что практически не усложнит выкладок.
Рассмотрим функционал ч (1.65) .7 = У(1, х(1), х(1))с11 54 ГЛАВА Ь КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ с граничным условием Ф(гз, х(й )) = О. Здесь х е Ж, У: Ж х Ж х х К-а К, У Е С (Р), Ф: Ж х К-а Ж, Ф Е С (Р)„Ф Ф 0; Р— окрестность графика кривой х = х(г), х = х(г), 1 Е [то, г([, где Ж( )— экстремаль функционала .7, удовлетворяющая условию трансвер- сальности (1.38) в точке (го, Ж(й )).
РасВ смотрим однопараметрическое семейство экстремалей х(г, сг), удовлетворяющих условию трансверсальности (1.38), и такое, что х(г, 0) = Ж(г). Предположим, что А С это семейство имеет огибающую (дуга ВР иа рис. 1.3); АС на этом рисунке — это кривая Ф(г, х) =0; АВ и СР— Рвс. 1.3 экстремали, соответствующие значениям ст, и стг. Момент касания экстремали х((,а) с огибающей обозначим через $1(ст). Т е о р е м а 1.10 (теорема Якоби об огибающей). Если параметпризация огибающей ВР выбрана тпак, чтпо скоростпь движения по ВР в каждой точке равна скоростпи двизсения по экстпремали, касающейся ВР в этпой тпочке, тпо разность значений функционала .7 на экстпремалях АВ и СР равна значению .7 на отпрезке огибающей ВР.
Доказательство. Подставив х(г,а) под знак функционала 7, получим скалярную функцию 7(ст). В силу формулы (1.35) Ч(а) (Ч(а) — 1 [У, — — У,~ — с(с+ [рбх — Нбс[~ ((а з ~* ((г '~да М(а) та(а) Интегральный член в этой формуле равен нулю, поскольку х(г, ст) — экстремал)ь [рбх — Нб([~„( ) — — 0 в силу выполнения условия трансверсальности (1.38) в точках (с (сг), х(~ (сг), сг)). Поэтому с1.7 дх а1 — = Уа — (11(сг), О) — [ — У + Уьх[ — '. (1.66) Поскольку ВР— огибающая, касательная к ней, задаваемая век- /(11, бх тором ~ ', †(г,(сг),а) , совпадает с касательной к экстрема- 1, с(а с(а 4 к теОРемА якОБи ОБ ОГиБАющей ли, задаваемой вектором (1, х(1,(О), а)), т. е.
б(, дх х(г)(ст), ст) — ~ = — (с,(ст), а). Подставив это соотношение в (1.66), получим (1.7 — = У(1,(сг), х(1,(ст), ст), х(г,(а), а)). (1.67) Интегрируя (1.67) от О) до аю имеем ат .7(стз) — .7(сг() = У(11(ст), х(г,(ст), сг), х(г((а), ст))(1ст. (1.68) а1 Правая часть формулы (1.68) есть значение функционала 7 на ВР, о котором говорится в условиях теоремы. П Доказанная теорема обобщает известное свойство эволюты плоской кривой (см. [43, с.
1291). Напомним, что эволютой плоской кривой у= (Р(х) называется геометрическое место ее центров кривизны и что эволюта является огибающей семейства нормалей к исходной кривой у = (Р(х). На множестве плоских кривых х= х(1), у = у(1), го < 1 < 11, удовлетворяющих граничным условиям у(го) = у(х($ )), рассмотрим функционал Й )7' х + у~аг, определяющий длину кривой. Экстремалями для ц С В него служат прямые; условию трансвер- 1) сальности удовлетворяют нормали (см. пример 1.6). Огибающей семейства нормалей будет эволюта. Применим теорему Якоби. я „(.) Если в двух точках А и С кривой у= = ьт(х) (см. рис.
1.4) провести нормали (АВ и С.Р соответственно) и рассмотреть Рис. 1А расстояния по ним до точек В и Р касания с эволютой, то величина )АВ) — )СР[ будет равна длине дуги эволюты ВР, Пример 1.15. На множестве плоских кривых х= = х(1), у= у(г), О< г < 1, удовлетворяющих граничным условиям х(0) = с, у(0) = т), у(1) = х (1), рассмотрим функционал 59 $7. СИЛЬНЫЙ МИНИМУМ бз ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ у У. Сильный минимум Необходимое условие Вейерштрасса. Рассмотрим следующую задачу. Среди всех кривых х( ) Е С ([гв, с1], В"), удовлетворяющих граничным условиям х(го) = а, х(11) = Ь, где а и Ь вЂ” две заданные точки из пространства В", найти такую, которая дает минимальное значение функционалу ч ,У(х( ° )) = У(г, х(т), х(т)) 7$$, где У Е С ([гв, 11] х В" х В").
О и р е д е л е н и е. Будем говорить, что кривая х(. ) реализует сильный ниннмулс рассматриваемая выше задачи, если существует такая окрестность у' точки х(.) в пространстве 1 РС ([го, 71]), что для любой кривой х( ) Е 17 выполнено неравенство,У(х( )) >,У(х(. )). Очевидно, что всякий сильный минимум является слабым, и поэтому достаточные условия сильного минимума являются достаточными условиями слабого, а необходимые условия слабого минимума — необходимыми условиями „*<7+ ) сильного. Однако не всякий слабый минимум является сильным. Поэтому естествен- х1т) но поставить вопрос о необходимых условиях сильного минимума, не являющихся Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
