М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1.б необходимыми для слабого минимума. Зафиксируем т Е [со, г1), вектор с е В" и число а > О. Рассмотрим семейство кривых (см. рис. 1.6) х(г), г ф[т, т+а], х(1 ) х(т)+ (($ — т), г Е [т, т + а], х(т)+с а — х(т-1-а) х(т) + (т+сг — Г), Е Е [т+ а, т + сг], При достаточна малом а кривые х(г, а) попадают в сколь угодно малую С-окрестность (но не С -окрестность) кривой х( ), х(1,0) =х(т). Подставив х(с, а) под знак функционала .У, получим функцию У(а), которая определена при а > 0 и дости- И,У гает минимума при а = О.
Следовательно, — (0) > О. Имеем с1а с+а с+а ,У(а) †.У(0) = У(1, х(т)+ Ц 1 — т), С ) 71т — У(с, х, х) йс+ с+ 7 т у(1, х(С, а), х(с, а)) йг. Применяя формулу (1.35), получаем с+с — =~(т+а, х(т)+(а, ~) — [рбх — В бг]~ + ) 1Х вЂ” — „Х.~ — йз.
оа т+а Поскольку на х( ) выполнено уравнение Эйлера, интегральный член при а = 0 равен нулю. Так как левый конец семейства х(1,а) скользит по прямой 1 = т+ а, х = х(т)+ аС с направляющим вектором (1, с), вместо вектора (61, бх) надо подставить вектор (1, ~). В результате получим $(т, х(т), Π— У(т, х(т), х(т))— — Уь(т, х(т), х(т))(с — х(т)) > О. Рис.
1.7 Функция е(т> х, х, () = У(т, х, ~) — У(т, х, х) — Уь(т, х, х))(( — х) называется фун7щией Вейернстпросссь Нами доказана следующая теорема. Т е о р е м а 1 11 (необходимое условие Вейерштрасса). Пустиь энсгпремаль х( ° ) дает сальный мннимум сбунн71нонвлу У. Тозда Е(т, х(т), х(т), с') >О про всех с ЕВ", т 6[го, 11]. Обсудим геометрический смысл этой теоремы. Зафиксируем значения то, хв, та и рассмотрим у = У(тв, т, ~) как функцию переменного с.
Тогда функцию Вейерштрасса можно интерпретировать как уклонение поверхности у= Ято,ха, с) от касательной плоскости, проведенной в точке х . Тем самым условие Вейерштрасса означает, что прн всех т й [го, 17] поверхность у = 60 ГЛАВА !. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАННАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ = у(т, х(т), С ) целиком лежит над касательной плоскостью, проведенной в точке х(т) (см. рнс. 1.7). 3 а и е ч а н и е.
Применив формулу Тейлора ~(2, л(2), () = У(2, х(й), л(Г)) + Цг, л(1), а(2))((' — з(1)) + + -(уяа(1, х(т), х(2)) + д(С вЂ” ж(1))(6 — х( т), (С вЂ” <в(2)), где О < д < 1, легко показать, что из условия Вейерштрасса следует условие Лежандра ~, ) О. упражнение. Покажите, что слабый минимум функционала у= ! з т ос, с гранкчнымн условиями я(0) = О, я(1) = 1.
не является сильным мно ннмумом. 9 8. Интегральный инвариант Пуанкаре — Картина Внешние дифференциальные формы, Пусть М глад кое п-мерное многообразие, Т,М вЂ” и мерная касательная плоскость к М в точке л, т. е. линейное пространство дифференциальных операторов первого порядка, действующих на функциях уя: М -+ Ж. Если х',...,я' — локальные координаты на М, д д то операторы дифференцирования †,..., †„ образуют базис дх! ' дх" пространства Т,М. Дифференцтаолънал 1-форма — это линейный функционал на Т М, точнее, гладкое семейство линейных функционалов, параметризованное точками многообразия М. Линейные функционалы на Т М в точке з образуют линейное пространство Т,'М, двойственное к Т,М.
Его называют 2сомасательтаы к простпраистпвом. В качестве базиса пространд д ства Т'М можно взять базис, двойственный к — ... —, е дл! < ' '< дха< т. е. такой базис, что его я-й элемент (обозначаемый как !1з!) д есть линейный функционал, который на векторе —,. принимает дх! значение 1, а на остальных векторах —., у уА т, — значение О. доз п Общий элемент Т,'М имеет внд 2', у,с(х!. Дифференциальная <=1 я З.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ПУАНКАРŠ— КАРТАНА Е1 1-форма о!! ) — это зависящее от х семейство таких элементов о!! ) = Я уг(я)с(ж', что функции Л гладко зависят от н и при !=1 переходе от одной карты к другой преобразуются как коэффициенты коварнантного вектора. Простейший пример 1-формы— а ДЯ это дифференциал функции Г: М -+ В, с(г' = 2 —.с1з'. я=! ди Дифференциальные 1-формы можно интегрировать по кривым 1, лежащим на М. Для этого кривая 1 разбивается на куски 1, каждый из которых лежит в одной локальной системе координат.
Далее уравнение 1: т = х (2), 1 о < Ф < т „подставляется под знак интеграла и производится суммирование по и. Дтаффервнципльеаые 2-форлаы — это билинейные кососимметрнчные формы на Т,М х Т,М, т. е. функционалы, определенные на парах касательных векторов, линейные по каждому аргументу и меняющие знак при перестановке аргументов местами. Простейшим примером такого функционала является определитель, построенный на парах двумерных векторов: 4,= )' = 1!Н2 — 12т)!. (1.69) 2 Г)2 Этот пример типичен: любую кососимметрическую билинейную форму можно разложить в прямую сумму форм вида (1.69) 129, с.
416). Общий вид дифференциальной 2-формы: оР = ~~! ~,"(к) Г(х! А с1хУ, (1.70) где у . = — у .. — гладкие функции, которые при переходе от од!у тч ной системы координат к другой преобразуются как координаты ковариантного тензора второго ранга. Дифференциальная форма с(з! д Мху — это форма, принимающая на паре касательных век- ТОРОВ С КООРДИНатаМИ С1,..., С„, 2)„..., П„аиаЧЕННЕ Сет)у — С',.!)! Это значение равно площади параллелограмма (взятой со зйаком + илн — в зависимости от ориентации), построенного на 62 ГЛАНА Ь КЛАССИЧЕСКОЕ ЗАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ проекциях векторов С и и на (г, 2)-ю координатную плоскость в ТМ.
С любой билинейной кососимметрической формой ю»~у в Т,М можно однозначно связать кососимметрнческий линейный оператор А, который каждому вектору С Е Т,М ставит в со- ОтВЕтСтВИЕ 1-фариу А,С Е Т*М таК, Чта Шлзл(С,»1) = А,((Г1). В д д базисе —,..., — „элементами матрицы А для формы (1.70) д,' 'д" ж служат 7"„(х). Дифференциальные 2-формы можно интегрировать по двумерным многообразиям Ос М. Для этого подмногообразие разбивается на куски 1.л", каждый из которых лежит в одной локальной системе координат.
Далее уравнение Ю: х = х,(и, о), (и, о) Е Ь С Й, подставляется под знак интеграла д*.* д*.' ди до дх' дх' дн до и производится суммирование по»2. Аналогичным образом определяются дифференциальные я-формы: ш» л= ) ~, » (х)дх" Л...Л»1ха. На множестве дифференциальных форм определяется внешнее умножение (формы перемножаются как полиномы, однако, перестановка дифференциалов внутри каждого манама приводит к изменению знака этого манама) и внешнее дифференцирование л~~ У, а ' л...лг*л1=Г'»8 л»,~ли*' ...м*л.
Операция внешнего дифференцирования определяется так, что верна формула Стокса ю= ды, где ы — дифференциальная вт й-форма, 7 — ориентированный кусок (й+ 1)-мерного многообразия, д у — его граница с нндуцированной на ней ориентацией. Доказательство формулы Стокса см. в [35, с. 103), Дифференциальная Й-форма ш называется замкнутой, если Им=0, н точной, если 4о = НВ, где д — некоторая (й — 1)-мерная форма. Всякая точная форма является замкнутой 149).
$ к интеГРАлъный инвАРиАнт пуАнкАРе — кАРТАнА Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана. Здесь будет доказано необходимое для последующего изложения свойство канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений — наличие интегрального инварианта. Идея интегрального инварианта возникла в работах Стокса при изучении стационарного вихревого течения несжимаемой жидкости. Приведем рассуждения Стокса, следуя изложению в 13, с. 200]. Пусть о — векторное поле скоростей течения жидкости, го1 о — поле ротора. Интегральные кривые векторного поля ротора называются вихревыми линпял»и, Рассмотрим замк- г,, т, нутый одномерный контур у, и через каждую его точку проведем вихревую линию.
Получим вихревую трубку. Рассмотрим контур у2, охватывающий ту Ряс. Из же вихревую трубку (рис. 1.8). Боковую поверхность этой трубки с границей у, — у обозначим через Г. Циркуляцией поля о по контуру у называется о Ж, где » 2 з форма оЖ имеет вид о»»1=о,йх + о2»8х +взах .
Лемма 1.7 (Стокс). Цир2гуляцыя 88оля и 28о у, и .уз одинакова, гп. е. о»Л = оЖ. ъ Доказательство. Применяя к Г формулу Стокса, име- тИ вЂ” оЖ = (го1 о)»И = 0 ч ъ г Последнее равенство есть следствие того, что го1 о всюду касается Г, н его поток через Г равен нулю. Утверждение леммы Стокса можно выразить следующей фразой: форма оЖ есть интегральный инвариант для поля ротора. А.
Пуанкаре показал, что если рассмотреть отображение И то И 2 ~ ( ) Х ( $ ) р ( $ ) по траекториям канонической системы х=Н , р = -Н , то дифференциальная форма рЫх есть интегральный инвариант этого 64 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ отображения. Дальнейшее обобщение этой идеи принадлежит Э.
Картану. В последующем изложении роль циркуляции играет интеграл по замкнутому контуру от произвольной 1-формы а> , роль ротора — билинейная форма ((>о(). Ранг билинейной О) 1 кососнмметпической формы — четное число. Дифференциальная 2-форма в>( называется невыротхденной если ее ранг в каждой (2 точке максимален. В нечетиомерном пространстве )к~~+' невы- рожденные 2-формы имеют ранг 2х. В этом случае матрица отображения А„определяемого формой ь>( ), имеет одномерное ядро. Обозначим через (,(х) векторное поле, направленное по этому ядру.
Если двумерная плоскость о, натянутая на вектора С, т), содержит (,"(х), то «>(')(с'> т)) = О. Действительно, один из векторов, скажем, С, есть линейная комбинация >," и т). Поэтому »>()(с, т)) = »>( )(а >" ,+ >8>), т)) = а(А,(', ту) + Я»)( )(т), т)). Первый член в правой части равен нулю, поскольку (' принадлежит ядру А, а второй в силу кососимметричности а>(~). Пусть теперь ы(') — такая 1-форма в )к~~+', что ее дифференциал ь>( ) = >1ь>( ) невырожден. Интегральные линии векторно- (2) (1) го поля >,(х) называются харахтаеристаихами формы а>( ). Для одномерного контура у, рассмотрим трубку из характеристик, проходящих через .у,, и контур у, охватывающий эту трубку (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
