М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это множество снабжается топологией надпространства пространства С([то, а,]). Упражнение. Докажите, что пространство РС'([с,е,]), с метрикой, иидунированной иа С([то, т~ [), не является оанаковмм пространством. Очевидно, что для решения х( ) е РС'([со, т,]) задачи 1 каждый участок гладкости х(т), т Е [т,, та+,], должен удовлетворять уравнению Эйлера, поскольку он должен давать минимум функционалу,Х с граничными условиями (т,,х(1;)), (та+„х(та+,)). Однако большинство таких экстремалей заведомо не дает мййимума функционалу т. Оказывается, что в каждой угловой точке должно выполняться следующее дополнительное условие.
У с л о в и е В е й е р ш т р а с с а — Э р д м а н а. Канонычеемые ыерелеенные в угловой тпочне долзены быть неирерывнылеы. Нетривиальность этого условия состоит в том, что в выражение, определяющее канонические переменные, входит х, которое в угловой точке терпит разрыв. Доказательство. Очевидно, что достаточно рассмотреть случай одной угловой точки. Пусть х( ) имеет точку излома (т, х(т)).
Проведем через эту точку произвольную прямую 1 с направляющим вектором (бк, 6х). Так же как и выше рассмотрим гладкое однопараметрическое семейство кривых х(а, а) такое, что х(л,0) = х(а), х(гп, а) = х(~ ), х(г„а) = х(й,) и при фиксированном а функция х(с, а) является гладкой всюду, кроме точки пересечения (т(а), х(т(а), а)) с прямой 1. Представим интеграл .т(а) в виде суммы интегралов по отрезкам, лежащим до и после пересечения кривой х($, ст) с пря- мой 1: г(о) 1 ,Х(а) = ~,[(й, х(г, а), х(Ф, а))с[8+ г((, х(к, а), х(т, а))с[с.
г(а) Применим формулу (1.35). Так как на кривой х(() = х(с,0) выполнено уравнение Эйлера, а подстановка гп и с, в форму Пуанкуре — Картана также дает нуль (так как все кривые х(т, а) проходят через точки (Гп, х(й )) и (е„х(Г,))), получаем с(.7(0) =[р(т — 0)6х — Н(т -0)6а] — [р(т+0)бх — Н(т+0)ба]= с[а = [р(т — О) — р(г + 0)]бх — [Н(т — О) — Н(т + 0)]ба = О. (1.42) Поскольку 6т и бх произвольны, из (1.42) следует непрерывность канонических переменных в точке т.
Вернемся теперь к примеру 1.8 и попробуем найти кусочно гладкие решения задачи о минимальной поверхности вращения. Выпишем для этого канонические переменные: р=, Н уу у ф+~' ф+~ Нетрудно показать, что р и Н могут остаться непрерывными при скачке у тогда и только тогда, когда у =О. Но ни одна из линий (! .41) не доходит до оси абсцисс. Поэтому ломаными экстремалями могут служить только линии, состоящие из отрезка оси абсцисс и двух вертикальных отрезков х = сопз(.
Следовательно, ответ на вопрос о том, что случится с мыльной пленкой, если две окружности, составляющие контур К, отодвигать друг от друга, увеличивая расстояние 2д между ними, очень прост: пленка лопнет и затянет две окружности. Это и есть поверхность вращения найденной ломаной экстремали. Отрезок оси вращения, соединяющий два диска, имеет при этом нулевую площадь и служит лишь напоминанием о связности катеноида. Оказывается, что в общей задаче Плато такого рода клетки меньшей размерности играют весьма важную роль (см. об этом в [51]). Уравнение Гамильтона — Якоби. Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала (1.3) с граничными условиями (1.2) с несколько другой точки зрения. Зафиксируем начальную точку (го, хп) = а и введем функцию 8(Ф„х,), равную минимальному значению функционала .7 на траекториях, соединяющих точки а= (то, хо) и Ь =(с„х,).
Мы будем предполагать, что в некоторой области пространства переменных г„х, это минимальное значение достигается на кривых, которые гладко зависят от Г„х,. Найдем уравнение в частных производных, которому удовлетворяет функция 8. зб ГЛАВА !. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ 3. ТЕОРИЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ Рассмотрим произвольное гладкое однопараметрическое се- мейство траекторий х(2, а) с неподвижным левым и подвижным правым концом такое, что х(2, 0) = х(2) (напомним, что через х(Ф) мы обозначаем решение рассматриваемой вариационной задачи).
Применяя к этому семейству формулу для вариации функциона- ла с подвижными граничными условиями, получаем уравнение дд д, дс, — = р — — Н вЂ” '. Учитывая, что кривые, по которым скользит да „да да правый конец, выбираются произвольно, мы получаем соотноше- ние ((В = рг(х, — Н((2!. Таким образом, дйфференциал функции В(2, х) равен форме Пуанкаре — Картаиа. Итак, мы получилн дВ(2, х) Г дд(2, х)~ Это и есть уравнение Гамильтона — Якоби. П р и м е р 1.9. Найдем уравнение Гамильтона— ), и Якоби для функционала т(2, х) 1+ 2;(х!) с(Ф.
Гамильтониг=! ь) ан этого ункционала был найден в примере 1.5: Н(2, х, р) = 2 — у~ — 2; р, Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид з=! или Это уравнение называется уравнениелз эйнонола для неоонороа й ер Д . У и р а ж н е и и е. Найдите уравнение Гамильтона — Якоби дзя функционала действия на римановом многообразии )(а' )(а) ) у!.(а) — — н), л! )л=) й 3. Теории второй вариации Задача о второй вариации.
Вернемся к выводу уравнения Эйлера (см. $1). Решение х(Ф) задачи минимизации функциона- ла (1.3) 7(х( )) = Г(з, х(т), х(з)) (22 )о было включено в гладкое однопараметрическое семейство кри- вых х(Ф) + Л Ь(Ф), Л й )и, Ь Е С,([2~, 2)]) (так как в дальнейшем то и 2! будут фиксированы, вместо С,([го, 2)]) мы будем писать про- сто Сб). Вычисляя значение функционала (1.3) на кривых этого семейства мы получили функцию з, (р(Л) = ~(2, х(2) + Л Ь(Ф), х(2) + Л Ь(2)) с(2) го которая прн Л =0 достигает локального минимума. До снх пор мы рассматривали условие ()о'(0) = О. Теперь обратимся к усло- ВНЮ (рл(0) >О. ЕСЛИ у й С2, тО ВЕЛИЧИНУ (рл(0) МОЖНО НайтИ, дифференцируя ') подынтегральную функцию: и ю(0)=] 2 (У(, )! .))У)~)),)-),;~))]Я.
(144) А) =! Выражение (1.44) называется вгпорой вариацией функ- ционала .) в точке х(т) и обозначается через о~.). Матрицу ,)а(,, мы обозначим через А(з), матрицу Д,)ь( — через С(2), и матрицу у ); — через В(2). Матрицы А($) и В(2) симметричны по теореме о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Отметим, что матрица С(2), вообще гово- ря, может не быть симметричной. В этих обозначениях функцио- нал (1.44) записывается следующим образом: ), о~У = ((АЬ, Ь) + 2(СЬ, Ь) + (ВЬ, Ь)) ((2.
(1.45) ') Как и прежде, через / (; мы обозначаем выражение у,(,;(т, а(!),й(!)). Смысл символов 7ь(, и уз(ь) аналогичен. зв ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ НСЧИСЛЕНИЕ 39 $ 3. ТЕОРИЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ Будем говорить, что функционал 62.7 неотприцатпельно определен (6~,7 > 0), если на функциях Ь й С1 он не принима- ет отрицательных значений. Функционал 62.7 положип1ельно определен (62,7 > 0), если он неотрицательио определен и при- нимает нулевое значение только на функции Ь(2) = О.
Так как 22л(0) > О, то неотрицательная определенность функ- ционала второй вариации 6~.7 является необходимым условием минимума функционала (1.3). Необходимое условие Лежандра. О п р е д е л е н и е. Функционал 62,7 удовлетпворяетп условию лежандра, если для всех 2 е [га, 21] матрица А(2) неот- рицательно определена (А(2) > 0). Т е о р е м а 1.3, Условие Лежандра являетпся необхо- димььм условием неотприцатпельной определеннастпи функ- ционала 6 7, Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть в точке т Е (гв, 21) нарушается условие Лежандра, т. е. существует такой вектор С 6 М", что (АС, С ) < О. Выберем такое число гг, что 2 < т — тг < т + а < 21, и рассмотрим сдедуюптую функцию х(2): о- — )2 — т] при ]2 — т[ < тг, Х(г) = 0 при ]2 — т! > т. Вычисляя значение функционала 6 .7 на функции Ь(2) = х(2)~, получаем + 6~7(д(2)~)= ((А~,Я+226п(т — 2)(С~,ЯТС(2)+ г ~г + (Вс, с) 1Г (2)) г(2.
(1.46) Рассмотрим первое слагаемое (1.46). Так как А(2) непрерывна и (Ас,с)<0, то существует такое Ь, что (А(2)с, с)< — Ь при 2 е [т — гт,т+ гг] для достаточно малых тг. Остальные слагаемые (!.46) равномерно стремятся к нулю, при а стремящемся к нулю, и, следовательно, 62.7 < 0 при достаточно малом гг. Поскольку функционал 6~,7 Оказался отрицательным не на гладкой, а на кусочно гладкой функции, для завершения доказательства теоремы следует воспользоваться леммой о скруглении углов (см. [1, с. 69]). В этой лемме доказывается, что значение интегрального функционала на любой кусочно гладкой функции можно сколь угодно точно приблизить его значениями на глад- ких функциях с теми же граничными условиями. Поэтому ест 6~,7 принимает отрицательное значение на некоторой кусочно гладкой функции, то найдется гладкая функция, на которой этот функционал отрицателен, а это противоречит неотрицательной определенности 6 7.
Тем самым мы доказали неотрицательность матрицы А(2) во внутренних точках отрезка [то, 21]. Ее неотрицательность на концах отрезка является следствием непрерывности. П Как следствие доказанной теоремы мы получаем необходи- мое условие минимума функционала (1.3). Т е о р е и а 1.4 (необходимое условие Лежандра). Ясли локальный минимум функционала 7 достпигаетпся на зк- стпре.кали х(2)г тпо при всех 2 й [гз, 21] матприца 7.ть1(2) нео- тприцатпельно определена.
Оп р ед еле ни е. Функционал 62.7 удовлетпворяетп уси- ленному условию Лежандра, если при всех 2 к [то, 21] матри- ца А(2) положительно определена. В связи с рассмотрением усиленного условия Лежандра при- ведем о ш н б о ч н о е рассуждение Лагранжа, полагавшего, что усиленное условие Лежандра достаточно для неотрицательной определенности функционала 6 .7. Рассуждение Лагранжа.
Рассмотрим случай скалярной 1, 1, функции х. Тогда 2СЬЬ т12 = — СЬ2 т(т, и функционал 62,7 (см. в ч (1.45)) можно записать в виде 6~.7 = [р(2)йь(2)+ 9(2)ЬЙ(2)] 112. г(> Пусть р(2) >О, т. е. выполняется усиленное условие Лежанд- ра. Прибавление к подынтегральному выражению слагаемого — [ю(2)Ь (2)] не изменит значение 6 7, так как Ь(2) й Св и, 2 2 1 ч Й следовательно, ~ — [ю(2)Ь (2)] т12 = ю(2)Ь (2) = О.
Подберем 2 2 ')(г ь функцию ю(2) таким образом, чтобы подынтегральная функция рЬ2+ 2юЬЬ+ (ю+ 9)Ь2 стала полным квадратом, т. е. найдем ю 41 40 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ 3. ТЕОРИЯ ВТОРОЙ ВАРИАЦИИ из уравнения (1.47) ч Тогда б2,7 = (р!72Ь+ р 112юЬ)2 !12 > О. Ошибочность этого рассуждения заключается в том, что уравнение Риккати (1.47) может ие иметь решения, непрерывного на всем отрезке [С,, 21], как это неявно предполагается в приведенном рассуждении.
Для этого уравнения не выполнена теорема о продолжимости решения и, как показывает следующий пример, решение может уйти на бесконечность за конечное время. Запишем уравнение Эйлера для присоединенной задачи: — — [АЬ+ С Ь]+[СЬ+ ВЬ]=0. <а . т !12 (1.48) Уравнение (1.48) называется уравнением Якоби для исходной задачи 1. У и р а ж н е н и е. Показать, что уравнение Якоби — зто уравнение в варианияк лля уравнения эйлера (1.! 1). Й В самом деле, пусть б27 = (Ь2 — Ь2) !12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
