М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 4
Текст из файла (страница 4)
««.=,/а*-~Р««н., р.рг ~,. отношение, получаем (х+.1«) =  — у . Итак, геодезическими иа 2 2 2 плоскости Лобачевского в модели Клейна — Пуанкаре являются окружности, ортогональные прямой у= О, которая в геометрии Лобачевского называется абсолгогпом, Если за независимую пе- Т/У+1 ременную принять, то для подынтегральной функции у. х У можно записать интеграл импульса = С. Кроме уже ут/х2+1 полученных экстремалей, при С = О мйполучаем вертикальные прямые.
Итак, роль прямых на плоскости Лобачевского выполняют вертикальные прямые и окружности, ортогональные абсолюту. Упражнения. !. Докажите, что для «прямых«на плоскости Лобачевского выполнены все аксиомы евклидовой плоскости, кроме аксиомы о параллельных. 2. Докажите, что гауссова кривизна многообразна с метрикой Ыз~ = «!х + Ыу~ постоянна н отрицательна.
р З.Докажите, что дробно-линейные преобразования, переводящие верхнюю полуплоскость в себя, сохраняют Ла~ и определяют группу движений плоскости Лобачевского. 4. Существует ли дробно-линейное преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость в себя и переводящее две заданные точки в две другие заданные точки? Вернемся к общей задаче нахождения экстремалей функционала (1,13). Мы будем рассматривать кривые без особенностей, т.
е. будем считать, что ~х~ ~ О. Так как функционал (1.13) не зависит от выбора параметризации кривой х(2), то мы можем считать, что за параметр выбрана длина дуги. В этом случае на рассматриваемой кривой а дг (х(з)) хгх' = 1. (1.14) «,г=! Найдем уравнение геодезических. Учитывая (1.14), получаем ддг, г, Уравнение Эйлера имеет вид 1 ч-~ д!у — г д.х — — г — хх— дх' У=1 1,2=! 1 "ддпг 1 "ддн.г — — ",!' — *'! хгх'+ — "С вЂ” "хгх'=О. (1.15) Обозначим через дь1 матрицу, обратную к д, (матрица д,. положительно определена и поэтому невырождена). Умножим обе части уравнения (1.15) на матрицу дь'.
Получаем х + — ~ д ~ — '+ — '. — — 1У~ хгх'=О. (1.16) „~дд„. ддп дд1,1 Выражения — 7 дь' ~ — ',. + — 1! — — «г'~ называются символами ТГраспзоффелл (или коэффициентами связности) и обозначаются через Г,",. В этих обозначениях уравнение (1.16) принимает вид и хь+ ) ГА.(х)хгху=О, ?с=1,...,гг. «,2=1 Это и есть уравнение геодезических. д 2. Гамильтонов формализм Преобразование Лежандра. Рассмотрим класс 1б, состоящий из таких функций у: К -+ К, что у Е С (К), и, кроме того, выполняются следующие условия: 1) уа(ы) ) О, ие К; 2) отображение у'! К-«К, У': иг-«у'(ы), сюръективно. Каждой такой функции у е 1б сопоставим новую функцию у*(д), определенную следующим образом: 22 ГЛАВА !.
КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2 2. ГАмильтонОВ ФОРмАлизм где новая независимая переменная р связана с и соотношением К(и) р= !Зи (1.18) При помощи условий 1) и 2) нетрудно доказать, что соотношение (1.18) определяет взаимно однозначное соответствие между и и р. Отображение Л: ~ -+ г" называется преобразованием Лезсандра. Т е о р е м а 1,1„Преобразование Лет!сандра Л обладает следуюиси ни своиства ни: а) Л отобраасаетп 6 в 6; б) отобразсение Л инволютивно, т.
е. Л вЂ” тпозсдест- 2 венное тсрсо бравое ание. Д о к а з а т е л ь с т з о. В равенстве !2У (р) !2и с(1 с(и =и+р — — —— с1р с1р с(и 4р два последних слагаемых взаимно уничтожаются в силу (1.18). Поэтому фФ = и. (1.19) Дифференцируя (1.19) по р получаем, что = —.
Для того 12 с ° с!и сгр !2Р чтобы найти — продифференцируем (1.18), учитывая условие 1): с(р с1из Тем самым мы доказали условие 1) для функции у". Условие 2) следует из формулы (1.19). Докажем пункт б). В самом деле, формула (1.19) определяет независимую переменную для функции (Г*)*, При этом (1.20) (г')*(и) = ир — ~'(р) = ир — (ри — 1(и)1= г(и). П Геометрический смысл преобразования Лежандра можно по- . яснить следующим образом. Рассмотрим график функции 2= = у (и).
Соотношение (1.18) означает, что в точке и касательная к графику функции 2 =,Г(и) имеет наклон р. Из формулы (1.17) следует, что !с'(р) — это величина, на которую надо опустить прямую л = ри для того, чтобы она стала касательной к графику заданной функции у(и) (см. т рис.
1.1). Тем самым функция .Г"(р) определяет совокупность касательных к графику функции 2 =Да). Определение преобразования Лежандра легко перенести на класс функций 6 нескольких переменных у: Ж"- и. При этом с у (р) = ~ рсис — у(и), р Е (12")', ! 1 д,г" где р = —, 2=1,...,п.
ди! Условия 1) и 2) принимают следующий вид: 1') (У ) > О, т. е. гессиан функции Г является положитель- нн но определенной матрицей; 2') градиентное отображение и! .1'„(и) сюръективно. Доказательство свойств а) и б) аналогично доказательству теоремы 1, однако все формулы следует понимать в матричном смысле. Геометрический смысл г"'(р) остается прежним. Это величина, на которую надо опустить плоскость л = (р, и) для того, чтобы она стала касательной к графику функции л = Г'(и). Для негладких и невыпуклых функций, зависящих от нескольких переменных, вместо преобразования Лежандра следует рассматривать преобразование Лежандра — Юнга— Фенхеля, которое определяется следующим образом.
Пусть г е !б. Покажем, что Г "(р) удовлетворяет соотношению У'(р) = р $(р, и> — У(иН. (1.21) с Действительно, из условия 1') следует, что функция (р, и) — У(и) является строю вогнутой, а из условия 2') вытекает, что при каждом фиксированном р она имеет единственную стационарную точку р = Яи). Следовательно, в этой точке достигается максимум, что и доказывает равенство (1.21). 26 ГЛАВА !. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ а (р, !(х) =У,. Их, то Г1Н= (!(р, х) — 7! !1г — 7; !(х. По теореме об инвариантности первого дифференциала мы получаем дН . ОН ОН вЂ” =х, др ' дг " дх (1.26) При помощи этих формул система (1.24) записывается в виде х= Н(з,х,р), р = -Н,(З, х, р). (1.27) о — — 7 +7 =О.
т а (1.29) Система уравнений (1.29) состоит из 37!7 уравнений второго порядка. Запишем эти уравнения в канонической форме. Из формул (1.25) следует„ что р( = 7,. = т,.т! т. е. р! в декартовой системе координат совпадает с импульсом материальной точки. Далее, Н =-) т)(т!т,) — Т+ 17 = Т+ Н, т. е. гамильтониан Н ! Система (1.27) называется канонической системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Она обладает рядом замечательных свойств (см., например, 13, с.
1571); некоторыми из них мы будем пользоваться в дальнейшем. В случае, когда функция 7 не удовлетворяет условиям 1') и 2'), канонические переменные вводятся при помощи преобразования Лежандра— Юнга — Фенхеля. Механический смысл канонических переменных. Рассмотрим систему из 1)7 материальных точек с массами т! и декартовыми координатамн !! =(х,, у,,з!), (= 1,...,№ Предположим, что потенциальная энергия этой системы задается функцией 77(т„..., т, ). Кинетическая энергия этой системы равна Т= 2 2; т!т, .
В соответствии с принципом наименьшего дейст- ! 2 ! ! вия движение системы происходит по экстремалям функционала действия ! Цт, т) !(Г, (1.28) Фа где 7,(т, т) = Т вЂ” 77. Экстремали этого функционала определяются системой уравнений Эйлера для функционала (1.28) В я ГАмильтонОВ ФОРИАлизм совпадает с полной энергией системы. Так как 7 не зависит явно от Ф, то Н= сопз1, т. е. полная энергия системы при движении сохраняется. Уравнения (!.29) в канонической форме принима- ют вид т.= Н р! Р! Оь!' дН Р.= — Н =- —, дт,.
(=1,...,№ Таким образом, в канонических переменных уравнения экстре- малей — это не что иное, как определение импульса и второй закон Ньютона (так как -д(77(дт! — это сила, действующая на !-ю точку). Формула вариации функционала с подвижными концами. Формула, которую мы сейчас выведем, будет играть определяющую роль во всем последующем изложении. Рассмотрим интегральный функционал а, .7 =,7((, х(В), х(1))!(а Имеем х(В 0) = х(В) х(Г 0) = х(Г), В)(0) = ~р ЗВ(0) = Го О (Г,О)=7)(Г), — (Ю,О)=7)(1).
на однопараметрическом семействе кривых х($, а); а Е)к, хе е С (й х й), концы которых меняются с изменением а. Те величины, которые относятся к левому концу, мы будем помечать индексом О, а те, которые относятся к правому, индексом 1. Пусть г = ГВ(а), х= х (а) — гладкая кривая, по которой скользит левый конец; з = г)(а), х = х,(а) — гладкая кривая, по которой скользит правый конец.
Это означает, что х(й)(а), а) = х (а); х(гз(а), а) = х (а). (1.30) Ф!(а) ,7(а) = 7(г, х(й, а), х(г, а))!(з !В(а) !1,7 Вычислим — (0) (точка над переменной всегда обозначает (!а дифференцирование по г): 2з ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ з к ГАмильтонОВ ФОРЯАлизм Последняя формула следует из теоремы о независимости сме-. шанных производных от порядка дифференцирования. Тогда 1(,у(а), 1((1 = у(т1(а), х(( (а), а), х((1(а), а)) — '— — у((з(а), х((о(а), а), х((о(а), а)) — + 11Ф па 11 (а) + У.— *+Уз — * ~и.
(1.З1) 1а(а) Введем следующие сокращения в записи: через Г'(г) или просто ~ будем обозначать функцию у(с, х(г), х(()). Значение этой ' функции в точке Го, т. е. у(гз, х(й ), х(й )), будем обозначать через 7е, аналогично, 71 = У((1, х((1), х((1)). Символы У„Д, (Д)о и т. д. вводятся так же. Подставив в (1.31) а = О, получим (,у(О) -(с, - ((, г— = А — ' — Уо — + ~ И,Ь+ 1,Ь) 1(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
