М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пользуясь излюбленным приемом того времени, Д.Бернулли опубликовал ответ, зашифрованный в виде анаграммы. Риккати ответил на эту заметку в следующем номере журнала. Не касаясь известных ему условий интегрируемости'*), ") Достаточно сказать, что ряд уннверснтетов приглашали Рнккатн на должность профессора, Петр Великий предложил ему быть Презнднтом СанктПетербургской Академии Наук, а Венскнй Двор приглашал его на должность Имперского Канцлера.
От всех этих предложеннй Рнккатн отказался, предпочнтая жизнь в кругу семьи н занятна математикой. ) Этн условна обсуждзлнсь в переписке с Николаем Бернулли младшим, которую вел Рнккатн в течение пяти лет, предшествовавшнх публикации статьи. Сама статья была послана Иоганну Бернулли, нздлтелю журнала «А«1а Егпб!1опппь через того же Ннколая Бернулли, поэтому ее содержание н стало известно Данннлу Бернулли [801. Риккати фактически отказался от спора о приоритете, заявив, что, публикуя статью, он вовсе не имел намерения бросать вызов высоко почитаемому им семейству Бернулли. Д. Бернулли подождал еще два года.
Об уравнении Риккати (так оио стало называться уже тогда) никто более ничего не написал. Тогда он опубликовал свое решение уже в открытой форме: уравнение (1) допускает разделение переменных при 4п -2п+ 1' где и — целое число. При и — «оо из этой формулы получаем значение а = — 2, прн котором уравнение также интегрируется в квадратурах. В 1841 г. Лиувилль доказал, что при всех остальных значениях параметра а уравнение (1) не интегрируется в квадратурах. Впоследствии, как это часто случается в математике, название «уравнение Рнккати«стало относиться не только к уравнению вида (!), но н к любой системе обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. При исследовании уравнения Рнккати обычно использовались чисто аналитические методы, хотя иногда в них проглядывали и геометрические аспекты [46, 96, 97, 105] и др.
В последние два десятилетия наблюдается бурное развитие геометрических методов исследования уравнения Рнккати. В частности, относительно недавно (см. 184, 85, 110, 63, 75! и др.) было замечено, что уравнения Риккати определяют гладкий поток на многообразиях Лагранжа — Грассмана. Однако эти идеи, изложенные в основном в журнальных статьях, еще не нашли должного отражения в монографической литературе. Данная книга призвана восполнить этот пробел. Ее цель — изложить известные н выявить новые геометрические аспекты теории дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. Для того чтобы пояснить геометрическую природу уравнения Риккати, рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами относительно скалярной неизвестной функции у(г) у+ (1)у+5(1)у=О.
(2) Замена переменной у= ху приводит его к уравнению первого порядка, правая часть которого квадратично зависит от неизвестной функции х х+ А(1)х~ + В(е) х+ С(г) = О. (3) В теории обыкновенных дифференциальных уравнений уравнение (3) называется уравнением Риииатпи. Давно была замечена тесная связь, которая существует между дифференциальным уравнением Риккати и группой дробно- линейных преобразований.
Приведем здесь классические результаты, описывающие эту связь 146, 1Ц. Т е о р е м а 1. Общее решение уравнения Риннатпи (3) естпь дробно-линейная фунниия отп поетпоянноб интпегрирования. Обратпно: всякое дифференииальное уравнение первого нарядив, обладающее втпил«свойстпвол«, еетпь уравнение Ртятватпи. Доказательство. Пусть х, — частное решение уравнения (3). Тогда замена х= х, + у сводит (3) к уравнению без свободного члена у+ А(т)у~+ (2А(С)х,(Г) + ВЯ) у = О, которое заменой г = 1/у сводится к линейному уравнению -г+ А+(2Ах, + В)г =О. (4) Общее решение уравнения (4) имеет внд г = Су(г) + 1б(З), где С вЂ” постоянная интегрирования. Следовательно, 1 х'+ Ср+Ф есть дробно-линейная функция от постоянной интегрирования С.
Обратно: пусть у(г), д(г), р(г), 11(Ф) — произвольные глад- кие функции, и пусть С~(г) + д(г) Су(Ф) + «р(«) где С произвольная постоянная, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению первого порядка. Разрешим (5) относительно постоянной С: д — «рх хр-У 11 Дифференцируя это соотношение, убеждаемся, что х удовлетворяет дифференциальному уравнению с квадратичной правой частью, т. е. уравнению Риккати. П Теорема 2. Пусть х, хз, х, х — частпные решения уравнения Риииати (3), соответствуюи4ие значениям С, Сэ, Сз, С постоянной С. Тоада хз — х, х4 — х, Сз — С, С4 Ц~ — — с — с с — с при л4ой>л4 значении х. Доказательство.
Всилутеоремы1 решение х(1) уравнения (3) при любом фиксированном значении Ф есть дробно- линейная функция от ностояниой интегрирования С. Двойное отношение четверки точек проективной прямой есть инвариант относительно группы дробно-линейных преобразований. П Теорема 2 означает, что двойное отношение четырех частных решений уравнения Риккати есть интеграл этого уравнения. Отсюда, в частности, следует, что если известны три частных решения, х,, хз, х, уравнения Риккати, то можно написать формулу для любого решения этого уравнения, приравняв константе двойное отношение четверки решений: ' =сонэ!.
х хэ хз хэ Проективные свойства уравнения Риккати, которые проявляется в теореме 1 и теореме 2, обусловлены следующим. Уравнение (3) получено из линейного однородного уравнения (2), которое описывает поток линейных преобразований фазовой плоскости (у, у), переходом от однородных координат к аффинной координате х = уу'у, При этом линейные преобразования плоскости переходят в проективные преобразования проективной прямой, которые представляют собой дробно-линейные преобразования аффинной координаты.
Это и есть глубокая внутренняя причина того, что уравнение Риккати с необходимостью возникает во многих, казалось бы, очень далеких друг от друга областях маг«мвтики, таких, например, как алгебраическая геометрия (плоски«структуры и векторные расслоения на римановых пои«рх ногтях [48, !! 8]), теория конформных отображений [28, 58], теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем [16, 98], теория автоморфных функций [24], квантовая теория поля [82, ! 19]. Для последующего изложения особенно важно появление уравнений Рнккати в вариационном исчислении и теории оптимального управления. Анализируя задачи минимизации, приводящие к этому уравнению, мы попытаемся выявить основные геометрические аспекты уравнения Риккати н его тесную связь с геометрией однородных пространств.
Вместо одного дифференциального уравнения мы будем изучать систему дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. При этом роль проектнвной прямой будут играть ее многомерные аналоги в многообразия Грассмана и Лагранжа— Грассмана. Нам понадобится многомерный аналог двойного отношения — л4атричное двойное отношение. Трудно смазать, где впервые появилось матричное двойное отношение: можно назвать целый ряд параллельных и, зачастую, независимых работ [117, 95, 107, 105, 17, 122, 9!] и др. Наиболее яркой следует признать классическую работу Зигеля [111], где с помощью матричного двойного отношения введена эрмитова метрика на обобщенной верхней полуплоскости Зигеля.
В соответствие сэтой традицией, в данной книге матричное двойное отношение применяется не только к исследованию матричного уравнения Риккати и к отысканию его интегралов, но и к изучению геометрии многообразий Грассмана и Лагранжа †Грассма. В терминах матричного двойного отношения получены теоремы, касающиеся изоклииичных плоскостей, клиффордовых параллелей, вполне геодезических подмногообразий. Показано, что формула для нахождения четвертого гармонического некоторых троек точек многообразий Грассмана (или Лагранжа †Грассма) дает простую явную формулу для инволютивных изометрий этих многообразий.
Весьма плодотворной оказалась идея комплексификации дифференциального уравнения Риккати. С алгоритмической точки зрения эта идея в некоторых случаях дает возможность вдвое понизить размерность рассматриваемого пространства (за счет введения комплексной переменной вместо действительной). В то же время, эта комплексификация позволила выявить неожиданную внутреннюю связь комплексных уравнений типа Риккати с симметрическими областями однородности пространства многих комплексных переменных: в зависимости от специфики коэффи- 12 циентов комплексного уравнения Риккати оно определяет поток на той или иной из симметрических областей однородности Картана — Зигеля.
В частности, те уравнения Риккати, которые возникают из классического вариационного исчисления, определяют поток на верхней обобщенной полуплоскости Зигеля. Еще один существенный результат — построение аналога дифференциального уравнения Риккати для задачи минимизации кратного интеграла. Роль уравнения Риккати в этом случае играет дифференциальное уравнение в частных производных с квадратичной относительно неизвестной функции правой частью. Решения этого уравнения определяют аффинную связность на расслоении, сечения которого играют роль неизвестных функций в задаче минимизации интеграла Дирихле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
