М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Поле экстремалей существует тогда и только тогда, когда кривизна этой связности равна нулю. Поскольку, как уже было сказано, основным источником для получения и интерпретации дифференциального уравнения Риккати будет служить вариационное исчисление и теория оптимального управления, начнем эту книгу с изложения основ вариационного исчисления.
ГЛАВА 1 КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 1. Уравнение Эйлера Задача о брахистохроие. В 1696 г. И. Бернулли поставил перед математическим миром задачу о брахистохроне, обещая «воздать заслуженную хвалу тому, кто справится с ее решениемз. Современники не остались равнодушными, и за короткое время Бернулли получил несколько писем (одно из них анонимное), содержащие различные решения этой задачи. Именно поэтому 1696 г. принято считать годом рождения вариационного исчисления. Мы предлагаем читателям последовать примеру анонимного автора (которым был Исаак Ньютон) и принять вызов, брошенный нз далекого 1696 г. Задача о брахистохроне ставилась следующим образом. В вертикальной плоскости даны две точки, а и Ь. Требуется определить форму кривой, спускаясь по которой под действием собственной тяжести, тело массы гп, начав двигаться из точки а, дойдет до точки Ь в кратчайшее время.
Предполагается, что трение отсутствует. Введем в данной плоскости декартову систему координат, приняв за начало координат точку а и направив ось Оу вниз. Пусть у = р(ж) — уравнение искомой кривой. По закону сохранения энергии скорость тела при прохождении точки (з, у(х)) будет такой же, как при свободном падении с высоты у(з), т. е. е = ~/2уУ(з). Поэтому, интегрируя вдоль кривой у= п(з), получим, что время движения равно 14 ГЛАВА 1, КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $1. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Ь(го) = Ь( г, ) = О, пулем ссбсганачвть 1"„'([св, Ф., [, К") яли просто С,'. (1.4) Итак, задача заключается в том, чтобы выбрать функцию у = у(х), удовлетворяющую условиям у(0) = О, у(х ) = у, так, чтобы функционал (1.1) имел наименьшее значение. Чтобы найти решение некоторой конкретной задачи, математики, как правило, строят общую теорию для решения произвольных задач такого же типа.
Иногда после того как теория построена, выясняется, что исходная задача не удовлетворяет тем предположениям, которые были положены в основу теории. Тогда начинается процесс обобщения, который нередко превращает простую исходную конструкцию в существенно более громоздкую. Поскольку нашей целью является скорее построение общей теории, нежели решение задачи о брахнстохроне, мы смело пойдем этим путем и рассмотрим при удобных для нас предположениях общую задачу о минимизации интегрального функционала. Эта задача формулируется следующим образом. Задача 1. Среди всех кривых х() ЕС'([Го, Ф1],К"), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям х(сз) = а, х(с ) = Ь, (1.2) где а, Ь вЂ” две заданные точки из К", найти ту, которая дает минимальное значение функционалу С1 ,7(х( ° )) = 7(й, х(с), х(й)) с11, (1.3) св где 7' е С (['Го, Ф1] х К" х К").
Под минимальным значением мы будем здесь понимать локальный минимум в пространстве С1([го, з1]). Определение. На кривой х(.) достигается слабый лсинилсулс, если существует такое б > О, что для любой х(. ) е Е С'([Го, 11]) такой, что [[х( ° ) — х(.и < б, х(~ )= а, х(г1) = Ь, имеет место неравенство 7(х( )) >,7(Ж(.)).
3 а м е ч а н и е. Определение сильного минимума будет приведено ниже на с. 58. Уравнение Эйлера. Подпространство в пространстве функций С'([Го, 11], К"), определенное условиями Пусть кривая х(.) есть решение рассматриваемой задачи. Рассмотрим одиопараметрическое семейство кривых х(-)+ Л Ь( ), где Ь( ) ~ Со([гв, 11], К"), Л Е К. В силУ УсловиЯ (1.4) каждаЯ из кривых этого семейства удовлетворяет условиям (1.2). Рассмо- трим скалярную функцию ссв(Л), получаемую подстановкой кри- вых нашего семейства в функционал (1.3): 11 р(Л) = 7(Г,х(Г)+ ЛЬ(Г), х(~)+ ЛЬ(1)) б~.
(1.5) Поскольку ср(0) есть значение функционала (1.3) на х( ), функ- ция (1.5) достигает локального минимума при Л =О. Заметим, что из теоремы о дифференцируемости интеграла по параметру и условия 7" е С следует [36, т. 2, с. 107], что функция ср(Л) является дважды дифференцируемой по Л. Поэтому уг'(О) =О, ср"(0) > О. Имеем с, Ч '(О) = У,(1, Ж(Г), х(й))Ь(й)+7 (Г, Ж(С), х(Г))ЩГ)] с1Г = 0(1.6) сс где у„уь — и-мерные векторы-стороки; 7,Ь и 7АЬ вЂ” произве- дения вектора-строки на вектор-столбец. Отметим, что уравне- ние (1.6) выполнено для любой функции Ь(.) е С1'. Л е м и а 1. 1 (Дюбуа — Раймон), Пустпь фунх- чии а(Г), Ь(З) Е С([ГВ, $1], Ж") и для любой фунииии Ь(г) Е Е С ([со, $1], К") выполнено условие [а(Ф)Ь($) + Ь(г)Ь(.-с)] с(й = О. (1.7) Тогда фунсссссАя Ь(З) непрерывно дифференссируема и — — Ь(г)+ ~г)=О.
11 с18 (1.8) До к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А(1) произвольную с первообразную функции а(г), т. е, А(г)= а(т)с1т+Х. Ин- тегрируя первое слагаемое в (1.7) по частям и учитывая (1.4), 1б ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $1. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА 17 ПОЛУЧИМ [-А(г) + Ь(1)[ Ь(1) у!1= О (1.9) (при любом выборе постоянного вектора К). Подберем теперь рр функцию Ь(1) так, чтобы под интегралом стоял полный скалярный квадрат. Для этого положим Ь(1) = [ — А(т)+ Ь(т)) р!т. (!.10) ур) Тогда Ь(ге) =О, а выполнение условия й(11) = 0 обеспечивается выбором константы К. Подставив (1.10) з (1.9), получим [-А(1)+ Ь(г)1~ )11=0. Таким образом, А(г) еэ Ь(1). Следовательно, функция Ь(С) непрерывно дифференцируема и выполнено уравнение (1.8).
П Применяя лемму Дюбуа — Раймона к (1.6), получаем, что решение х(г) задачи 1 должно удовлетворять системе дифференциальных уравнений у! — — У (р, х(р), х(р)) + 1 ( р, *(р), х(Г)) = О, (1А1) которая называется уравнение)и Эйлера. Уравнение Эйлера— это система нз п уравнений у! — — ф+У)=0, у=1,...,у), каждое их которых является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка. Порядок системы равен 2ур, следовательно, обшее решение зависит от 2у) произвольных постоянных, которые следует выбирать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (1.2) (их число также равно 2у)). Любое решение х(з) уравнения Эйлера будем называть зррсуареуиальуо задачи 1.1. П р и м е р 1.1. Найдем экстремали в задаче о брахистохроне.
Имеем: )~Г+ йз ф+ йз 2ф ф+~ ф В силу этого р*',Г).~) р Ф гу)р' Следовательно, уравнение Эйлера имеет вид У, 9 ~+г, ,Гр~/(1 р р*)' ру'~1 р р*)„р ру)р" или 2уу + у~ + 1 = О. = С 2 з!и Г у!Г. Итак з1п 21 С(2à — з!и 21) х+Р= СФ вЂ” С 2 2 С(1 — соз 2г) у= СВ1п Г = 2 (1.12) Таким образом, экстремалями задачи о брахистохроне служат цикла иды. Замечание.
Строго говоря, предположения, при которых было выведено уравнение Эйлера для задачи о брахистохроне, не выполняются, так как при у= 0 подынтегральная функция имеет разрыв. Поэтому на приведенные вычисления можно смотреть как на эвристический вывод. Строгое доказательство оптимальности решения (1.12) см. в [59, с. 24 †2.
Выпишем простейшие интегралы уравнения Эйлера. Так как это уравнение не содеужит х, то его порядок можно понизить заменой у= р(у), у = р —. Получаем р р(у' 2ур — +р +1=0, !п(1+р)=!и —, р=х — — 1. '1Р з С Гу рр В рр ррррр ф р у р, у м =р*. сур — 1 з !' 2СВ1п Гсоз Фу!Ф Заменяя у на С з!и г, получаем х = ~ )) )'р — ) ~в ГЛАВА Ь КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 19 $1.
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Интеграл импульса. Если подынтегральная функция Г" не зависит явно от х', то ф является интегралом уравнения Эйлера, поскольку ьсе уравнение Эйлера в этом случае имеет вид о' — ~.* =О. А' Интпехрпл эиергии. Если подынтегральная функция Г' не е зависит явно от г, то Н(х, х) = 2 1ь.х' —,Г (кратко эта форму- л=! ла записывается в виде Н = уэх — Г) есть интеграл уравнения о* Эйлера. Действительно, так как в силу (1.11) — Г. = Г, то йг ь Ф' 4, о — Н(х, х) = — (Д)х+ уьх — )',х — Дх = О.
Геодезические нз римановом многообразии. Напомним, что многообразие М называется ромаповым Л1ногообраэиелв класса С", г > 1, если в каждом касательном пространстве определена структура евклидова пространства, т. е. задана положительно определенная квадратичная форма, определяющая скалярные произведения касательных векторов. При этом предполагается, что матрица д, (х), определяющая эту форму в некотором атласе многообразия М, является функцией класса С". Длина кривой х(Г), Ф Е1гв, Г,], лежащей на многообразии М, задается формулой ч (1.13) см.
115, с. 331 Экстремали функционала (1.13) называются геодезическими линиями на М. Если многообразие вложено в евклидово пространство, то иа нем существует риманова структура, индуцированная вложением. Например, для двумерной поверхности в В, задаваемой уравнением г = г(о, Р), метрика имеет вид д, = (г„, г„), д19 — — дз1 = (г„, г„), д~ — — (г„, г,). Выражение ов д, Ыи,.йи, называется первой квадрагпичной фор иой по=К.,™,', ьу верхпосгпи [43, с. 2281. П р и и е р 1.2 (геодезические на сфере).
Рассмотрим сферу единичного радиуса и перейдем от декартовых координат к сферическим по формулам х = соз у соз ф, д = з1п у соз 4, х = з1п 9. В этих координатах первая квадратичная форма имеет вид ов~ = = сов~ ~ йу~+ юг~. Переменную 91 будем считать независимой переменной, а х выразим через ~: у = ~р(ф). Тогда соз ~9 +1О1Р. Так как подыитегральная функция не зависит от <р, то соответствующее уравнение Эйлера имеет интеграл импульса ~о соз 4 = С, откуда 1Р соз 91+! Интегрируя это уравнение находим у: ~сйгпй . С1ИФ = В х агсз(п ,/1- С Поэтому з!п(~р — В) = А тих. Отсюда мы получаем А, ип у соз Ч' + Аз соз ~р соз 4+ Аз ып 4 = О, и, следовательно, А,х+ А д+ А х = О.
Таким образом, геодезическими являются сечения сферы плоскостями, проходящими через начало координат, т. е. большие круги сферы. П р и м е р 1.3 (геодезические на плоскости Лобачевского). Плоскость Лобачевского в модели Клейна — Пуанкаре описывается следующим образом.
Рассмотрим верхнюю полуплоскость у > О и введем иа ней риманову метрику, определяемую первой квадратичной формой з ох +Од Найдем геодезические на этом многообразии. Принимая х за независимую переменную, получаем й 2. ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ У*(Р) =1 — У(ы), (1.17) 20 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Так как подынтегральная функция не зависит явно от х, уравнение Эйлера имеет интеграл энергии 1~Г+ У' у уф+ у' , . «тг!««'=з, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
