М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(1.32) ~) Далее, при выводе формулы (1.35) мы будем предполагать, что у(.)еС Щ,(1). Проинтегрируем последнее слагаемое в (1.32) по частям: 1 Ы(0) -ЫГ1 -11(0 - !% Г /- д -1 — =У,— ' — А — й+ У,.)1„+ ~ ~У, — — Ц))Г((. (1.зз) ,(~ ') 4 Преобразуем внеинтегральный член. Для этого продифференцируем тождества (1.30) по а при а = 0: ог1(0) дх1(0) ОМ (0) — 1(т (0) х(с1) ' + й((1) = ', х(~ ) + )1(~)) = Подставив 11((1), 1 = О, 1, в (1.33), получим — = Ы вЂ” (Л)1 х((1)1 — ' — Уз — (Уз)ох((з)1 — + +®1"*'~) -(Л)о""(')+ У,— — "Л й ((. (1.З4) Формулу (1.34) удобно записать в следующей символической форме: 1(.У(0) 1' ( /- 11 -'1 — =(р1(х — Нд()~ + ~ ~~,— — ~,.~ Ыс.
(1.35) да ,) ~* а*',) 1О 1а В этой записи подстановка верхнего предела г1 в выражение рох — НГ1г означает не только подстановку г1 под знак канонических переменных р и Н, но и замену (Ог,ох) на касательный ( От( Йх( 1 вектор ~ —, — ~ к кривой, по которой движется правый конец 1,1(а' да1 семейства; то же относится и к подстановке ((г 3 а м е ч а и и е.
В дальнейшем формула (1.35) будет использоваться только в тех случаях, когда х( ) — оптимальное решение, и, следовательно, в силу леммы Дюбуа — Раймона сделанное предположение о гладкости функции уь будет выполнено, Поэтому формула (1.35) далее будет применяться без специальных оговорок. Дифференциальная форма р1(х — НГ1г называется формой Пуанкаре — Каргпана. Она играет фундаментальную роль в каноническом формализме и неоднократно будет использоваться в дальнейшем изложении.
Условии трансверсальности в задаче с подвижными концами. Заменим граничные условия в задаче 1 на более общие граничные условия Ф(с, х(ге)) = О, 1Р((„х(21)) = О, (1.36) Г д Е Ф Я а + 1 В $ ) ~ В а + 1 Я 1 Задач а 2. Среди всех кривых х() класса С', удовлетворяющих условиям (1.36), найти кривую, которая дает функционалу 1 локально минимальное значение. Пусть х((), А Е 1(,„ (11, — решение задачи 2. Тогда та же кривая является решением задачи 1 с закрепленными концами *(1з),х(А1), и, следовательно, для нее выполняется уравнение Эйлера (1.11).
Однако для нахождения г1„ (1 и еще 2п параметров, характеризующих искомую экстремаль (т. е. для нахождения 2п+2 параметров), мы имеем пока лишь й+1 граничных условий: Ф=О, Ф=О. ЗО ГЛАВА ! . КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРНАЦНОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ Я ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ Для нахождения дополнительных граничных условий, которые должны выполняться на оптимальной траектории, рассмотрим произвольный касательный вектор (62„6х1) к многообразию чу=о в точке (21, х(21)). По определению (см. 11, с. 1711) касательного вектора на многообразии ул существует гладкая кривая у: а р-р (11(а),х1(а)), касательная к которой совпадает с данным вектором, т.
е. (21(0),х,(0)) = (21,х(21)); < и,(О) у(х,(О)~ / = (62, 6х ). Обозначим через х(1, а) гладкое одиопараметрическое семейство кривых, которое при а =0 содержит х(2), при 2 = 21(»х) дает кривую 7, а при 2 = Го(ср) дает точку х(то), т. е. х(2, 0) = х(2), х(21(а), а) = х1(а), х(тз„ух) = х(тз). Возможность построения такого семейства (геометрически достаточно очевидная) формально обоснована в 16, с. 195).
Подставляя это семейство под знак функционала и учитывая, что при р2 = 0 функция 7 достигает минимума, в силу (1.35) имеем ру ч (рр(х — НЩ + 7 — — 7" Ыг = О. ууу рр Поскольку для х($) выполнено уравнение Эйлера, интегральный член равен нулю. Нулю равняется и результат подстановки Го во внеинтегральный член, так как все кривые семейства проходят д~ у1хо через точку (г,„х(то)), и, следовательно, — = О, — = О.
Таким образом, р,6х, — Н16$1 =0 (1.37) для любого вектора (62„6х,), касательного к многообразию Ул = 0 в точке (21, х(21)). Совершенно аналогично получаем р,6, — Н,Ы,=О (1.38) для любого вектора (6го, 6хз), касательного к многообразию Ф = 0 в точке (го, х(го)). Соотношения (1.37), (1.38) называются условаями трансверсальрросрпо. Проверим, что соотношения (1.36) — (1.38) дают полную систему условий.
Размерность многообразия уу = 0 (в регулярном случае, когда градиенты уравнений системы Ф = 0 линейно независимы) равна и+1 — 1, и соотношения (1.37) дают и+1 — 1 независимых уравнений. Присоединив к ним 1 уравнений «у = О, получаем на правом конце (так же, как и на левом) рр+ 1 уравнение. Это дает нужные 2рр+ 2 соотношений. П р н м е р 1.6.
Рассмотрим задачу минимизации функциоч уу», ууу ~-»ИГ»», »у», рщж», »у»»»» (Гш хо) на терминальное многообразие х= ур($). Пусть (62, 6х)— касательный вектор к терминальному многообразию. Запишем соотношения (1.37) для нашей задачи. Используя результат, полученный в примере 1.5, имеем 7х, 7 р= Н= 1~1+*' ф+:.~ (р6х — Н62) = (х6х+ 62) =О.
(1.39) 1~ +.' 6х Но — = УуР'(2) — тангенс Угла наклона касательной. ПоэтомУ 62 . 6х условие (1.39), имеющее вид х — = — 1, совпадает с условием 62 ортогональностн экстремали х( ) к терминальному многообразию *= р(4). П р и м е р 1.7. Рассмотрим задачу отыскания на рнмановом многообразии М кривой минимальной длины, соединяющей точку х е М с подмиогообразием Н сМ.
Длина кривой на М задается формулой (1.13) где у,. — метрический тензор. Канонические переменные для этого функционала имеют вид: р(хр р. = ~1 у, (х) —, Нэ— з О. 7=1 Пусть 6х — произвольный касательный вектор к подмногоОбразию Ж н конечной точке экстремали х(21). Условие транс- зз 32 ГЛАВА !. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $2. ГАмильтоноВ ФОРмАлизм Элементарные преобразования дают уз = С + Сзуз,или После замены переменной у= С сЬ т получаем =С Ь С (1.41) Если переписать минимизируемый функционал в виде у,1з у(1) х(2)2+ у(,)2ф(, Версальности (1.37) принимает вид и р16х' =О, дху д~ т.
е. 2; д,,(х) — 6х' = О. Это означает, что вектор — должен у1ф ф(2 быть ортогонален (в смысле метрики д, ) к любому вектору 6х, касающемуся 1у7 в точке прихода экстремали х() на 2т. Итак, экстремаль должна подходить к 12 под прямым углом (в метри- ке д,,). Условня Вейерштрасса — Эрдмана. Начнем с примера. П р и м е р 1и8 (поверхности вращения с минимальной пло- щадью). найдем кривую у= у(х), соединяющую точки (х, у2) = = а и (х„у,) = Ь и имеющую минимальную площадь поверхности вращения вокруг оси абсцисс.
Площадь поверхности вращения равна иу (1.40) у у юююрм фу щ ~ууууу. р условии у(х )=уз, у(х,)=у,. Интеграл энергии имеет вид ух то интеграл импульса по х: = С, помимо уже найден- 1/х +уз ных решений, дает при С = 0 вертикальные прямые х = сонат. Кривые (1.41) называются в механике цепными липууяуии, поскольку именно такую форму принимает тяжелая гибкая однородная нерастяжимая нить, подвешенная за концы. Для того чтобы пояснить этот факт, достаточно заметить, что формула (1.40) определяет координату центра тяжести однородной кривой, а нить стремится занять такое положение, при котором эта координата минимальна.Правда, надо минимизировать этот функционал на множестве кривых заданной длины (нить нерастяжима). Полное решение этой задачи требует применения правила множителей Лагранжа, которое можно изучить по книге 1Ц.
Поверхность вращения цепной линии называется уфапфепоид. Выясним, всегда лн можно провести кривую (1.41), соединяющую точки а и Ь. Пусть, например, а= (д, 1), Ь = ( — д, 1). Тогда (вследствие симметрии граничных условий относительно начала координат) Р= О, а С находится как решение уравнения ССЬ(д/С) =1. Обозначим 1/С=» н будем решать уравнение сЬ 4» = ». На рис.
1.2 изображены графики кривых и=» и и=сЬ д» для различных значений д. При достаточно большом д эти кривые не пересекаются, т. е. в этом случае не существует решения уравнения Эйле- Рис. 1.2 ра, проходящего через а и д. Задача об отыскании поверхности с наименьшей площадью является частным случаем задачи Плато, которая ставится следующим образом: среди всех поверхностей, имеющих в качестве своей границы данный контур К, найти ту, которая имеет минимальную площадь. С естественно-научной точки зрения речь идет о том, чтобы найти форму мыльной пленки, затягивающей контур К (мыльная пленка, вследствие сильного поверхностного натяжения, стремится занять положение с минимальной площадью поверхности).
Поверхность вращения получается в том случае, когда контур К состоит из двух окружностей, полученных при вращении точек а и Ь вокруг оси абсцисс. Решением, как мы выяснилн, служит катеноид. Но как объяснить отсутствие решения при больших значениях д? 2 М. И. Зуиииии 34 глАЕА Ь КЛАССИЧЕСЕОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИсЧИСлЕНИЕ й я гАмильтонов Формализм Для того чтобы ответить иа этот вопрос, обратимся к общей теории. Расширим класс допустимых кривых в задаче 1 и будем искать минимум функционала не в классе гладких кривых, а в классе кусочно гладких кривых РС~([(;), с,]).
Определение. Пространство РС'([кп,$,]) — это множество непрерывных на [Го, а,] функций х(т), для каждой из которых существует конечное число точек т„..., т„Е [Гп, а,] таких, что ограничение х(е) на любой из отрезков [то,т,],..., [т„т,+,],..., [т„, а,] является гладкой функцией на этом отрез- ' ке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
