М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 11
Текст из файла (страница 11)
1.8). Применяя формулу Стокса к двумерному многообразию с границей у, — 72, получим ы ' = >(в>(') = О. » тт г Действительно, форма ((ю, на 2-мерной площадке о„касатель- (1) ной к Г в точке х, обращается в нуль, так как о, содержит вектор (',. Таким образом, можно сказать, что форма а>(~) есть интегральный инвариант для поля своих характеристических направлений. Теперь мы можем перейтн к каноническим системам. Рассмотрим гамильтониан Н(г,х, р), определенный на пространстве переменных -(т,х,р), которое является нечетномерным (2 Е )к> (х, р~ Е Ж "), и дифференциальную форму Пуанкаре— Картана а> = р>(х- Н гй. Применим к этой форме вышеописан- (1 А к интеГРАльный инВАРиАнт пуАнкАРе — кАРТАнА 65 ную конструкцию. Матрица А, формы в>( ) = >(а>( ) имеет вид (2) (1) дН дН х' дН дН (' — — =0 ...
(' — — =0, 1 д »''' «д > «+ Р1 « т. е. уравнения характеристик формы Пуанкаре — Картана ~~р дН т(х дН (1 2 — =1 ((в дх ' 4в др ' т(в (1.71) дают каноническую систему с гамильтоннаном Н. Тем самым доказана следующая Т е о р е м а 1.12 (об интегральном инварианте). Дифферент(иальнал форма р((х — Н((г лвляетпсл интпегральнътм инвариантпом ханоничесхоб систаемы (1.71). Это означает, что интеграл формы р>(х — Нт(2 по любому замкнутому контуру сохраняется вдоль трубки траекторий системы (1.71). Лежандровы многообразия.
В этом пункте будет изложена конструкция, являющаяся основой доказательства приво- Эта матрица при всех (2, х, р) имеет максимальный ранг 2д, так как ее левый верхний угол — невырожденная (2и х 2и)-матрица. Определенный выше вектор (,(х) для матрицы А имеет отличную от нуля последнюю компоненту и может быть нормирован условием (,2 +, — — 1. Тогда получаем зи,и,з ГЛАВА !. КЛАССИЧЕСКОЕ ЕАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $8. интеГРАльный инвАРНАнт пуАнкАРе — кАРТАнА ет димой ниже теоремы о достаточных условиях сильного минимума. Пусть дана форма Пуанкаре — Картава рт(х — Нт(8 = а!01, Н Е С (Р), где Р с Жг" + ' — открытое множество.
Определение. Подмногообразие Мс Р называется интегральныль многообразисль если форма ьт обращается в нуль на любых наборах векторов, касательных к М: ы[ = О. Определение. Многообразие 9Лс Р, 818П9Л=и+1 называется лсжандровым относительно формы ьтц!, если 9Л— интегральное многообразие для формы бьР1. В каждой точке х многообразия Ф С К", б1тп Й1 = х, рассмотрим множество таких векторов р Е Ж", что для любого вектора С Е Т,Й7 имеем (р, Д=о. (1.72) Множество элементов (*, р), для которых р удовлетворяет условию (1.72), называется норлтальныл! расслоением [55, с. 23] для многообразия !у.
Нормальное расслоение для произвольного многообразия Н с Ж", очевидно, является интегральным многообразием формы ьтп! при любом выборе функции Н. Размерность нормального расслоения равна и, поскольку условие (р, С) =0 дает й независимых уравнений, если само !У определяется системой из п — й независимых уравнений.
Пример 1.16. Для многообразия 1!7 сЖ"+', б1п!Н= = х, обозначим через М множество элементов (8, х, р) таких, что для любых (8, х) Е Н и (т, С ) Е Тт,М имеем (р, с ) — Н(8, х, р) т = О. (1.73) Задача 3 х(8!) = х, и Ф(Го,х(88))=0, Ф: 17- Ж"+ ", ФЕС'(17), (1.74) Тогда М вЂ” интегральное многообразие формы р бх — Нт18. О п р е д е л е н и е. Построенное таким образом многообразие М будем называть поднятием многообразия Н в пространство 8, х, р. Рассмотрим задачу классического вариационного исчисления с подвижным левым и неподвижным правым концом: Х = у(8, х(8), х(г))аг -+ 1П1 при условиях Ь! где 17 С Ж' х Ж" — связная область, проекция которой на ось 8 соДеРжит отРезок [Го, 8!].
Если отображение т1Ф: Т, 17 — + Ж" +' сюръективно, то условие (1.74) определяет в 17 йекоторое х-мерное гладкое многообразие гт'. Рассмотрим многообразие М, построенное в примере 1.16 по многообразию Н и функции Н(з,х, р). В условии (1.73) нетрудно узнать условие трансверсальности (1.38).
Определение. Будем говорить, что многообразие М в точке (8, х, р) не содержит харахтперистпичесхих направлений, если вектор !'„' =(1,Н, — Н,) не касается многообразия М, т. е. !," 18 ТМ. Ут в е р ж де н не 1.2. Достпатпочным условием тпого, чтпобы М в ттьочхе (8, х, р) не содержало харахтперистпичесхих направлений, является условие г)т(сг — Н„(8, х, р)т!) = А., (1.75) где (т, С .), 8' = 1,..., й —.— базис Т Н.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что вектор (1, Н ) не касается многообразия Н, т. е. не является линей! р ной комбинацией векторов (т,, ст). Предположим противное: 1=к Лтт8, Н,=;) ЛА- т=! Тогда ,ЕЛА — Н,Е Хттт= Н, — Н,=о, что противоречит (1.75). О С л е д с т в и е 1.1. ХХз вышеприведенного дохазательства следуетп, апо при выполнении условия (1.75) зхстремали задачи (1.52), удовлетпворяюи8ие условию тпрансверсальностпи, подходят х многообразию Н под ненулевым углом.
При выполнении условия (1.75) множество значений р, удовлетворяющих в точке 8, х равенствам (1.73), образует гладкое многообразие. Обозначим это многообразие через Ят, Основная конструкция. Пусть М поднятие многообразия Ж, определяемого формулой (1.73). Проведем через ез глхвл !. клхссическое вгригционное исчисление $9. Поле экстремАлей 69 каждую точку 29, х, и многообразия М экстремвль, т. е. реше- ние для 1) го гамильтоновой системы х = Н (1, х,р), р= — Н,(г,х,р). (1.76) Если выполнено условие (1.75), то в результате получится гладкое (и+1)-мерное многообразие, которое мы обозначим через 9Л. Ут в е ржде ни е 1.3.
Если выполнено условие (1.76), и!о 9Я являетпся леггандровььм многообразием отпноситпельно формы Пуаннаре — Картпана. Дока з а тель ство. Рассмотрим произвольный гладкий замкнутый контур 7 С 9Л и проведем через него трубку траекторией Г системы (1.76). Решения уравнений (1.76) гладко зависят от начальных данных и пересекают М под ненулевым углом. Поэтому у! = Г и М вЂ” это гладкий контур.
В силу теоремы об интегральном инварианте ь!!'!= а!'1. Но М вЂ” интегральное т т! многообразие формы ь!!'!. Поэтому а!1 1=0 (1.77) 7 для любой замкнутой кривой г с 9Л. Зафиксируем точку !,ар (!е, хо, рь) Е 9Л и рассмотрим ьР! как функцию перемен- !9 ЬЯ! ного верхнего предела (г, х, р) Е 9Л (в силу формулы (1.77) интеграл не зависит от пути, если этот путь лежит в 9Л). Тогда дифференциал этой функции, определенной на 9Л, равен ь!!'!~ Тем самым доказана точность формы 9Р1~ . Ее замкнутость есть следствие точности. П Следствие 1.2. Предположим, чтпо многообразие М связно; рассмотприм две нривые 1, и 1, 1„12 С 9Л, соединяющие тпочпу (1, х, р) Е 9Л с многообразием М. Тогда ьт1П = 1,„(!1 ! Доказательство.
Соединив концы кривых 1, и 12 путем в М, получим замкнутый контур, интеграл по которому в силу формулы (1.77~ равен нулю. Но М вЂ” интегральное многообразие формы ь!1', поэтому интеграл по любой кривой, лежащей на М, ранен нулю. Следовательно, ~ аР1= 1 ьт!'!, как и утверждалось.
П ! Всюду в дальнейшем под 79, М, Я,9Л будет пониматься результат применения основной конструкции к задаче 3. у 9. Поле акстремалей Иывврывытнь2й иытеграл Гильберта. Рассмотрим в пространстве (1, х, р) область Ь, содержащую наряду с любой точкой (1„ х„ р!) все точки решения канонической системы (1.76) с начальными значениями (г„х„р!), т. е. (т, х1 т; г„х!„р!), р(т; г„х„р )) при т ( Ф!.
Пусть Р=(9Л~М)П и !2!. Рассмотрим операцию проектирования еп (Ф, х, р) !-+ (1, х) из Вгл+ ! йа+ 1 Определение. Пустьпроекция я, ограниченнаянамножество Р, является взаимно однозначным отображением. Тогда говорят, что в области С = яР задано поле зтсстпремалей ч) с начальным многообразием Ф. Если в С определено поле, то каждой точке (г, х) Е С можно поставить в соответствие одну и только одну точку р(г,х) так, что (Ф, х, р(г, х)) б Р. Иными словами, р= р(Ф, х) — уравнение определяющее многообразие 9Л над областью Р. В этой ситуации проекции экстремалей, лежащих в 9Л, на область С не пересекаются, поскольку экстремали не могут пересекаться в 9Л (по теореме единственности для системы (1.76)), а отображение я~ „взаимно однозначно. Поэтому в каждой точке (2, х) Е С однозначно определена функция д(1, х) = Н„(1, х, р(1, х)). (1.78) Она называется геодезичеспим наклоном поля !1з.
Уравнения р = р(1, х) позволяют переписать все формулы, относящиеся к множеству Р, в виде формул на С. Так, например, уравнения экстремалей в С имеют вид х = у(г, х); ограничение формы Пуанкаре — Картана на Р можно записать в виде формы на С: р(1, х)т(х — Н(1, х, р(1, х))!11. (1.79) 7О глхвьь ь. клхссичвскоз влгихционное исчисление $9. ПОЛЕ ЭКСТЬьаЬЬАЛЕЙ 71 Поскольку ьв01[ точна, форма (1.79) также является точной. 3 а м е ч а н и е. Точность формы (1.79) означает, что она является дифференциалом некоторой функции В(й,х), определенной на С: Б,(й, х) = р(й, х), Бь(й, х) = — Н(й, х, р(й, х)).
Тем самым функция 5(й, х) является решением уравнения Гамильтона — Якоби (1.43). При этом В[ = сопзй (интеграл от формы (1.79) по любой кривой 1С 117 равен нулю). Итак, интеграл от формы (1.79) не зависит от пути 7 в С. Перепишем этот интеграл в терминах подынтегральной функции У: 1("1) = р(й, х)ьйх — Н(й, х,р(й, х))ьйй = Уь(й, х, д(й, х))ьйхт т — [ — У(й, х, д(й, х)) + Ув(й, х, д(й, х))д(й, х)]ьйй. (1.80) Интеграл (1.80) называется инвариангпнььль ииьпсгралом ХЬльберьпа для поля 41. Он не зависит от пути в области С, а на экстремалях поля, т. е.
на решениях системы х= д(й, х), интеграл (1.80) совпадает с исходным функционалом: 1 ьйх — [ — У + Уьд[ ьйй = У(й, х, д(й, х)) ьйй. ь Функция Вейерштрасса (1.2) для поля ь41 тоже определяется на С: Е„,(й, х, с) =Е(й, х, д(й, х), Д= У(й, х,с)— — У (й, х, д(й, х)) — р(й, хЯ вЂ” д(й, х)). (1.81) Т е о р е м а 1.13 (достаточные условия сильного минимума в терминах поля экстремалей). Пуспьь в области С определено поле эиспьрсмалсй ьЗь с началь~ььм мпогообразисль 117, а функция Вейерштпрасса (1.81) пеопьрицатпельиа при всех (й, х) Е С и при любых С. Пусгпь х( ) — нскогпорая зисгпрсмаль полл ьйУ. Тогда для любой кривой х(.) пьаььой, чгпо Х(йЬ) = Х(й,), Х(й, ) Е ГьГ, Х(й) Е С При ВСЕХ й Е [й,, й [, иМССГП месгпо неравенство .У(х( )) (,У(х(.)).
Доказательство. В силу следствия 1.2 1(х()) = = Х(х( )). Но х( ) — экстремаль, и поэтому Х(х(.)) =,7(х( )). Следовательно, Х(х( )) — Х(х(.)) =,У(х( )) — Х(х( )) = .У(х( )) — Х(х( )) = ь, ь, Пй (й) х(й)Ий- Уь(й х(й) д(й '(й)))*(й)— ььь ьь [ — Лй х(й), д(й, х(й))) + Уь(й, х(й), д(й, х(й)))д(й (й))11а й = ьь Е„,(й, х(й), х(й))ьйй ) О.
О ь Итак, чтобы убедиться в том, что на экстремали х() достигается сильный минимум, следует погрузить эту экстремаль в поле. Погружение эистремалн в поле н фоквльные точим. Пусть х(-) — зкстремаль задачи 3, удовлетворяющая условиям трансверсальности (1.38). Это означает, что (йе,хо,йТз) Е Е М, где М вЂ” поднятие многообразия 117, определяемого условиями (1.74). Пусть для М выполнено условие (1.75), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
