М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 12
Текст из файла (страница 12)
М не содержит характеристических направлений. Для построения поля экстремалей, содержащего х( ), применим основную конструкцию к некоторой окрестности точки (йо,хо,ььь) в многообразии М, где можно выбрать единую систему локальных координат. Получим окрестность И траектории (й, х(й), р(й)) в многообразии 91?. Пусть ьь = (а„..., ьь ) — локальные координаты на дУ: й = йз(ьь), х = х (сь), причем йз(0) = йе, х (О) = хо. Обозначим через Я многообразие й„1пв где точка (й, х) е Хьй отвечает параметру ьь.
Пусть 13 = (,В„..., В„ь) — локальные координаты на ьв: р = 111(сь,,В), причем р(0,0) = ьь . Тогда (сь,,В) — локальные координаты на М, а (й, ьь, В) — локальные координаты на 9Л: х = х( й, а, В), р = р( й, а,,В), где х( й, а,,В), р( й, а, В) — решение системы (1 76) с начальными условиями (й (а) х„(ьь) ро(ьь,д)) Рассмотрим якобиан отображения ьг~„в точках экстремали дхь (й, х(й), р(й)) (матрица с элементами —, ь = 1,..., и, 7 =1,... д* дх ...,в, будет, как всегда, обозначаться †; через †, , Н и т.
д. дсь да 72 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦНОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $9 поле экстРемхлей будут обозначаться функции, полученные при подстановке а =О, (3=0) да д/3 О п р е д е л е н н е. Точка т > то называется фохальной точной многообразия М на траектории х(.), если 3(т) =О. Замечание. Это определение не зависит от выбора локальных координат, потому что я н 9Я определены инвариантным образом, а условие 3(т) = 0 эквивалентно условию Кег(Ьг~„ ~ О.
Утверждение 1.4. Пусть х((), (з < ( < г(,— эхстрельаль, удовлетворяющая условиям трансеерсальностпи, усиленному условию Лежандра и условию (1.75). Пустпь на х() нет фохальных тпо«ех многообразия 1«'. Тогда сущестпвуетп тпахая охрестпностпь У множества (С,х(()), «з<» <»1, на хоторой определено поле (р с начальным многообразиел«М. Для доказательства достаточно заметить, что для отображения я~„в каждой точке (г, х(г)), го < г < г(, выполнены все условия теоремы о неявной функции, й, следовательно, каждая такая точка имеет окрестность У, с)й"+', в которой отображение з.~„взаимно однозначно. Искомой окрестностью служит У = =О У,.П (А,, И) Теорема 1.14 (достаточные условия сильного минимума в терминах одной эксгремали).
Пустпь х(г) — рещение уравнения Эйлера для задачи 3, удовлетпворяющее условиям тпрансверсальности, усиленнол«у условию Лежандра и условию (1.75). Пусть, храме того, фунх((ия Г" при фихсированных (г, х) выпухла по х;,) (го) фО; и на полуинтервале ((о, »1) нетп фохальных тпочех многообразия д(. Тогда на х( ) достпигается сильный минимум. Доказательство. Хотя утверждение 1.4 и позволяет погрузить экстремаль х(г), ( < г < г( в поле экстремалей, однако точка го, х попадает на границу области С, покрываемой полем, и траектории х(-), лежащие в сколь угодно малой С-окрестности х(.) могут выйти за пределы области С при ( близком к (9. Поэтому для доказательства теоремы 1.14 надо построить другое поле, для которого точка 19, х„попадала бы внутрь области С.
Для построения этого поля надо «отодвинуть» многообразие М левее точки го. Однако, техническое воплощение этой идеи оказывается достаточно сложным и занимает практически всю оставшуюся часть доказательства. Приступим к построению этого поля. Рассмотрим йпараметрическое семейство А. экстремалей х(г; а, 0), ~а~ < е, состоящее из экстремалей, построенных в утверждении 1.4 при )з = О. Пусть для определенности 7(ге) > О.
(При 7" (ге) < 0 следует взять о < О, а все остальные рассуждения сохранить). Зафиксируем число о > 0 и продолжим каждую из экстремалей семейства К влево за точку пересечения с многообразием 1«', (т. е. для ( < (о(а)) до такого момента $ (а), чтобы Д(, х(г; ст, 0), х((; а, 0))11( = о. (1.83) С (а) Функция г (а), определяемая нз уравнения (1.83), при достаточно малых (т и а оказывается гладкой функцией от о и а в силу теоремы о неявной функции.
Действительно, производная левой части уравнения (1.83) по г (а) в точке а =О, о = 0 равна —.Щ,); оиа отлична от нуля в силу условия теоремы 6. При достаточно малом о > 0 левые концы экстремалей (г,(а), х (а)) (где х (а) = х(г,(а), а, 0)) образуют гладкое многообразие Ж,. Действительно, в силу следствия 1.1 г1( х(с;а, О) †((;а, О) = й + 1. (1.84) дх «= т«,а =0 Будем рассматривать а в качестве координат на Ф,.
Для того, чтобы проверить, что М, гладкое многообразие, достаточно найдх ти — и убедиться в их линейной независимости. Имеем матрида цу дх /. ((г дх — = ( х(г; а, 0)), — + — (г; а,О) да ( ~ 1=1 («У ~(а да ранг которой при а =О, а = 0 равен й в силу (1.84), следователь- но, он равен Й при всех достаточно малых а, о. 74 глхзА ). классическое вхеихционное исчисление 75 $ я поле экстгемхлеи Применим к ))Г основную конструкцию. Получим много- образие 9И, содержащее расширенный график экстремали х( ) (в том числе н точку го, х ). В дальнейшем, без специальных ого- ворок, все объекты основной конструкции, относящиеся к мно- гообразию 9Л, будут помечаться индексом о..
Ут в е р ж д е н и е 1.5. Суи4естпвуетп тпакое неэависл- и4ее от тт число д >О, чтпо 3 (г)фО г (е(г +д. (1.85) Нными словами, начальный у юасток экстремали х( ), длина которого не зависитп от тт, свободен от фокальных точек. Д о к а з а т е л ь с т в о. В дальнейшем для краткости будем вместо выражения дх — д.«; Ъ,;(а), а(а, д»~ ~ М= тт(а) дх писать просто —. Отдельно найдем производную по тз.
Дифда ференцируя тождества х(гв; Го,х,р ) = х по Гз, получим 0= дх дх = х(гз; Го,х, рь)+ — (то; те,х,р„), т. е. — =-х. Якобиан 3 д~о в этих обозначениях примет вид Г д-*. „.дг. дх.~ 3 (г) =бе1~ — — х —, (1.86) ~, да да дд,) Имеем 3 (г ) =О, поскольку последние (и- й) столбцов обра- щаются в нуль при Ф = г' .
Нам надо доказать, что 3 (г) ф 0 при г > г . Для доказательства вычислим производные от этих столб- цов. Производные по начальным данным удовлетворяют уравне- нию в вариациях для системы (1.76). Имеем — — =Й вЂ” * +Й дх Разлагая по формуле Тейлора н учитывая, что — (г ) =О, по- лучаем '*«) =Н„( ) др(г.и г )+( г )гЛ(Ф,.), (1.87) причем существует С > 0 и окрестность точки (го, 0), в которой элементы матрицы В удовлетворяют неравенству (1.88) !В, (г, <т) / < С.
Подставляя (1.87) в (1.86) и учитывая, что х = Н„, получаем 3 Я=(т — т,)" ~с$е1~ — — Н вЂ”, Н„„— +(г — г )В . (1.89) Л е м и а 1.8. Матрит4а (1.90) при Ф = ь, невырождена. Доказательство. Предположим, что найдутся Л Е Е()к" )', р6()к ) такие, что т дхз — 110~ — д)Е п~ — — Н вЂ” 9~+ ЛН вЂ” =О. ~ да тт(а) гг д)3 (1.91) Умножим (1.91) скалярно на вектор Л вЂ”: дрг дд' Поскольку векторы — касаются многообразия Я>, первое сладро дд 7 д=„дро, гаемое в этой сумме равно нулю, поэтому ( Л Й вЂ”, Л вЂ” о 7) = О.
гг д,д' д,0/ Матрица Й положительно определена в силу выполнения усни д ленного условия Лежандра (см. (1.20», следовательно, Л вЂ” = О Ж дд.'''Ю Поскольку — линейно независимы, отсюда следует, что Л =О. дд / дхо — т(го~ Равенство (1.91) принимает внд 7т~ — — ̈́— ~ =О. Векторы Их — а то да "т(а — о — й — в силу условия (1.75) линейно независимы, поэтому т(а,. г дат р= О. Итак, столбцы матрицы (1.90) линейно независимы. П 76 ГЛАВА 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Обозначим детерминант матрицы (1.90) через 4!. Пусть, для определенности, д > О. Тогда в силу гладкости функций х (й, о), р,(й,о), найдутся по >О, д >0 такие, что при всех йз — д < й < «~„+д„~~„,: бей~ — (й) — Н (й) — '(й), Н (й) — (й)у > —.
(1.92) й'дх. — йй. — дР ~ да г 1йгг ' гг дд,г 2' Матрицы, стоящие под знаком детерминанта в формулах (1.89) и (1.92) отличаются друг от друга на слагаемое (й — й ) Н(й, о ), где Н удовлетворяет неравенствам (1.88), т. е. равномерно ограничено ~о о и й. Отсюда без труда получается утверждение 1.5. П д Вернемся к доказательству теоремы 1.14. Выбрав йз — й < —, получим 3 (й)~0 при й < й<йо+ —. (1.93) На отрезке йо+- < й < й, якобнан 3(й) ФО, а 3 (й) при !г — +0 равномерно стремится к 3(й).
Следовательно, для всех достаточно малых и > 0 3 (й)эАО при й + — < й< йг (1.94) Соотношения (1.93) и (1.94) позволяют построить поле экстре- малей с начальным многообразием 1Г в окрестности экстремали х( ). Равенство (1.83) означает, что исходное многообразие Ф лежит на поверхности уровня функции Я, отвечающей полю 41 (см. замечание на с.
72), т. е. значение исходного функционала на участке экстремалн, лежащем между 1т и Ф„одно и то же для всех экстремалей поля ф . Покажем теперь, что х(.) реализует сильный минимум. Действительно, траектория х(), лежащая в достаточно малой окрестности экстремали х( ), попадает в область, покрытую полем !41 . Если такая траектория ведет на Ф и дает функционалу Х значение меньшее, чем,7(К(.)), то, продолжив ее до Н, по экстремали поля 41, мы получим траекторию, лежащую в области, покрытой полем 141 и дающую функционалу 7 значение меньшее, чем на соответствующей экстремали поля, что противоречит теореме 1.13. П ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЕ РИХКАТИ В КЛАССИЧЕСКОМ ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛКНИИ 9 1. Уравнение Риккатн как достаточное условие положительности второй вариации Ий(,) ~ ~ (,,(,) (й))ь(й)+ (й, (й),х(й)) й(й) йй=О, г'(ду ОУ что приводит к уравнению Эйлера д~ 1й д,г — — — —,=0 дх 11й дх (2,3) для неизвестной функции х(й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
