М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Кватернноны строятся как ассоциативная алгебра над полем 1к с образующими 1, 2, 4', ж и соотношениями 4 =,4'=в= — 1, 2 .2 2 (2.31) 2,2' = —.2 !' = 1с, 2 в = — Ц = 4', ж«' = — 4'в =,2'. Совокупность всех кватернионов мы будем обозначать через Б. Тем самым любой кватернион может быть записан в виде х = ж + х, «+ х2 2'+ хзй, (2.32) где хо, ж„х, ж — действительные числа. Кватернион х = хо— — х,« — ж2,2' — ж в называется сопрлзженным к ж. Из (2.31) следует, что — — 2 2 2 2 хх = жх = х1 + х, + хг + хз.
Эта величина называется ивадрагпом модуля и обозначается !х~~. Следовательно, для любого ненулевого ж существует обратный элемент, определяемый формулой ж 1= х/~х~~. По аналогии с комплексными числами величина ж называется дейсгпвигпельноб частпью х и обозначается Ях, а разность х — ж называется мнимой частью х и обозначается 3 х. Легко проверить, что модуль произведения кватернионов равен произведению модулей, поэтому совокупность кватернионов, по. модулю равных единице, образует мультипликативную группу.
Каждому кватерниону а + а! 4+ а,т'+ а ж можно поставить в соответствие одну и только одну точку (а,а„ а, а ) стандартного евклидова пространства 1к~ с фиксированным ортонормнрованным базисом. Это сопоставление будет называться естестпвеннь«м отождествлением. Оно будет постоянно подразумеваться в дальнейшем изложении.
Доказательство теоремы 2.4. Будем рассматРивать Ж как совокУпность кватеРнионов ао+ а! 4+ а22'+ озь. Пусть элемент ИГ Е С2+(И ) определяется своим ортонормированным базисом, т. е. йарой единичных, взаимно ортогональных векторов х и у. Рассматривая этн векторы как кватернионы, образуем еще два кватерниона и и жс и=ху, и=х у. (2.33) Л е и м а 2.3. Кватернионы и, и — чисто мнимые. Лх модуль равен единице.
Доказательство. Кватенионы и и и по модулю равны единице как произведение единичных кватерннонов. Докажем, что они чисто мнимые. Рассмотрим кватернион и (для и доказательство аналогично). Пусть х=а +а,«+а !+а и, у = 6ь + 1 + 622 + 3 ж. 96 ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЕ РИККАти В ВАРИАЦИОНном иСЧИСлении ПосколькУ У = У, имеем Р1 и = ао Ьо+ а, Ь, + аг Ьг+ оз Ьз. Так как х — 1 и у — ортогональные векторы, то (х, у) = О. Таким образом, кватернион и чисто мнимый. П Л е м м а 2,4. Кватернионы и, о не зависятп отп выбора ортионормированного базиса в ориентированной плосиости И~.
Доказательство. Пустьматрица ~ ) ортогональ/а б на и унимодулярна (т. е. ее определитель равен +1). Переход к новому базису в плоскости (х, у) описывается уравнениями х = ах+ !ду, у='ух+ бу. Из условия ортогональности базисных векторов и унимодуляр- ности матрицы перехода получаем ху ' =(ах+ !Зу)(ух+ бу)=(ах+,Оу)(тх+ Ьу) = = а.ухх+ абху+ ~3 уух+ !албуу= (а у+ !Зб) + (аб —,О у)и= и. В этой выкладке мы воспользовались тем, что хх = 1, уу= 1, ху=ху '=ии ух=ух '=и= — и, а также тем, что ат+1уб=О и а б — !9 у = 1. П Таким образом, мы получили отображение й: Сг+(Ж~) — + о~ х х Я~, при котором т1' отображается в (и, о) й о~ х о~. Лемма 2.5.
Отображение Л: Сг+(м~)- о~х о~ непрерывно. Доказательство этой леммы очевидно, так как при непрерывном изменении х н у кватернионы и и о меняются непрерывно. Для доказательства того, что отображение А является гомеоморфнзмом, построим обратное отображение. Рассмотрим точку (и, о) й Я х Я~. Каждому кватерниону д сопоставим кватернион ид — до (напомним, что и„о — пара чисто мнимых единичных кватернионов). Таким образом, построено отображение З„„: Н-+ Н, !В „(д) = ид — до. (2.34) $4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ 97 Лемма 2.6. При отиождестпвлении Н с Н матирица умножения (хан слева, таи и справа) на чисто мнимый иватпернион кососимметпрична.
Доказательство. Легко проверить, что умножение на любой нз базисных члсто мнимых кватернионов т, у', Ь имеет кососимметрическую матрицу. Так как любой чисто мнимый кватернион представляется в виде линейной комбинации т', у', Ь, то его матрица также кососимметричиа. П Л е м м а 2.7. Матрица отображения Ф .(д)= яо Ф„„: Н-~Н, где и, о — единичные чисто мнимые нватпернионы, ортогонально и сил4метпрична. До хаз а тел ьс т в о. Ортогональность Ф„„следует из того, что !идо( = !д~. Докажем симметричность.
По лемме 2.6 умножение на чисто мнимый кватернион представляется кососнмметрической матрицей. Пусть умножение слева на и представляется матрицей Ф„, а умножение справа на о — матрицей Н„. Тогда Фт (Ф вЂ” )т -„тФт Так как умножение в Н ассоциативно, то Б„дГ„= дГ„Б„= Ф,. П Следствие 2.1. Собственные значения матрицы Ф „действитиелъны и по модулю равны 1. Лемма 2.8. След отиображения Ф „равен О.
Доказательство. Обозначим через Ф „(д) (где а= = 1, т', у, Ь) а-компоненту кватерниона Ф „(д). Пусть и=а!д+ог,т'+азх, о= Ь!д+Ьу+Ьзй. Легко проверить, что Ф „(1), = -( ,Ь, + ,Ь, +,,Ь,). (2.35) Так как Фч „(г) = (а,д+ огУ' + азв)4(ь! ь+ ЬгУ+ Ьз Ь), то Это преобразование линейно. Ф „(д), = — аГЬГ+ огЬЗ+ азьз.
(2.36) 4 М И. Зелимин Аналогично, Ф „(,Г) . = а, Ь, — агЬ + азЬз, Ф„„(й)„= а, Ь| + агЬг — азЬЗ. (2.37) (2.38) 98 ГААВА 2. уРАВнение РиккАти В ВАРиАционном исчислении Складывая равенства (2.35-2.38), получаем, что ТгФ „=Ф „(1), +Ф,(4)т+Ф „(т').+Ф „(й) =О. П Следствие 2.2.
Собстпвенные значения +1 и — 1 матприцы Ф „двунратпньь Доказательство следует нз следствия 2.1 и леммы 2.8. Лемма 2.9. Образ отпобразгения В „- -. двумерное линейное подпростпранство, отпвечаюи4ее собстпвенному значению +1 матприцы Ф Доказательство. Заметим, что иг =-йи= — 1, эг = = -ээ = — 1. Так как Ф,„„(ид — дэ) = и(ид — дэ)э = — дэ+ ид, то любой вектор, лежащий в образе В „, является собственным вектором отображения Ф, с собственным значением +1, Матрица отображенйя В „кососимметрична н, следовательно, имеет четный ранг. Этот ранг не может равняться О (поскольку матрица В „фО) и не равен 4 (так как в образе не содержатся векторы, отвечающие собственному значению — 1).
Следовательно, Гк В „= 2 и 1т В„„двумерен. П Обозначим через Ас Яг х Я~-4 С (К4) отображение, определенное формулой р(и, э) = 1т В „. Йз формулы (2.34), задающей оператор В„„очевидно, что отображение,и непрерывно. Для каждой точки (и, э) е Я х Я это отображение определяет 2 2 двумерную плоскость. Для того чтобы выбрать ориентацию этой плоскости, нам понадобится дополнительное построение.
Далее символы, соответствующие точкам многообразия С (К ), мы будем снабжать индексом +. Например, плоскость + 4 И'е Сг(К ), если на ней задана ориентация и она рассматривается как точка многообразия Сг"(К4), будет обозначаться через И'+. $4. мнОГООБРАзия ГРАссмАнА мАлых РАзтАБРНОстей 99 Ле м м а 2.10. Пустпь И' е Сг(К~) — (неориентпированная) плосиостпь с ортпонорми1юванным базисом х, у, и пусть Л(х, у) =(э„э).
Тогда р(и, э) = И'. Доказательство. Отображение Л переводит плоскость И' в пару чисто мнимых единичных кватернионов и и э: — э=х 'у, (и„э)ЕЯ хЯ. Отображение р переводит эту пару в образ отображения В,— двумерную плоскость, состоящую из собственных векторов Ф „ с собственным значением +1.
В то же время векторы х и у являются собственными векторами Ф „с собственным значением +1. Действительно, то, что ихэ = х и иуэ = у, есть простое следствие определения (2,33) кватерниоиов и и э. Следовательно, векторы х, у лежат в плоскости Ит. П Таким образом,мы построили отображение тз, которое действует из Ягх Яг в С (К4). При помощи этого отображения построим отображение Гт+: Яг х Яг — С+(К4). Для этого необходимо ввести ориентацию в плоскости 1тВ „. Пусть Ить е Сг+(К4) — двумерная плоскость с ориентирующим базисом х, уз. Образ этой плоскости при отображении Л обозначим через (ио, эе).
Определим ориентацию плоскости 1тВ так, чтобы она совпадала с ориентацией плоско~о ч сти И'+, порожденной базисом х, у . Это означает, что в данной точке (э, э ) мы выбираем один из прообразов точки 1тп В „ относительно двулистного накрытия р: С+(К ) — + Сг(К ). Этот прообраз мы обозначим через 1Гп В+,. Л е м м а 2.11. Выбор 1тпВ+„щюобраза одной тпочии можно продолжитпь до непреогывйого отпображения неттотпорой оирестпностпи 1Г С Я х Я в Сг (К ). г + 4 Доказательство.
Отображение р есть накрытне, н, следовательно, окрестность точки 1тВ „на многообразии С (К4) гомеоморфна окрестности точки 1тВ+„(с внесенной в соответствуюшую плоскость ориентацией) йа многообразии Сг+(К4). Следовательно, существует такая окрестность 1Г точки (ио,эо) б Я х Я, что в ней определено отображение 14+: 1à †> С+(К4), со значением в точке (и, э ), построенным выше. П 100 ГЛАВА 2.
уРАВнение РНКХАти В ВАРиАционном исчислении $4, МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ 101 Следствие 2.3. В окрестности сг отпображение рь являетпся обратпны и м отображению Л. Л е м и а 2.12. Отпображение 24+ допускает непрерывное продолжение на все многообразие Я х Я . Полученное 2 2 продолжение отображения рь является обратньгм м отображению Л. Для доказательства первой части леммы 2.12 нам придется сделать короткое отступление в область топологии. Гомотопиые пути. Пусть М вЂ” гладкое многообразие.
Определение. Залаюнутым путем называется непрерывное отображение окружности Я' в М: Т: Я' — М. Иными словами, замкнутый путь — это периодическая функция Т(в) от скалярного переменного в, принимающая значения в М. Путь называется тпождественным, если эта функция постоянна. Определение. Два пути, «, и «2, называются гомотопны ми, если существует такое нейрерывное отображение 7: Я~ х ]О, 1]-т М, что ,«(в,О) = «(в), у(в,1) =.~~(в). Иными словами, гомотопия — это процесс непрерывной деформации, при которой один путь переходит в другой.
Определение. Многообразие М называется односвявным, если любой замкнутый путь в М гомотопен тождественному. П р и и е р 2.1. Внутренность круга — односвязное многообразие. Гомотопия осуществляется гомотетическим стягиванием круга в его центр. П р и и е р 2.2. Окружность не односвязна, так как замкнутый путь, совершающий полный оборот по окружности, не может быть стянут в точку с помощью его непрерывного изиенення на окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
