М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 18
Текст из файла (страница 18)
П р и м е р 3.5. Рассмотрим 5р(гг, К) — группу симплектических преобразований пространства Ж~", оставляющих инвариантной кососимметрнческую невырожденную билинейную форе му 7(х,т))= ~(хту,. „— тг,.хг „). Матрица этой формы имеет вид — о) (3.5) в Напомним, что невырожденная кососимметрнческая билинейная форма определяет силзгглеыгпичесмпто спгр1)мпчуру на пространстве К ". Поскольку кососимметрнческая (тп х гп)-матрица при нечетном т обязательно вырождена, симплектическая структура существует только на четномерных пространствах. Любую невы- Ее рожденную кососимметрическую билинейную форму в Ж можно привести к форме с матрицей (3.5). Множество линейных преобразований пространства Ж~", сохраняющих симплектическую структуру (т.
е. оставляющих инвариантной кососимметрическую форму 7), называется силсплегспзичесмой группой и обозначается через 5р(я„К). Легко видеть, что это множество и в самом деле является группой: произведение преобразований, сохраняющих г, тоже сохраняет 7; обратное отображение определено, так как вырожденное преобразование не могло бы сохранить невырожденную форму; обратное преобразование, очевидно, также сохраняет форму,у. уравнение, определяющее снмплектическую группу, имеет вид (3.6) Б,7Бт .У=О. Проверим, что уравнение (3.6) задает гладкое многообразие. Рассмотрим отображение Р = Б.?Б~ —,7 и найдем дифференциал Р. Имеем $;(Б)Н= Н7Б~+ БЛН . (3.7) Легко видеть, что отображение Р переводит линейное пространство матриц М„(К) в линейное пространство кососимметрических матриц.
В правой части равенства (Г3.7) стоит удвоенная кососнмметрнческая часть матрицы Н.7Б . Операция кососимметризацин множества всех матриц действует на все пространство кососимметрнческнх матриц, а умножение на невырожденную матрицу,УБ~ действует на все М„(К), поэтому отображение Р, ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛН (сЬ 2 ЕЬ 2) (3.8) Преобразование двумерной плоскости с декартовыми координатами (2х, у), с матрицей (3.8) оставляет ннварнантной гиперболу х — у = 1, поэтому оно называется зиперболическим поворо- 2 тпом. 9 2. Алгебры Ли В дальнейшем, допуская некоторую вольность речи, мы не будем различать группу Ли и соответствующее этой группе многообразие.
Среди всех гладких многообразий группы Ли занимают особое положение. Их геометрическое строение практически полностью (с точностью до факторизации по дискретной подгруппе) сюръективно, и, следовательно, множество симплектнческнх матриц образует гладкое многообразие. П р и м е р 3.6. Группа Бр(п) есть унитарное ограничение Зр(я„й). Она состоит из матриц, лежащих в пересечении Зр(п, й) П1 1.1(п).
П р и м е р 3.7. Группа О(тп, и) состоит из преобразований, оставляющих инвариантной квадратичную форму 2' х,.— зл+ и 1=1 — х.. у=па+1 Группа Лоренца О(1, 1), сохраняющая метрику Минкозско- 2 2 го Й = х, — х на двумерной плоскости, является простейшим примером групп из этой серии. Обозначим через Х матрицу форХ=(' О) Уравнение, характеризующее группу О(1,1), имеет внд Р(8) = 8КЯ~ — Х =О. Определитель матрицы о, удовлетворяющей этому уравнению, равен Ы. Значение дифференциала Р, на векторе Н равно НХ8т+ НКНт. Сюръектнвность проверяется как и в предыдущих примерах. Нетрудно показать, что связная компонента единицы этой группы (обозначаемая через БО(1, 1), состоит из матриц вида отражается в алгебраической структуре касательной плоскости к группе Ли в точке е — единице группы С. Прежде чем описывать эту структуру (которая называется алгеброй Ли)„вычислим касательные пространства в точке е для линейных групп, рассмотренных в $1.
П р и м е р 3.8. Многообразие О1.(п) есть открытое множество в пространстве М„(В), поэтому касательное пространство в единице отождествляется со всем пространством М„(В). П р и м е р 3.9. Многообразие 81(п) задается уравнением де1 Х = 1. Поскольку для единичной матрицы 1 алгебраические дополнения А,, равны б,,, ядро отображения Р,(1), где Р(Х) = = бе1 Х, состойт нз матриц со следом нуль, которые по теореме 3.1 образуют касательное пространство к БЦп) в точке е. П р и м е р 3.10.
Многообразие О(и) задается у~авнением ХХ =1. Ядро отображения Р,(1), где Р(Х)=ХХ, состоит нз матриц, удовлетворяющих уравнению Н+ Н =О, т. е. из т кососимметрическнх матриц. Пример 3.11. Многообразие ()(и) задается уравнени— т ем ХХ = 1, Ядро соответствующего отображения состоит из — т комплексных матриц, удовлетворяющих уравнению Н+ Н = О, которые называются косоэрмитповыми. П р и и е р 3.12. Многообразие Бр(п, В) задается уравнением Х.7Х = 7. Ядро соответствующего отображения состоит нз матриц, удовлетворяющих уравнению Н,7+,7Н = О, т. е.
из т таких матриц Н, для которых матрица Н.7 является симметрической. Для описания дополнительной структуры на касательном пространстве к группе Ли нам потребуется понятие левоинварнантных векторных полей. Далее пространство гладких функций на многообразии й обозначается через С (91) Векторные поля на многообразии. Обычно под касатпельиы к веютором к многообразию 91 понимают касательный вектор к гладкой кривой, лежащей на Я 11].
Однако часто бывает полезно отождествлять касательный вектор с оператором дифференцирования по направлению этого вектора. Определение. Вектпорным полем Х на многообразии Х называется линейный дифференциальный оператор первого порядка, действующий на функции нз пространства С (Х). но глава з. гггппы и злгглры ли з к ллгаы ы ли То есть Х вЂ” линейное отображение Х: С (Х) -+ С (Х), обла- дающее свойством Х(Уд) = ХЦ)д+ Х(дУ, которое называется правилом Лейбница. 3 а и е ч а н и е. Это определение эквивалентно стандартно- му определению (см. [34]) с помощью системы локальных коор- динат, так как в локальных координатах коэффициенты линейно- го дифференциального оператора преобразуются как координаты (контравариантного) вектора.
Пусть р: Х- ф — гладкое отображение многообразий. О п р е д е л е н и е. Функции д Е С (Х) и Ь Е С (ф) назы- ваются р-согласованными, если д(х) = Ь(~о(х)), т. е. на всех прообразах точки у(х) прн отображении р, х ~ Х, функция д равна значению функции Ь на образе у(х).
Векторные поля Х и У называются ~р-согласованными (У = Э>,Х), если нх значения на ~р-согласованных функциях со- впадают, т. е. Х(д(х)) = У(Ь(у)). 3 а и е ч а н и е. В действительности определение х,х есть просто другая запись обычного определения дифференциала отображения ~р, так как если Х является дифференциальным д оператором 2" Х'(х) †,, отвечающим вектору с координатами Х'(х), то у,х(Ь(у)) = Х(Ь(~о(х))) = ~~ Х'(х) — —,. ду дх' Поэтому коэффициенты дифференциального оператора у,х суть др —,. Х =(Хх), где,7 — якобиан.
Именно это и есть обычное дх определение дифференциала. Векторные поля образуют линейное пространство. В то же время композиция (произведение) двух операторов выводит за пределы этого пространства, так как композиция двух дифференциальных операторов первого порядка есть дифференциальный оператор второго порядка. Однако из двух векторных полей, Х и У, на Х можно составить выражение [Х, У] = ХУ вЂ” УХ, которое будет дифференциальным оператором первого порядка. Действительно, [Х, У]~(х) = Х' —,.
У' —,. — У' —,. Х' —, ;дУ' .дх'~ дУ дх' дх' ~ дх' потому что члены второго порядка взаимно уничтожатся по теореме о независимости вторых производных от порядка дифференцирования. Введенная таким образом операция называется коммутатором двух векторных полей. Операция коммутирования функториальна в следующем смысле. Л е м м а 3.1.
Пусть у: Х вЂ” +  — огпобрагсение гладких многообразий, Х и У вЂ” векторные поля на Х. Ясли векторные поля У и У р-согласованы с Х и 1, т. е. У=у,У, то соотоетствуютцие коммутаторы согласованьц [П,У]= р,[Х,У]. Доказательство. Пусть функция Ь(у) согласована с функцией д(х). Тогда ПУЬ(у) согласована с ХУд(х). Действительно, по определению функция УЬ(у) согласована с функцией Уд(х) и, следовательно, б У Ь(у) согласована с ХУд(х). То же самое справедливо и для функций УПЬ(у) и УХд(х). Поэтому разности этих функций, т.
е. [О; У]Ь(у) и [Х, У]д(х), согласованы. О Пусть теперь задана группа Ли С. Для простоты мы будем рассматривать только линейные группы. На С можно рассмотреть преобразования, которые называют левыми сдвигами. А именно, если ае С, то Л,: С- С определяется как умножение на элемент а слева, т. е. Л,д = ад. Оп р еде лен ие. Векторное поле Х на группе Ли С называется левоинвариантным, если (Л,),Х =Х при всех а е С. Л е м и а 3.2. Для каждого касательного в ектпора Х(е) в точке е существует единственное левоинвариантное векгпорное поле, принимающее в точке е значение Х(е).
112 ыз ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛН Б 3. ГРУППЫ ЛИ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ Доказательство. Если задан вектоп Х(е), то мы можем определить поле Х следующим образом: Х(д) =(Л,),Х(е) = = дХ(е). Это поле будет левоинварнантным. В самом деле, (Л,),(Л )„Х = адХ(е) = Х(ад).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
