М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. в группу диффеоморфизмов С, сохраняющих метрику). Если замкнутая подгруппа К' группы Ли С не является инвариантной, то можно рассмотреть множество левых (или правых) классов смежности С/К. Левым классом смежности группы С называется множество элементов группы С вида аК, а е с С. В отличие от случая, когда К является инвариантной подгруппой, это множество уже не образует группы. Тем не менее С/К является гладким многообразием (57, с.
48]. Отображение у: С вЂ” + С/К, которое каждому элементу д е С ставит в соответствие его левый класс смежности дК, называется естесп1- веннь«м отобрагсением (естественной проекцией). Множества С/К называют однородным пространством группы С. Термин «однородное» связан с тем, что это пространство имеет одинаковую геометрическую структуру во всех своих точках: группа С действует на нем как группа преобразований д: С/К- С/К, д: аК».+(да)К; таким образом, прн левом действии группы С левый класс смежности снова переходит в левый класс смежности.
Это действие транзитивно, так как для любых элементов а, Ь Е С существует такой элемент д, что аК ~-+(да)К = ЬК. При этом К представляет собой множество элементов группы С, оставляющих неподвижной точку о = у(е) й С/К, отвечающую единице е е С. Поэтому .К часто называют стационарной подгруппой. Так как действие К на С/К переводит одни касательные направления в неподвижной Б Б. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 129 точке в другие, эту подгруппу называют также подгруппой изотропии. В алгебре Ли 18 группы С рассмотрим ортогональное (в смыеле формы Кнллинга) дополнение 4) к подалгебре Я, т. е. Р4) = Я~. Каждый левый класс смежности 18/Я имеет своего представителя в 13 и поэтому мы можем отождествить 1(3 с касательным пространством С/К в точке о = у(е).
Обозначим через 43 = доз распределение подпространств, полученное из подпространства 43 при применении левых сдвигов на элементы группы С. Теорема 3.13. Ограничение форл«ыКиллинга на 43 и продолггение полученной квадратичном форл«ы на все надпространства 43 определяет риманову метрику на многообразии С/К, инвариантную относительно левого дейсгпвия группы С. Доказательство.
Умножение слева на элементы группы С позволяет построить распределение линейных подпространств в касательном расслоении к многообразию С, которое строится следующим образом. Дифференциал левого сдвига на элемент д переводит надпространство Я касательного пространства в точке е в некоторое надпространство Я касательного пространства в точке д. В каждой точке д а С соответствующее надпространство Я касательного пространства Т(С) определяется как левый сдвиг на элемент д всех векторов, йринадлежащих Я. Очевидно, что Я касается орбиты группы К, проходящей через точку д. По построению это распределение является левоинвариантным. Аналогично, по надпространству 43 С 18 строится левоинвариантное распределение линейных надпространств ~3~, которое в силу ннвариантности формы Киллинга в каждой точке уй С оказывается ортогональным дополнением к Я .
Это распределение может рассматриваться как касательное пространство к многообразию С/К в точке д. П Таким образом, группа С оказывается подгруппой группы движений однородного пространства С/.К. Симметрические пространства. Для некоторых однородных пространств можно указать образующие группы движений. Эти образующие имеют прозрачный геометрический смысл— это некоторые отражения. Мы опишем пространства, обладающие полным набором таких отражений.
~зо ГЛАВА 3, ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ з б. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1з1 Для того чтобы ввести этот класс пространств, изучим сначала зхспоненииальное отображение. Пусть Х вЂ” произвольное риманово многообразие. Уравнения геодезических (см. формулу (1.16) являются уравнениями второго порядка. Поэтому через каждую точку х й Х и каждое направление Лр Е Т Х, Л е Ж, проходит одна и только одна геодезическая.
При измейении Л параметр на геодезической умножается на Л. Этот факт дает возможность определить отображение касательной плоскости Т,Х в само многообразие Х. А именно, через точку х проведем геодезическую ~, (г), отвечающую касательному вектору р в точке х, т.
е, у(0) = х, у(0) = р. Определим отображение Ехр: (х,р)» т „(1). Заметим, что пропорциональным векторам отвечают различные точки одной и той же геодезической у. По теореме о гладкой зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных (см. 1391) отображение Ехр является гладким отображением окрестности с» начала координат касательной плоскости на некоторую окрестность точки касания. Кроме того, через каждую точку у, достаточно близкую к точке х, проходит одна и только одна геодезическая, соединяющая х с у, поэтому отображение Ехр определяет диффеоморфизм окрестности У точки 0 ~ Т,Х на окрестность У точки х е Х.
О и р е д е л е н и е. Отображение а,: У -» Х, переводящее точку Ехр(х, р) в точку Ехр(х, — р), называется геодезической силь»кетрией в точке х. Геодезическая симметрия а, обладает следующими тремя свойствами: 1) отображение»т есть изометрня; 2) отображение а, ииволютивно; 3) точка у = х есть единственная неподвижная точка о., в достаточно малой окрестности точки х.
Оп р еде лен не. Риманово (или псевдориманово) многообразие называется локально силтлтетричесхим в точке х, если для точки х существует некоторое отображение о, обладающее свойствами 1)-3). Многообразие называется силтлтетричесхи»лт„если оно локально симметрическое в любой своей точке. Для того чтобы подчеркнуть отличие симметрического пространства от локально симметрического пространства в некоторой точке, иногда употребляют термин глобально силтметричесхое простпранство. Следующие многообразия дают простейшие примеры симметрических пространств: п-мерное евклидово пространство з("; тор й"/Е", снабженный индуцированной метрикой; стандартная сфера Я"; проективное пространство йР".
Эллипсоид 2 х,.~а,'. с метрикой, индуцированной объемлю- 3 ь=~ щим евклидовым пространством К", является локально симметрическим пространством только в точках пересечения с главными осями. Глобально симметрическим пространством он не является. Геодезическая симметрия — отражение в точке х — является ннволютивным преобразованием (его квадрат есть тождественное преобразование). Комбинация двух таких изометрий (сначала относительно точки х, а затем относительно точки у) переводит геодезическую, проходящую через эти точки, в себя. Это преобразование называется трансвехиией. В евклидовом пространстве это параллельный перенос; на сфере — это вращение вокруг осн, перпендикулярной к экватору, на котором лежит рассматриваемая геодезическая.
Таким образом, если многообразие глобально симметрическое, то, комбинируя геодезические симметрии, мы можем построить подгруппу группы нзометрий многообразия Х. На самом деле, эта подгруппа совпадает со всей группой изометрий, которая оказывается группой Ли 152, 22). Поэтому преобразования о„ вЂ су образующие группы изометрий.
Важнейшими примерами симметрических пространств являются группы Ли. Теорема 3.14. Линейная группа Ли Ст является силь»кетиричесхиль простпранстивом. Доказательство. Для произвольной точки хйС построим отображение а,: у»-+ ху 'х. Покажем, что отображение а,(у) является инволютивной изометрней, с единственной неподвижной точкой х, т. е: 132 ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ Ли 4 Е. ОДНОРОДНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 133 а) отображение о, есть изометрия; б) отображение о, инволютивно; в) точка у= х есть единственная неподвижная точка о, в достаточно малой окрестности точки х.
Свойство а) следует из того, что о, есть комбинация трех изометрий. Свойство б) следует из формулы о (у) = х(х ух )х= у. Докажем свойство в). В самом деле, условие ху 'х = у эквивалентно тому, что (ху ') = е. Покажем, что в достаточно малой окрестности точки е существует только один злемент а такой, что а = с (т. е. а = с).
Лемма 3.6. Пусть отобразсение алгебры матприи М(п) в себя определено формулой Г(г)=г~ — е. Тогда г= е есть изолированное решение уравнения с'(г) =О. Доказательство. Для любого элемента й, принадлежащего алгебре Ли М(п), имеем К(е)й=(гй+ йг)~,, = 2й. Следовательно, якобиан отображения Р отличен от нуля, и по теореме о неявной функции решение г = е уравнения Р(г) = 0 изолировано. О В силу доказанной леммы ху 1 = е, т. е. х = у. Теорема доказана. С1 Важную роль при изучении симметрических пространств играет следующее утверждение.
Утвержден и е 3.3. Пусть сг — инволютивноя изометприя многообразия С, точка х — изолированная неподвижная точка о . Пустпь Гг' — такая окресгпность точки х, ото через каждые две точки этой окрестности проходит одна и только одна геодезическая, лежащая в П. При этом пусть П не содержитп других неподвижных точек отпобразсения о . Рассмотрим тпакую тпо аху у е П, что о' (у) е П.
Через точки у и о,(у) проведем геодезическую т. Тогда отрезок геодезической у, соединяющий точки у и о,(у) содержит точху х. Доказательство. Образ т относительно отображения о, также проходит через точки у и о,(у). Поскольку геодезическая прн изометрии переходит в геодезическую, а через две точки в П проходит лишь одна геодезическая, то о,( у) =.т. Следовательно, о, определяет отображение отрезка геодезической в себя. По теореме Враузра оно имеет неподвижную точку.
Но у о, есть только одна неподвижная точка, следовательно, х Е ч'т. С) Т е о р е м а 3.15 (об однопараметрических подгруппах). Пустпь  — де уста оро нне инв ариантпная рамонов а метприка на кольпахтпноб группе Ли гт. Тогда геодезические, проходящие через тпочку е, сутпь однопараметпрические подгруппы. Обратпно: всякая однопарамстпричесхая подгруппа является геодезической.
Доказательство. Очевидно, что достаточно рассмотреть часть геодезической, которая лежит в окрестности П точки е. Рассмотрим одиопараметрическую подгруппу (Я(г)) в группе С, проходящую через точку с (в частности, Я(0) = е). Положим х = Я(1/2) н определим отображение о по формуле о (у)= ху 'х. Из доказательства теоремы 3.14 следует, что отображение о, есть инволютивная изометрия относительно точки х. Так как (Я(ЕЦ вЂ” подгруппа, то о,(е) = хг = Я(1) и о (Я(1)) =- е. В силу утверждения 3.3, точка Я(1/2) принадлежит геодезической у, проходящей через точки е и Я(1).
Точно так же при любом г=т/2", тп,пет"1, точка Я(г) принадлежит той же геодезической т. Действительно, без ограничения общности можно считать, что т нечетно. В выражение Я(т/2")у 'Я(т/2") подставим вместо переменной у сначала точку Я((т — ! )/2"), а потом Я((тп+ 1)/2")). Из того, что (Я(г)) — подгруппа, следует, что зтн две точки переходят друг в друга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
