М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рассмотрим множество У с С„(В ), состоящее их всех й-мерных плоскостей, трансверсальных плоскости г . Для любой Иг й У рассмотрим два оператора проектирования на Ъ" и Ъ' параллельно У и ~~ соответственно. Ограничения этих операторов на плоскость Йг будут обозначаться соответственно через яз и я Заметим, что оператор ко: И' — + ~~ обратим, так как И' не содержит вертикальных векторов. Поэтому можно определить оператор к о 1го '. 7' -+ ~' . Выбрав базисы в ~~ и г, мы получим прямоугольную (й х (и — й))-матрицу Йг, соответствующую этому оператору. Отображение, которое каждой плоскости И' е У ставит в соответствие матрицу Йг, обозначим через у.
Отображение у обратимо, поскольку для каждой такой матрицы В' (или, что то же, для каждого оператора И'. Ъ" -~ Ъ' ) можно рассмотреть множество точек К", задаваемых в базисе, составленном из базисов плоскостей $щ 1~, векторами (х, Йх), 144 ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА 4 1. ТРи подходА к ОписАнию мнОГООБРАзий ГРАссмАнА 145 где в Е Ув, ЙГЛ Е У . Это множество точек образует й-мерную плоскость с координатами )У в карте (У, 22).
По каждой паре трансверсальных плоскостей (У, У ) описанным способом можно построить карту на многообразии С„(К"). Для того чтобы найти функции перехода от карты к карте, нам понадобится следующая конструкция. Рассмотрим две карты, У и У, на многообразии Грассмана.
Пусть плоскость И' ппннадлежит У Г1 У. Найдем координаты плоскости ИГ в карте У. Для этого рассмотрим преобразование й: К" ~ К", которое переводит пару плоскостей Н„, Н в пару плоскостей Йо, Н . Пусть — блочное разбиение матрицы й в базисе, составленном из базисов плоскостей Уз, У . Поскольку И' е Й эта плоскость трансверсальна Й . Координаты ЙГ плоскости ФР' в карте Й находятся следующим образом. Имеем (й, р) =((й, + й12)У)й, (й„+ й22)У) й). Матрица йн + й,ЗИ' обратима, так как если бы существовал вектор й' Е Кег(й11+й1 ИГ), й' фО, то точка (Ь', И'й*) плоскости И' имела бы в карте У координаты (О, р*), т.
е. ЙГ имела бы нетривиальное пересечение с Н . Следовательно, (й11 + й12 "У) и точку (Ь, р) можно записать в виде (й, (й„+ й„ИГ)(й„+ й12И~)-'й). Итак, координатами точки ИГ Е С„(К") будет матрица Й=(й21+й И)(йп+й12И )-'. (4.1) Преобразование (4.1) называется обобщенным дробно-линеи- ным преобразованием.
Таким образом функциями перехода из карты У в карту У являются обобщенные дробно-линейные преобразования. Поскольку эти функции аналитические, на многообразии Грасс- мана введена структура аналитического многообразия. Легко проверить, что группа 61.(п) гомоморфно отображается в группу обобщенных дробно-линейных преобразований пространства (й х (и- й))-матриц. При умножении всех элементов матрицы ~ , ) на ненулевой скаляр матрица ГА ВХ (С+ ВЪУ)(А+ ВИГ) 1 не меняется, поэтому действие группы обобщенных дробно-линейных преобразований на многообразии Грассмана можно рассматривать как действие группы 31.(п).
Инвариантное описание многообразий Грассмана. Пусть Уз — й-мерная плоскость в К". Рассмотрим орбиту этой плоскости при действии группы 0(п). При этом одна и та же точка орбиты может быть получена при действии различных преобразований, принадлежащих группе 0(п). Множество этих преобразований находится во взаимно однозначном соответствии с преобразованиями, оставляющими неподвижной плоскость Уо. Эта подгруппа 0(п) называется стабилизагпором плавности Ув. В базисе, составленном из базисов плоскостей Уо, У, где Уо перпендикулярно У, элементы этой подгруппы имеют вйд где А — (й х й)-матрица,  — ((п — й) х (п — й))-матрица. Следовательно, стабилизатор точки У изоморфен 0(й) х 0(п- й).
Тем самым доказано следующее утверждение. Ут в е р жде н не 4.1. С„(К") огпозсдествляе1пся с однородным пространством 0(п)/(О(й) х 0(п- й)), т. е. С (К") =0(п)/(0(й) х 0(п- й)). (4.2) Следствие 4.1. Многообразия СА(К") и Са А(К") диффеоморфны. Доказательство непосредственно следует из формулы (4.2). Диффеоморфизм осуществляется перестановкой сомножителей ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА 146 $1. ТРи пОдходА к ОписАнию мнОГООБРАзиЙ ГРАссмАнА 147 прямого произведения 0(й) х О(п — й), или, в геометрических терминах, отображением, которое каждой плоскости ставит в соответствие ее ортогональное дополнение. 0 Метрика на многообразии Грассмана.
Группа 0(п) компактна и полупроста. Поэтому форма Киллинга на соответствующей алгебре Ли 0(п) отрицательно определена. В силу теоремы 3.13, на многообразии Грассмана определена структура риманова многообразия с инвариантной (относительно сдвигов на элементы 0(п)) метрикой. Тогда 0(п) — группа изометрий многообразия Грассмана, а ЗЦп) — группа преобразований, при которых эта метрика не сохраняется. Грассманово многообразие ориентированных й-плоскостей отождествляется с ЗО(и)/(50(й) х 50(п — й)), неориентированных — с 0(п)/(0(й) х 0(п- й)).
Аналогично определяются многообразия Грассмана над полем С и телом П. Многообразия Грассмана как симметрические ~Ространства. Мы видели, что С„(К") = 0(п)/(0(й) х 0(п — й)) и что 0(п) есть группа движений С„(В"). Рассмотрим точку о = у(е) е е С (И"), где ~р — естественйая проекция на факторпространство. Точке о соответствует некоторая й-мерная плоскость Х.
Ортогональное дополнение этой плоскости есть (и — й)-мерная плоскость 31. Рассмотрим линейную замену переменных в К", которая тождественна на Х и равна ( — 1„„) на Зт. При этой замене переменных элемент 1т переходит в сойряженный, т. е. тт: Ут-+ОР~т, где а =о' =( ). При этом матрица т = ( С ) Е 0(п) перендет в матрицу ( ) А — В'1 „) . Неподвижные точки этого действия (т. е. такие матрицы 1т, что тт Утт = И) — эта блочно-диагональные матрицы, и только они. Множество этих матриц совпадает со стационарной подгруппой К точки е.
Итак, преобразование тт есть иивалютивная изометрия группы 0(п), снабженной инвариантнай метрикой; множество неподвижных точек а совпадает с К. По определению пара (С, К) есть риманова симметрическая пара, н, следовательно, по теореме 3.16 С (й") является симметрическим римановым многообразием. Плюккеровы вложения. Пусть Ит — некоторая й-мерная плоскость пространства К".
В плоскости И' выберем произвольный базис е„..., е„и составим (и х й)-матрицу А, строками которой служат координаты векторов ет в пространстве В". Пусть х — совокупность наборов, состоящих из й элементов множества индексов (1,..., п1. Множество х состоит из з = С„ элементов.
Упорядочим множество х каким-либо способом. Обозначим через ат минор порядка й матрицы А, столбцы которого принадлежат элементу множества х с номером т'. Рассмотрим в-мерный вектор а=(а„..., а,), составленный из всевозможных миноров порядка й матрицы А, расположенных в выбранном порядке. Вектор а называется плюххеровыми хоординатпами плоскости $Р, или, если ясно, а какой плоскости идет речь, плюххеровылг вехтпаром.
Утве ржде ни е 4.2. Плюххеровы хоординатпы определлютп вложение Врс„'-1 грассманова многообразия в праехтпивное простпранстпво равмерностпи ф— 1. А Доказательство. Заметим, что вектор, составленный из плюккеравых координат, определен с точностью до умножения на скалярный множитель. Действительно, выберем в плоскости И' любой другой базис Г"„..., ГА, векторы которого являются линейными комбинациями векторов старого базиса. При этом матрица перехода Г = (тг) невыраждена. Таким образом, А 7'.е,, т'= 1,..., й, т(е1(Щ фО.
т=1 Из этой формулы следует, что каждый из миноров а,, 4 = = 1,..., СС, умножается на один и тот же, не равный нулю, множитель, равный детерминанту матрицы Г. Следовательно, независимо от выбора базиса плоскости Ит ставится в соответствие один и только один вектор однородных координат проективного пространства размерности Сс — 1. Поскольку это отображение задается полиномиальиыми функциями„его гладкость очевидна.
0 Отображение у называется плюххеровым вложениелс. Оно не является сюръективным. Опишем образ плюккерова вложения. Поскольку многообразия С (11") и С„А(К") диффеоморфиы (следствие 4.1), можно 148 ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА 149 4 2 МНОГООБРАЗИЯ ЛАГРАНЖА — ГРАССМАНА считать, что 2й (и. Рассмотрим прямоугольную (2йх и)-матрицу В= ~ 7, у которои первые н последние й строк совпадают с матрицей А. Пусть,7 — некоторое фиксированное подмножество множества индексов (1,..., п7, состоящее из 2й элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
