М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для каждого,7 выпишем некоторое уравнение, которому удовлетворяют точки образа плюккерова вложения у. Пусть Ь вЂ” подмножество множества индексов .7, состоя1цее из й элеыентов. Обозначим через Х дополнение множества Ь относительно 7. Рассмотрим минор порядка 2й матрицы В, у которого номера столбцов попадают в множество 7. Этот минор равен нулю, так как он имеет одинаковые строки. Пользуясь формулой Лапласа, разложим его по первым й строкам: (4.3) где и(Ь) — четность набора Ь. Мы получили квадратичное урав пение относительно координат а,. плюккерова вектора.
Образ плюккерова вложения лежит на пересечении квадрик вида (4.3), соответствующих всем наборам индексов 7, состоящим из 2й элементов. Можно доказать 110, 41, 531, что образ 9т совпадает с этим пересечением. П р и м е р 4.1. При й= 1 многообразие Грассмана С,(К") есть проективное пространство КР"; плюккеровы координаты — это однородные координаты прямой, определяющей точку пространства КР" '; уравнение (4.3) сводится к тождеству. Образ плюккерова вложения есть все КР" П р н м е р 4.2. Рассмотрим многообразие С2(К4). В этом случае число з миноров порядка 2 в (2 х 4)-матрице А равно С4 — — 6. Следовательно, образ плюккерова вложения лежит в пятимерном проективном пространстве с однородными координатами (агю апп аы, агз, а24, а,4), где пара индексов определяет номера столбцов матрицы А. Матрица В есть квадратная (4 х 4)-матрица.
У нее есть только один минор порядка 4, т. е. имеется только одно соотношение типа (4.3), которое имеет вид (4.4) агго — а1за24+ а14агз — О. Если в каждой из плоскостей (апп оз4), (а13 4424) " (а14 азз) повернуть оси на угол к/4, то уравнение (4.4) примет вид х + х2 + хз = х4 + хз + хз, 2 2 2 2 2 2 (4.5) где х,. — новые однородные координаты в пространстве КР(5).
2 Эти координаты можно отнормировать условием 2 хт =2. Тогда уравнение (4.5) превращается в систему х+х+х =1, 2 2 2 х1+х +х =1, 2 2 2 которая соответствует прямому произведению двух двумерных сфер, что находится в полном соответствии с теоремой 2.4. р 2. Многообразна Лагранжа — Грассмана Нам осталось познакомиться еще с одним многообразием типа Грассмана, очень важным для теории экстремальных задач, л4ногообразиел4 Лагранжа — Грасслтана. В этом параграфе мы будем рассматривать линейное пространство Кг, снабженное снмплектической структурой, т. е. невырожденной билинейной кососимметрнческой формой ь4.
В пространстве К " всегда можно выбрать систему координат так, что матрица формы ы имеет вид Группа линейных преобразований, сохраняющих эту симплектическую структуру, есть Вр(п, К) (см. пример 3.5). О п р е де л е н и е. Плоскость 7 С К2", йгп Х, = и, называется лагранжево41, если ю~ = О. Пространство Ь называется изотропны44, если от~А =О. Изотропные плоскости, в отличие от лагранжевых, могут иметь любую размерность, не превосходящую и. ги Определение, Изотропное надпространство4ГСК называется лагранжееоб плосностаьто', если для любого изотропного подпространства р э тт имеем р = к, т.
е. 4à — максимальное изотропное подпространство. ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА Упражнение. Докажите эквивалентность приведенных только что определений. П р и и е р 4.3. Пусть р„..., р„, д„..., д„— базис пространства К2", матрица ог в котором равна,у. Пусть !се Гт(, О< й < < и. Плоскость, порожденная векторами рг,..., р,, ду,..., д. лагранжева, если ни один из индексов з не равен ни одному из индексов ). Так как симплектическое преобразование оставляет инвариантной форму ьг, то образы лагранжевой плоскости при действии 8р(и, К) также являются лагранжевыми плоскостями. Определение. Значение формы ог на паре векторов 2» х, у Е К называется их хосоезсалярньгм произведением.
Мы будем говорить, что два вектора х, у Е К " моеоортиогональны„ если о!(х, у) =О. Пусть 1 — линейное подпространство К™. Через 12 будем обозначать множество векторов, косоортогональных к 1. Упражнение. Докажите, что: а) (!!+ )з) =!",П(~~; б) (1, и!2) =)! + ~; в) б!щ!+б!го 1~=2»; г) (1~) =!. Координаты на многообразии Лагранжа — Грассмана Рассмотрим множество Л(К2") лагранжевых плоскостей в пространстве (К2", а ). Выберем две п-мерные лагранжевы плоскости, которые находятся в общем положении (т. е. они пересекаются только в начале координат). Обозначим их через Уо и У и зафиксируем базисы в этих плоскостях. Пусть И' — произвольная лагранжева плоскость, трансверсальная к У .
Как и для многообразия г с»' С„(К "), координаты плоскости И' определим как элементы матрицы отображения И" = (я. о тгп !). Как и в гл. 2, мы используем одно и то же обозначение И' как для подпространства, так и для его локальных координат. Найдем условия, которым должна удовлетворять матрица Иг, для того, чтобы плоскость И' была лагранжевой. Зафиксируем на К2" евклидову структуру н будем считать, что плоскости Уо и У ортогональны, Имеем (( И*, ),,7 ( У ) ) = О для любых векторов х, у Е Ур, т.
е. (х, И'х) ( ") ( ) =-(И'х,у)+(х, И'у) =О. 4 2. МНОГООБРАЗИЯ ЛАГРАНЖА — ГРАССМАНА Таким образом, матрица И' должна быть симметрической. Полученное условие является необходимым и достаточным для лагранжевостн плоскости Иг. ! Пусть ( ) Е Бр(и, К). Тогда действие этой симплекти- ГА Вт 1с в) ческой матрицы на матрицу Иг при переходе от карты к карте есть обобщенное дробно-линейное преобразование И .(С+Т)И)(А+В)У) (4,6) Итак, Л(К2") — множество всех лагранжевых плоскостей в симплектическом пространстве Кв" — является гладким многообразием, которое называется мноеоооразмем Лааранжа— Гроссмана. Координатами точек этого многообразия в данной карте являются симметрические (их и)-матрицы.
В отличие от многообразия Грассмана С (К2"), размерность которого рав» 2» на и', размерность многообразия Лагранжа — Грассмана Л(К ) равна и(п+ 1)/2. Упражнения. 1, Выведите фсфмулу (4.6). 2. Проверьте, что симметрическая матрица )т' при преобразовании (4.6) переходит в симметрическую. 3. Рассиотрин две различные пары трансверсэльных лагранжевых плоскостей. Докажите, что существует преобразование А е Вр(и, И), которое переводит одну из этих пар в другую. Многообразие Лагранжа — Гроссмана как однородное пространство. Для исследования многообразия Лагранжа — Грассмана удобно использовать комплексное линейное пространство !Г". Вектор (х+ з'у) Е к." можно рассматривать как вектор с координатами (х у) Е К ", а комплексные линейные преобразования 1 2» гг к." — как преобразования вещественного пространства К .
Прн этом комплексной матрице А+ зВ, где А, В Е М„, соответствует / А -Вт (2п х 2и)-матрица ( ), так как г А — В ! !'х'1 (А + зц)(х+ зу) = (Ах — Ву) + з(Ау+ Вх) = ( т . т Если матрица А+ зВ унитарна, т. е. (А+ зВ)(А — зВ ) = 1„, то имеют место равенства ААт+,Ц Цт — 1 АВт — ЦАт (4.7) ГЛАВА А МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА 152 $ К МНОГООБРАЗИЯ ЛАГРАНЖА †ГРАССМА Напомним, что унитарными матприиами называются матрицы, сохраняющие положительно определенную эрмнтову форму на С" Й(г, ю) = ~т г!ю!. т=! Л е м м а 4.1. Преобразование Х й 311(п) унитпарно, если оно принадлежат одновременно 80(2п) и 82п(ть К).
Доказательство. Отождествление С" с К" позволяет рассматривать вектор х=х+1уеС" как2п мерный вектор с вещественными координатами (х, у). Для краткости этот 2п-мерный вектор будет по-прежнему обозначаться через г. Выделим действительную н мнимую части формы Й, рассмотрев ее значение на векторах г = х+ ту, ю = и+ 1и: « и Й(г, ю) = ~ (х + ту«)(и„— тиь) = ~(хьи + у«и )+ ь=! ь=! и +е'Я(у„и„— хьи ) = ((х, у),(и и)) + 1(х, у)Л( ), ь=! илн Й(г, и) = (г, ю) +1ш(г, ю).
(4.8) Итак, мы получили, что действительная часть Ке Й формы Й задает стандартное евклидовое скалярное произведение на пространстве С", рассматриваемом как К ", а мнимая часть 1п! Й определяет снмплектнческую структуру на С". Инвариантность формы Й относительно унитарного преобразования й е 11(п), означает, что это преобразование, рассматриваемое как преобразование К ", сохраняет как Ке Й, так и 1п! Й, т. е. й одновременно и ортогонально, н снмплектично. Для доказательства обратного утверждения остается только проверить, что любое отображение й Е 80(2п) П Вр(п, К) является С-линейным.
Действительно, поскольку й е Вр(пт К), оно коммутнрует с оператором умножения на 2, который соответствует матрице,7. П Произвольное комплексное линейное подпространство пространства С" не является лагранжевой плоскостью. Более того, справедливо следующее утверждение. Утвержден ие 4.3. Лагранжево подпростпранстпво Ь простпранстпва К2 не содержит ни одной комплексной прямой. Доказательство. Предположим противное: существует ненулевой такой вектор а е Ь, что 1а е Ь . Тогда значение Й(1а,а) = 1Й(а,а) есть чисто мнимое число, не равное нулю.
Следовательно, в силу (4.8), «т(ба, а) ф О, что противоречит нзотропности Ь. П Следствие 4.2. Если плоскостпь Ь" лагранжева, тпо ее хомплехсифихат1ия совпадает со всем простпранстпвом К Док аз а тел ь ство, Предположим противное. Если комплексификация Ь не совпадает с К ", то поскольку подпространства А и 1Ь п-мерны, пересечение Ь П 1Ь нетривиально, н, следовательно, г. содержит хотя бы одну комплексную прямую, что противоречит утверждению 4.3 П. Т е о р е м а 4.1. Унитпарная группа Щх) тпранзитпивно дейстпвуетп на множестве лагранжевьих плосхостпей. Доказательство.
Выберем ортонормированный относительно евклидовой метрики в К " базис р„..., р„в лагранжевой плоскости Ь. Поскольку Ь лагранжева, кососкалярные произведения векторов этого базиса равны нулю, н, следовательно, векторы р„..., р„образуют ортонормнрованный базис комплексного пространства С". Пусть теперь Ь„ Ь вЂ” две произвольные лагранжевы плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
