М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(3.21) Обозначим через [А, В] линейную оболочку множества элементов вида [а, Ь], где а Е А, Ь е В. Следующие формулы определяют структуру алгебры Ли 6 х 6, связанную с разложением (3.21): [Я,Я]СЯ, поскольку [(д,д),(Ь, Ь))=([д, Ь],[д, Ь)); [Я,ф] с ф, поскольку [(д,д), (Ь, — Ь)) =([д, й), — [д, Ь]); (3.22) [4), $1) С Я, поскольку [(д, — д), (Ь, -Ь)] = ([д, Ь), [д, Ь)).
О п р е д е л е н и е. Подпространство б пространства 41 называется тпройной системой Ли, если для любых 8„8, а Е б имеет место включение [81 [аг Вз)] кб. Обозначим через ехр б образ подпространства б прн экспоненциальном отображении в Г. Те о ре ма 3.17. Пустпь С вЂ” компактпная полупростал линейная группа Ли, б С 91 — тпроиная систпема Ли. Тогда орбита В тпочки е при дейстпвии ехр б — вполне геодезическое подмногообразие в С. Доказательство. Сначала докажем несколько лемм. Л е м м а 3.8. ггодпростпранство [б, б] алгебры Ли 6 х 6 является псдалгеброй алгебры Ли Я. Доказательство.
В силу формулы (3.22) пространство [б,б] является подпространством подалгебры Я. Пусть Х, У, У, У Е б. В силу тождества Якоби коммутатор элементов [Х, У) н [(7, У] надпространства [б, б) равен ЦХ, У], [(7, У]) =-[У, [[Х, У], 17)]- [(7,[У, [Х, У)]). Поскольку б — тройная система Ли, этот коммутатор принадлежит [б, б]. Лемма доказана. П Лемма 3.9. Подпростпранство з=б+[б, б] является подалгсброй Ли алгебры 6 х 6. Доказательство. Пусть 81 Е б, (1=1,...,6). Тогда [81 + [82у Вз]у 84+ [85, 88)) = = [81 ~ 84) + [81 1 [85~ 85]] + П82, 82]> 84) + [[82) 85), [85~ 85)). Здесь первое слагаемое, очевидно, принадлежит [б, б); второе и третье слагаемые принадлежат б, так как б — тройная система Ли; четвертое слагаемое принадлежит [б, б] в силу леммы 3.8.
Лемма доказана. П Перейдем к доказательству теоремы. Рассмотрим экспоненциальное отображение подалгебры А в группу С х С. Обозначим образ этого отображения (ехр 8[ 8 Е А) через Т. Стационарную подгруппу точки е относительно действия группы Т обозначим через В. Лемма 3.10. Алгебра Ли группы Т/В совпадаеп1 с б. Доказательство.
Элементы группы Т вЂ” это изометрии группы С, которые соответствуют парам (ехр(й, 2), ехр(Ь 2)), (Ь„Ь2) Е б+ [б, б]. Стационарная подгруппа Л точки с определяется условием Екр(й, 2)с ЕХр( — Ь2 2) = с, которое выполняется тогда н только тогда, когда Ь, = Ь2. Следовательно, алгебра Ли Я группы В принадлежит Я. Кроме того, в 4 1, Вполне Геодезические подААНОГООБРАзия 141 14О ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ силу леммы 3.8, 16, Ь1 с Я. Следовательно, алгебра Ли группы Т/Я совпадает с 6.
Лемма доказана. П Поскольку А — диагональная подгруппа в Т, представитель класса смежности пространства Т/К всегда может быть выбран так, чтобы его вторая координата (в группе С х С) была равна единице. Для "этого достаточно домножить обе координаты на элемент группы Т, который является обратным ко второй координате; Из этого замечания и из леммы 3.10 следует, что орбита О точки е при действии ехр(Я) совпадает с орбитой точки е при действии группы Т/Н, а касательное пространство к этой орбите совпадает с проекцией Я на первый сомножитель прямого произведения б х Ф.
По теореме 3.15 однопараметрические подгруппы ехр(ГХ), где Х к (б, являются геодезическими на группе С. Эти геодезические касаются орбиты 8 тогда и только тогда, когда Х Е 6. Но они принаддежат орбите о. Следовательно, многообразие О является геодезическим в точке с. Группа Т/В транзитивно действует на орбите о и переводит ее в себя. Поскольку элементы Т/В являются изометриями, они переводят геодезические в геодезические. Следовательно, орбита О является геодезическим многообразием в каждой своей точке, т.
е. вполне геодезическим подмногообразием, что и требовалось доказать. Теорема доказана. П Замечание. Справедливо и обратное утверждение, которое мы приводим для полноты, в дальнейшем оно нам не понадобится. Теорема 3.18. Если 8 вполне геодезическое подмногообразие группы С, проходящее через гпочку с, тпо его касатпсльнос подпространстпво в то икс е является тройной систслсой Ли. Доказательство см. [52, с. 213, 214).
П У п р а ж и е и и е. Г)усть й' с й". Тогда А-мериме подпрострапстаа, лежа. пгие в й* (и > а > Ь), образуют подмиогообразие Сь(й') миогообразия Сь(й"), Докажите, что ато подмиогообразие вполне геодезическое. Геодезические в факторпростраистве групп Ли.
Напомним основные обозначения и конструкции, связанные с понятием рнмановой симметрической пары (С, К, сг). При этом мы будем использовать общее определение римановой симметрической пары, не предполагая, что группа С является полупростой и компактной. Пусть К вЂ” замкнутая подгруппа группы Ли С, сг — инволютивный азтоморфизм группы С, множеством неподвижных точек которого является К. Отображение ьо — естественная проекция группы С на С/К. Геодезическую симметрию многообразия С/К в точке о = у(с) мы будем обозначать через сг. Пусть (б— алгебра Ли группы С, Я вЂ” алгебра Ли группы К. Дифференциал автоморфизма о в точке с обозначим через в: чз — ь Ф.
Автоморфизм и инзолютивен, поэтому он приводится к диагональному виду и его собственные значения равны +1. Собственное подпространство, отвечающее собственному значению -1, обозначается через 43. Подалгебра Я является собственным подпространством, соответствующим собственному значению +1. При этом Ь= Я9 43. Пространство 4) отождествляется с касательным пространством к факторгруппе С/К в точке у(с). Группа С действует на факторгруппе С/К как группа изометрий. Заметим, что при рассмотрении факторпространств полу- простых компактных групп Ли в качестве касательного пространства к С/К мы выбирали ортогональное дополнение к подалгебре Я относительно формы Кнллинга в алгебре Ли 6.
В силу невырожденности и положительной определенности формы Киллинга на полупростой компактной группе С оба описанных способа выбора представителей касательного пространства С/К дают одно и то же надпространство группы С, поскольку собственное подпростраиство, отвечающее собственному значению — 1 автоморфизма а, является ортогональным дополнением к Я. Разложение элемента Х е Ь на составляющие, соответствующие слагаемым Я и 43 в прямой сумме Э = Я® ф, можно задать явной формулой Х = — (Х + ЗХ) + — (Х вЂ” аХ). 1 1 2 2 (3.23) Действительно, легко проверить, что в формуле (3.23) слагаемое Х + аХ есть собственный вектор а с собственным значением +1, т. е.
элемент подалгебры Я, а слагаемое Х вЂ” аХ вЂ” собственный вектор а с собственным значением — 1, т. е. элемент подпространства г(3, Теорема 3.19. Пусгпь Х к г(3. Тогда геодезическая 'у(Г) многообразия С/К, проходящая через гпочку о = ~р(с) и касающаяся всктпора Х, задается формулой у(г) = р(ехр(сХ)), с к Ж. (3.24) ГЛЬВХ З.
ГРГППЫ И АЛГКЗ Ы Лн Тгг — О'г О во. ГЛАВА 4 МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА Т,=ехр(Я) л ~6. (3.2б) До к а за тел ьс та о. Геодезическую симметрию многообразия С/К в точке 7(Ф) обозначим через аг Рассмотрим трансвекцию (см. З б) многообразия С/К вдоль геодезической зс Прн этой трансвекции геодезическая у переходит в себя, и, следовательно, ~вТ,(о) = 'у(г). (3.25) Лемма 3.11. Отобразгение Ф~-> Т, является однопараметричесиой подгруппой труппы С. Действительно, симметрия оо переводит у(в) в у( — в); а симметрия гг, переводит т( — в) в у(24+в), Поэтому Т, о Тм, т(в)ь~ 7(2т+24+ в), В то же время действие Т, +, на т(в) приводит точно к тому же результату, Следовательно, Т, — однопараметрическая подгруппа группы изометрий многообразия С/К.
Поскольку группа изометрий многообразия С/К отождествляется с левым действием группы С на многообразии С/К, группа Т, является однопараметрической подгруппой группы С, Лемма доказана. 0 Таким образом, по теореме 3.15 Так как прн изометрин гг группы С вектор Я переходит в вектор -Я, то мы можем утверждать, что вектор Я принадлежит 41. В силу формул (3.25), (3.26) касательная к геодезической 7 в точке е равна у,(2'), а по условию теоремы она равна ц~,(Х). Но оба вектора, как Х, так и В, лежат в г41, поэтому Х = В. Теорема доказана.
О Группа С действует на С/К как группа изометрий, поэтому геодезические, проходящие через точку <р(д) е С/К, имеют вид ду(ехр(йХ)). По тем же соображениям вполне геодезические подмногообразия многообразия С/К имеют вид д<р(8), где э" — вполне геодезическое подмногообразие группы С, проходящее через точку е. В гл. 2 было показано, что уравнение Риккати определяет поток на многообразии Грассмана С„(~В").
Здесь мы изучим более общее многообразие Грассмана — многообразие й-мерных подпространств и-мерного евклидова пространства Ж", которое обозначается через С~(Ж"). р 1. Трн подхода к описанию многообразий Грассмана Локальные координаты на многообразии Грвссмвна, На многообразии С„(К") построим некоторую карту Я. Для этого рассмотрим пару трансверсальных плоскостей: одна из них— Й-мерная плоскость 7', которая называется горизонтальной, а другая — (и — Й)-мерная плоскость г, которая называется всртигваяьпой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
