М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Это дает возможность применить утверждение 2 и доказать по индукции, что образы всех чисел вида т/2" на однопараметрическей подгруппе Я(г) лежат на геодезической 7. В силу непрерывности как геодезической, так и однопараметрической подгруппы имеем Я(г) ~ т при всех значениях Е. Обрзтное утверждение следует из того, что по каждому направлению в точке е проходит только одна геодезическая и только одна однопараметрическая подгруппа. (з В силу того, что левые и правые сдвиги являются изометриями, Все остальные геодезические получаются сдвигами геодезических, проходящих через точку е. Симметрические пространства были введены и изучены тз4 ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ 5 6. ОДНОРОЛНЫЕ И СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ГЗЗ Э. Картаном. Он также дал нх классификацию [52, 22, 8).
При этом оказалось, что все симметрические пространства — это некот»грые специальные однородные пространства, к описанию которых мы приступаем. Определение. Пусть С вЂ” группа Ли, а К вЂ” подгруппа С Пара (С, К) называется романовой симметричесхой если группа С связна, подгруппа К замкнута, и существует инволютнвный автоморфнзм о группы С, множество неподвижных точек которого совпгдает с К. Множество неподвижных точек автоморфизма о будем обозначать через С . Поясним определение.
Его смысл состоит в том, что а есть «отражение в подмногообразии К». После факторизации по подгруппе К автоморфизм а переходит в «отражение в точке». Действительно, из того, что С = К, следует, что а можно редуцировать до отображения а". С/К-+ С/К. А именно, положим а(дК) =- о (д)К (3.20) Так как о(дй) = ГГ(д)а(х) = а(д)х, то корректность (3.20) следует из того, что отображение а принимает значения, лежащие в одном и том же классе смежности Гт(д)К, на всех элементах класса смежности дК.
3 а м е ч а и и е. Обычно римановой симметрической парой называют такую пару (С, К), что множество 6 «почти совпадает» с К, а именно компонента единицы группы К содержится в С, а само С содержится в К, т. е. Ко С С С К, где Ко— компонента единицы. В данной книге мы ограничимся приведенным выше, более простым определением. Кроме того, для простоты мы ограничимся пока рассмотрением полупростых компактных групп Ли. Пусть <р: С вЂ” » С/К вЂ” естественная проекция. Теорема 3.16.
Пустпь а есть инаолютивный автоморфизм группы С, при хотором эал«х»«утая подгруппа К остаетсл неподвизгной. 2'огда 4ахтормиогообразие С/К есть симметричесхое пространство, а отобраагеиие о естпь его инволютпивнол иэометрия в точхе о= у(е). До к а з а тел ь с тв о. Инволютивность а есть непосредственное следствне инволютивностн Гт. Пусть о является образом единицы е прн естественной проекции С на С/К.
Покажем, что о — изолированная неподвижная точка отображения Гт. Формула (3.20) означает, что для любого элемента д, Е С существует такой элемент й(д,) 6 К, что о(д,) = д, Й(д,). Если Й(д,) = е, то в силу того, что а(д, й) = = а(д,)а(х) = д, й, весь класс смежности д,К состоит из неподвижных элементов.
Поэтому в достаточно малой окрестности класса К не может существовать класс, содержащий такой элемент д„что л(д,) = е, так как это противоречнло бы тому, что С =К. С другой стороны, из того, что о. есть автоморфнзм, следует, что о 2(д,) = а(д, й(д,)) = д й(д,)2. В силу инволютнвности о' (д,) = д,. Следовательно й(д,) = е. В силу леммы 3.6 точка е есть изолированное решение уравнения й = е. 2 Если существует неподвижный относительно т класс смежности, сколь угодно блнзкии к классу К, для которого й(д,) нигде не обращается в е, то это противоречит непрерывности отображения а. Для того чтобы показать, что сг есть изометрия, напомним, что на однородном пространстве С/К определена риманова метрика, инвариантная относительно действия группы С, которая является продолжением ограничения формы Киллинга (взятой со знаком минус) на подпространство )) (см.
$6). Автоморфизм о оставляет инвариантным как само подпространство ~3 и его сдвиги ф~, так и ограничение формы Кнллинга на ннх. Это н означает, что <т есть изометрня. Гэ Для того чтобы понять, какие факторпространства групп Ли являются симметрическими пространствами, нам будут полезны инфннитезнмальные характеристики таких факторпространств, т.
е. Нх характеризацня в терминах алгебр Ли. Пусть (С, К) — риманова симметрическая пара, С вЂ” полу- простая компактная группа Ли и о — инволютивный автоморфизм группы С, множество неподвижных точек которого совпадает с К. Обозначим дифференциал отображения о: С- С в единице через з = а,~,. Отображение з тождественно на Я вЂ” алгебре Ли группы К. Рассмотрим, как и прежде, ф =Яà — ортогональное дополнение к 22 относительно формы Киллннга. На этом подпространстве з(Х) = — Х. Тогда если х есть дифференциал естест- глАВА к Гртппы и Алгевры ли 137 э т. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ венной проекции оо: С - С7'К, то Кег(я) = Я. Поэтому тт есть изоморфизм А) на Т,С7К.
Эта конструкция приводит нас к следующему определению. Определение. Ортпогональной алгеброй Ли с инволхтцией называется такая пара (Ь, з), что: 1) !б — полупростая, компактная алгебра Ли; 2) з — инволютнвный автоморфизм алгебры !б; 3) множество неподвижных точек отображения з образует подалгебру алгебры !б. Пусть К вЂ” замкнутая подгруппа полупростой компактной группы Ли С и Я вЂ” соответствующая подалгебра алгебры !б. Пусть и — автоморфизм чт, удовлетворяющий условиям 1) — 3), т. е. автоморфнзм, превращающий б в ортогональную алгебру Ли с инволюцией, с множеством неподвижных точек Я. Поднимем в до автоморфизма ст группы С следующим образом.
Пусть б'(е) с С вЂ” окрестность точки е, на которой отображение Ехр взаимно однозначно. Пусть д е 0'(е) и у(г) — геодезическая, удовлетворяющая условиям 7(0) = е, 7(1) = д. Обозначим через Г касательный вектор к этой геодезической в точке е. Подействуем на вектор Г отображением з. Проведем через в(Г) геодезическую, которую будем обозначать через з( 7)(г).
Поставим в соответствие точке д точку о(д) = з( 7)(1). Утверждение 3.4. Если (!б,з) — ортпогональнол алгебра Ли с инвалют!ией, тпо (С, К) образуютп силелеетпричесхую рилеанову пару. Доказательство. Если д6Х, то геодезическая 7(т) принадлежит К. Следовательно, ГЕ Я. По свойству 3) имеем з(Г) = Г и, следовательно, ст(д) = д. Это означает, что К с С . Обратно, если о(д) = д, то в силу однозначности экспоненциального отображения а(Г)=Г.
Следовательно, Г ~ Я, и, значит, дЕК. С! Замечание. Ортогональная алгебра Ли с инволюцией однозначно определяет универсальное накрытие симметрического пространства С/К. Определение универсального накрытия и доказательство сформулированного утверждения см. в [57]. у 7. Вполне геадезпческпе подмногообразпя Определение. Подмногообразие ттГ риманова многообразия М называется геодезичесхиле в тпочхе х й 11Г, если геодезические объемлющего многообразия М, проходящие через точку х н касающиеся Ф в этой точке, принадлежат ттГ.
Подмногообразие 1!7 с М называется вполне геодезичесхим, если оно является геодезическим в каждой своей точке. 3 а м е ч а н и е, Приведем эквивалентное определение: подмногообразие ЛГ С М называется вполне гводезичесхиле, если любая геодезическая многообразия 1!7 (относительно метрики, индуцированной на 1т' метрикой объемлющего многообразия М) является в то же время геодезической объемлющего многообразия М. У и р а ж и е н и е. Докажите эквивалентность этик определеннгь П р и м е р 3.17.
Аффинные подпространства евклидова пространства Ж" (и только оии) являются вполне геодезическими ВПЬ Пример 3.18. Для стандартной п-мерной сферы О"= т «.~. ! = ~ 2, х,'. = 1 вполне геодезическими подмногообразиями слуа=! жат сечения О" плоскостями (произвольной размерности), проходящими через начало координат. В общих римановых многообразиях вполне геодезические подмногообразия — относительно редкое явление, связанное, как правило, с наличием той или иной симметрии у рассматриваемого многообразия. Однако у однородных и симметрических пространств (симметрия которых заложена в самом их определении), имеется большой набор вполне геодезических подмногообразий. Теория групп Ли предоставляет аппарат для эффективного описания вполне геодезических подмногообразий.
Изоыетрпп группы Лп. Пусть С вЂ” компактная полупростая линейная группа Ли, !б — ее алгебра Лн. Форма Киллинга на алгебре Ли 6 определяет на С двусторонне инвариантную риманову метрику. Это означает, что как левое, так и правое умножение на элементы группы Ли С являются изометриями многоОбразия С.
Следовательно, прямое произведение групп Р = С х х С есть подгруппа группы изометрий многообразия С. Действие элемента а = (а„а ) е Р на многообразии С удобно записывать следующим образом: а: д !-+ а, даг !. 138 ГЛАВА 3. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ 5 7. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДЫНОГООБРАЗИЯ Показатель степени — 1 выбран в этой формуле для того, чтобы действие г на многообразии С было представлением группы С х С с обычным (покомпоиентным) законом перемножения: аЬ=(а,Ь„азЬЕ). Действительно, композицяя отображений ао Ь имеет вия ас Ь: д 1-+ а1Ь1д (Ь ) 1(а ) 1 =(а Ь )д(о Ь ) т. е. отвечает действию на элемент д произведения аЬ. Л е м м а 3.7.
Стпат4ионарт4ая подгрутьпа К точки е к С есть диагональ группь1 С х С, доказательство. а,са21 — — е тогда н только тогда, ко- Гда а, = аз. П С л е д с т в н е 3.2. Факторгруппа г'/К изоморфна С. Алгебра Ли группы С х С есть 6 х 6; алгебра Ли Я груп- пы .К вЂ” диагонально вложенная подапгебра алгебры Ли 6 х 6, т. е. множество пар вида (д, д), где д Е 6. Если  — форма Кил- линга на 6, то форма Киллинга на г задается равенством В((д„д)(Ь„Ь ))=В(д,, Ь,)+В(д, Ь ). Поэтому ортогональное дополнение 4) к диагонали Я есть под- пространство 41= (д, — д), где д Е 6. Следовательно, имеет место разложение 6 х 6=Я®ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
