М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Выберем ортонормнрованные базисы в каждой нз этих пл оскостей. Унитарное преобразование, которое переводит один из этих базисов в другой, переведет лагранжеву плоскость в лагранжеву плоскость Т,з. П С л е д с т в и е 4.3. Симплехтичесхая группа транзитпивно действует на множестпве лагранжевых плоскостей. Доказательство следует из того, что симплектическая группа содержит группу унитарных преобразований в качестве подгруппы. о У Рассмотрим действительное и-мерное подпространство пространства С", состоящее нз таких векторов г = х + 1у, для которых у= О.
Плоскость У лагранжева. В самом деле, рассмо- У трим два вектора: г = х+1у, ю= и+ !и. Поскольку х, ю е имеем у=и=О. Тогда в ю(з ю) = ~~) (у и — хьиь) =О. ь=! ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА 154 155 $2. МНОГООБРАЗИЯ ЛАГРАЮКА — ГРАССМАНА Теперь рассмотрим многообразие ориентированных лагранжевых плоскостей Л+(К "). Унитарная группа транзитивно действует на множестве лагранжевых плоскостей.
Стационарная подгруппа плоскости )Г состоит из таких унитарных преобразований й(, которые оставляют 1Г неподвижной и не меняют ее ориентации. Такие преобразования имеют вид й( = ( О ), где ГА 0~ А Е 30(н). Так как (О А)(-10)(О А') (-А О)(О А') (-10) то й Е Зр(я, 1к).
Следовательно, Л+(та(2а) 11( )/30( ) Точно так же легко получить, что многообразие неориентированных лагранжевых плоскостей является однородным пространством Л(Ж~") = 11(н)/ 0(н). Таким образом в многообразии лагранжевых плоскостей введена структура вещественно-аналитического многообразия. Группа 11(и) не является полупростой. Тем не менее, многообразие Лагранжа — Грассмана Л(О) = 11(н)/0(н) является римановым.
Этот факт вытекает из условия компактности образа ортогональной подгруппы при присоединенном представлении унитарной группы, т. е. подгруппы Ад„<„1 0(н). Действительно, в том случае, когда йа пространстве (в данном случае на алгебре Ли 11(н)/Ат(н)) действует компактная группа (в данном случае Адщ 10(н)), по лемме 3.4 на этом пространстве можно построить положительно определенную квадратичную форму В, инвариантную относительно действия этой группы.
На многообразии Л(п) = 11(п)/0(н) можно построить левоинвариантиую метрику при помощи действия группы Щп). Эта метрика определяется формой В на касательном пространства в точке е и продолжается на все многообразие с помощью левых сдвигов. Тем самым Л(н) превращается в риманово многообразие, иа котором группа (1(н) действует как подгруппа группы изометрий.
Другое доказательство того факта, что Л(н) является рима- новым многообразием можно получить при помощи теории ал- гебр Лн. А именно, утверждение 3.4 остается верным и при следующем, более общем определении ортогональной алгебры Ли с инволюцией. 0 предел е н не. Ортогональной алгеброй Лм с ннволют4таей называется такая пара (6, в), что: !) б — алгебра Ли над й; 2) в — ннволютивный автоморфизм алгебры Ф; 3) Л вЂ” множество неподвижных точек автоморфизма, ив компактная подалгебра алгебры б; 4) атг1 Ь = (0), где 5 — центр алгебры 1б. При таком определении из утверждения 4.2 следует, что многообразие Л является римановым симметрическим пространством. Заметим, что алгебра Ли группы 11(та) состоит из косоэрмиГа — Ь~ товых матриц ( ), т.
е. матриц, удовлетворяющих соотноа) шению (а+ тЬ) = — а+ т'Ь, что означает а = — а, Ь = Ь. т т т Пусть и — подалгебра Ли матриц вида ( ), где а = — а. Га От т тО а)' а ГО -Ь'1 Упражнение. Докажите, что 51=Я аадаетеи матрицами ( где Ь =Ь. т 1Ь 0)' Тем самым касательное пространство к многообразию Л(Ж ") в точке о = от(е) отождествляется с пространством симметрических (н х н)-матриц Ь, которые определяют матрицы (О -Ь1 т ), где Ь = Ь. Соответствующие однопараметрические Ь 0)' подгруппы суть ехр ( Г 0 — ЬЬт Многообразие Л(Ь~~") как симметрическое пространство.
Поскольку Л(К~") = 11(п)/ 0(н), элементы этого простран- Г А — В'т ства представляются унитарными матрицами вида ( 1), где А и  — такие матрицы, что, в силу (4.7) выполнено АА + +ВВГ=1 АВ =В4т Рассмотрим матрицу во — — ( " ). Очевидно, что во = в„. Г1„0 т -! о ~О -1). е Рассмотрим преобразование а: Ц(н)/ 0(тт) — > 1)(н)/ 0(н), о'(й) = воЮо. ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА Это преобразование переводит унитарные матрицы в унитарные. Легко проверить, что ап(у) ( у) лп (В А) о=( В А) т. е. оператор л действует как комплексное сопряжение. у и р а ж н е н н е. докюкнте, что отображение а есть ииволютивная наонетрия н неподвижные точки о в точности совпадают со стационарной подгруппой плоскости У. % 3.
УРАВНЕНИИ РИККАТИ КАК ПОТОК НА МНОГООБРАЗИИ 0„(Н ") 157 До каза тел ь ств о. Действительно, композиция преобразовании (вА-' !)(о х)) (в и) дает любую блочную нижнетреугольную матрицу. Композиция ( О !)(А О)( 0 !) ( — Х) В) 9 3. Уравнение Рникати как поток на многообразии С„(ак ") Как было показано в $3 гл. 2, уравнение Риккати можно рассматривать как уравнение, описывающее эволюцию и-мерных линейных подпростраиств при действии на них потока симплектических преобразований, порожденного канонической системой обыкновенных дифференциальных уравнений Ь= — А 'С А+А 'р, Р=(в — СА 'С")й+СА 'р. Уравнение Риккати имеет вид Ф = — В+(С+ И')А '(С + ИГ), (4.9) где А = А, В = В.
Так как уравнение (4.9) описывает эволюцию (пх фматриц, тем самым оно действует на карте многообразия С„(К "). Покажем, что уравнение (4.9) определяет векторное поле на всем многообразии Грассмана. Для этого выясним, что происходит с уравнением (4.9) при переходе к другой карте. Опишем действие преобразований группы 8Е(2п, 1к) на многообразии С„(Изи). Утве ржде н ие 4.4, Группа Я.(244) порозсдаетпсяследуют44ими образуют44имьс (в !)' (о А) ( ! о) где 41е1 А = бе1 Р+ О. дает любую блочную верхнетреугольную матрицу. Наконец, любой элемент ( ) е5!.(2п), для которого ГА В~ ~с и) пе1 А ~0, можно получить, рассмотрев композицию (СА ' ХМ вЂ” СА 'ВА) (О А ') (С Х1)' Здесь 41е1(ХГА- СА 'ВА) = 1, так как произведение детерминантов равно детерминанту произведения.
Сведение общего случая к случаю 4!е1 А ф 0 осуществляется следующим образом. Если Г)Г А = г, то, выполняя преобразование (О )У) (С Ху)=(С' ХУ') мы получаем А = ( " ) где 1 — единичная матрица поряд- 4 /1 От ~о о) ГС С~ Если С' = ( 1 г) — соответствующее разбиение на блоСз С4 ки матрицы С', то ранг матрицы ( г 1 равен и — г, иначе матрица ("' ) ~! была бы вырождена. С' ХУ) Рассмотрим произведение (О !)("' ~)=(" Та) где о" = ( ) и все строки матрицы Л одинаковы. Тогда го Ок (л !) 4+ т ГЛАВА 4. МНОГООЗРАЗИЯ ГРАССМАНА В матрице С4+ЛСЕ к строкам матрицы С4 прибавляются ли- нейные комбинации строк С,.
Поэтому Л можно выбрать так, что г14(С4 + ЛСг) = и — г. Это обеспечивает выполнение условия бе1 А" Ф О. П Легко видеть, что указанные образующие соответствуют следующим обобщенным дробно-линейным преобразованиям: Р~-~Р+ В, Р т — т АР 0, 4(е1 А = бе1.0 ~ О; Рт -Р 1, 41еТР~О. Преобразования двух первых типов не меняют квадратично- го характера правой части уравнения (4.9), более того, они не выводят за пределы рассматриваемой карты. Рассмотрим преобразование третьего типа.
При замене И" ' = -Я уравнение (4.9) перейдет в уравнение Я = И' 'ФИ' ' = И' '( — В+ (С+ И')А '(С + И')1Ит ' = Я(СА — С В)Я УСА-~ А-1 СтЯ + А Но это снова уравнение типа (4.9), записанное в карте, со- держащей точки, которые были бесконечно удаленными для ис- ходной карты. Поскольку правая часть уравнения (4.9) непре- рывна во всех точках новой карты, векторное поле, определяемое правой частью, может теперь рассматриваться как определенное и непрерывное на всем замкнутом многообразии С„(К "). В результате мы получаем возможность рассматривать урав- нение (4.9) как уравнение на С,(й~") х В, Напомним, что в $2 гл. 2 было показано, что если матрица Ит(0) симметрична, то Ит(с) И г(1) т.
е. многообразие лагранжевых плоскостей есть интеграль- ное многообразие (в С„(Ж~")) для уравнения Риккати. Тем са- мым уравнение (4.9) задает поток на многообразии Лагранжа— Грассмана. $4. СИСТЕМЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ 159 9 4. Системы, ассоциированные с линейной системой дифференциальных уравнений В дальнейшем прн исследовании уравнения Риккати мы будем использовать некоторые применения теории представлений к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Данный параграф посвящен изложению одного метода, который, несмотря на свою простоту и полезность, обычно выпадает из поля зрения прн изложении теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим матричную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4АО) Х =А(г)Х, где Х вЂ” неизвестная (и х и)-матрица; матрица коэффициентов А(г) непрерывна на интервале (а, Ь) — области изменения независимой переменной г. Обозначим через Х(т, Хш 1е) решение задачи Коши для системы (4.10) с начальными данными Х(гз) = =Хе, где ген(а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
