М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При подходящем выборе системы координат можно считать, что любая данная х-плоскость имеет матричную координату, равную нулю. Тогда условие изоклиничности двух плоскостей сводится к условию изоклиничности некоторой плоскости с плоскостью О. Ут в е р ж де н н е 5.4. Условие изоклиничности плоскости Р с плоскостью 0 выражается равенством Р Р=орр1„, ттррбй. (5.19) Для доказательства достаточно применить формулу (5.4).
Следствие 5.1. Если плоскость Р изоклинична с нулевой плоскостью и Р 7» О, то матрит»а Р невырождена. Очевидно, что отношение изоклиничности является симметричным и рефлексивным. Однако оно не является транзитивным. Нетрудно привести пример двух матриц, Р и Я, которые удовлетворяют уравнению (5.19) (что означает изоклиничность с нулевой плоскостью) и не удовлетворяют условию (5.4) (т. е.
плоскости Р и Я не изоклиничны друг с другом). Далее нас будут интересовать такие семейства плоскостей, в которых любая пара плоскостей изоклинична друг с другом. Л е м м а 5.5. Множестпво Ф, состоячцее из п-плосхостпей в пространстпве К и содержаи»ее нулевую плоскость, состпоит из взаимно изохлиничньтх плоскостей в тола и тполько том случае, когда для любой плоскостпи Р ч Ф выполнено равенстпво (5.19) и для любою пары п.лоскостей Р, Я ЕФ выполнены равенства Я~Р+Р Я=2ор 1„, игр, ЕК. (5.20) Доказательство. Равенство (5.19) доказано выше. Если равенства Р Р = орр 1„и Ч 0 = а 1„подставить в уравнение (5.4), мы без труда получим (5.20). П О п р е де л е н и е. Множество изоклиничных и-плоскостей называется максимальным, если оно не является собственным подмножеством большего множества взаимно изоклиничных плоскостеи.
Л е м м а 5.6. Координаты любого максимального Ь множества взаимно изохлиничных и-плосхостпеи в Ж, содержаи»его нулевую плоскость, образуютп линейное подпростпранство простаранстпва (и х п)-матриц. Доказательство. Выберем в множестве Ф максимальный набор линейно независимых матриц Ао, А„..., А . Рассмотрим линейную оболочку этого набора матриц 5рап(Ао, А„...
..., А ), которая совпадает с линейной оболочкой множества Ф. ПУсть В, С Е ЯРап Ф, т. е. В = 1; ЬтАО С = ~', с А . Составим =о А=о 178 179 В +Вт=о, (5.23) (5.21) ~о в~ Гллм з. мкп ичное двойное Отношение для этих матриц выражения (5.19) и (5.20): В В ~~, ЬЬ(АтА +А~А ) ств 1 втс ~~1 с.Ь.(4ГА +АГА ) 1 +~ Ь с,(АГА,+А,А ). Матрицы Ат удовлетворяют условиям (5.19), (5.20). В правой части (5.21) стоят единичные матрицы.
Следовательно, линейная оболочка любого множества взаимно изоклиничных и-плоскостей в Жг", содержащего нулевую плоскость, сама состоит из взаимно изоклиничных п-плоскостей. П Определение. Два множества плоскостей, Ф и Ф, в пространстве Ж называются конгруэнтпными, если существует ортогональное преобразование д е 0(тп), которое переводит множество Ф в множество Ф. Т е о р е м а 5.2 (Ван Я.
Ч.). Пуспть Ф вЂ” максимальное мнозсестпво взаимно изохлиничных п-плоскостпей в Ж Тогда Ф хонгруэнтано мнозсестиву Ф = марап(1„, В„..., В ), где дейстпвитаельные (пх и)-матприцы В,..., В образуютп максимальное дейстпвитпельное решение уравнений Гурвица. До к аз атель ство. Введем на линейном пространстве Ф евклидову структуру, полагая (А, В) = а в (см. формулу (5.20)). Определенное таким образом скалярное произведение, очевидно, билинейио и симметрично; при этом при А ФО скалярный квадрат (А, А) = сг~~ — — АА строго положителен в силу утверждения 5А. Применив процесс ортогонализации, перейдем от базиса А, к базису В,, удовлетворяющему соотношениям В,'.Вт = 1ю В,'.Вт+ В,'.В,. =0 (5.22) при 4 Ф 7', О < 4 < о, 0 ( т' ( о.
Так как РУг~о — — 1„, то в силу теоремы 5.1 существует ортогональное преобразование д, которое переводит пару плоскостей Ае,о в пару 1„,0. В силу лемм 5.5 и 5.5 в подпространстве Ф= = д(Ф) существует базис 1„, В„..., В,, удовлетворяющий уравнениям (5.19), (5.20), которые, как только что было показано, сводятся к (5.22). $ З.ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ Подставив в выражения (5.22) 4 = О, получаем т.
е. матрицы Вт кососимметрические. Подставив формулу (5.23) в (5.22), получаем остальные уравнения Гурвица. Полученное ре- шение уравнений Гурвица максимально, ибо в противном случае множество плоскостей ие было бы максимальным. П Т е о р е м а 5.3 (Дж. Вольф). Максилтальное множеставо Ф взаимно изоклиничных п-плоскостпей в Жг" образуетп вполне геодезическое подмногообразие, многообразия Грассмана С„(Ж "). Всякое связное вполне геодезическое подмногообразие два любых элементов хотпорого (рассматприваемые ках подпростиранстива Ж" ) тпрансверсальны друг другу, состпоитп из попарно изоклиничных плосхостпей.
Доказательство. Каждой матрице Вт построенного в теореме 5.2 базиса, поставим в соответствие элемент алгебры Ли ортогональной группы 0(2п) (напомним, что матрица В, кососимметрическая). Набору Ф взаимно изоклиничных плоскостей сопоставим подпростраиство р С 2з(2п) с базисом В1 Напомним, что С„(Ж~") = 0(2п)/(0(п) х 0(п)). Непосредственной выкладкой (которую мы оставляем читателю в качестве упражнения) легко проверить, что надпространство <р ортогонально (в смысле формы Киллинга) алгебре Ли стабилизатора точки е, т.
е. подалгебре 1".1(п) х О(п), и поэтому его можно рассматривать как надпространство касательного пространства к ~ (Жы) Произвольный элемент множества 92 имеет вид В = 2; агвт 1=1 При вычислении экспоненциального отображения мы можем 2 считать, что ~', а,. = 1. Тогда из уравнений Гурвица следует, что 1 Я~ = — 1„. Разлагая в ряд и используя полученное равенство, легко показать, что ехр(В г) = (соз г) 1„+(з!и г) В, т. е.
ехр ~р = Ф. ГЛАВА 3. ИАтРичнОе ЛВОЙНОе ОтнОшение 2 4. КРИВЫЕ СО СКАЛЯРНЫМ ДВОЙНЫМ ОТНОШЕНИЕМ 181 Подпространство р с О(2п) является тройной системой Ли. Действительно, имеем О ЦВ«, ВУ], В„]~ »»"] "»= (»;,.У]Л» Используя равенства (5.7), нетрудно убедиться, что в том случае, когда все трн индекса 4', т, Уг различны, выполнено равенство ЦВ1, Ву], Вь] = О, а в том случае, когда среди них есть совпадающие, рассматриваемый коммутатор равен либо нулю, либо одной из матриц 4В, Следовательно, множество Ф является вполне геодезическим многообразием.
Доказательство обратного утверждения см. в 1120, с. 431]. П ф 4. Кривые со скалярным двойным отношением Для данных трех точек У;, Рг, Рз й С„(К~") рассмотрим множество точек Р й С„(Ж~"), находящихся в скалярном двойном отношении с точкамй Р„Р2, Р ( -Р1)( -Рг)-'(Рз — Рг)(Рз Р,) '=о1„. (5.24) Это множество параметризуется одним скалярным параметром о и будет называться кривой со скаллрнь«м двойным отношением. Выпишем уравнение этой кривой; (1' — Р1)= (Рз-Р1)(Рз-Рг) '(Р-Рг) Разрешая это уравнение относительно Р, получаем »1«о(~з Р1)(Рз Р2) ] ((11 12)+ + 11 о(Рз Р1)(Рз Рг) ]Рг) = 11„— о(Рз Р1)(Рз Рг) ] '(Р1 — Рг) + Р Окончательно, Р=.УР,„,~ (сг)= = ](Р1 Рг) о(Р1 Рг) (Рз Р,)(Рз — Рг) '] ' + Рг. (5.25) Следующая лемма поясняет термин «кривые со скалярным двойным отношением«.
Л ем ив 5.7. Любые четыре «почки кривой .У,„~~(о) находятсл в скалярном двойном огпношении. Доказательство. Обозначим (Р, — Уг) '=А, Р =С, (Р— Р,) '(Р— У',)(Рз — Рг) ' = В. Тогда уравнение (5.25) запишется в виде Р=(А+ОВ) '+ С. (5.26) Рассмотрим четыре произвольных точки Я« = (А+ о«В) '+ + С кривой (5.26), отвечающие значениям параметра о1 г ог, оз, о« (о1 ф 4~ ггг т оз).
ТОГда УУ)~(4А %'4~2 1«)4) = =»(А+озВ) 1 (А+гг1В) 1Ц(А+озВ) 1 (А+огВ) '] ' х х»(А+о«В) — (А+ сггВ) 'И(А+ о«В) ' — (А+ о,В) '] ' = =(А+ о1В) ~»(о1 ггз)В](А+озВ) (А+ ггзВ) х х [(ог — оз)В] '(А+ огВ)(А+ огВ) иаг — о4)В] х х (А+ о«В) '(А+ о4В)»(о1 — о4)В] '(А+ о,В) = (о1г 1121 озг о«) 1« ' В результате мы получили, что 01У(Я„Щ Яз, (~) свелось к двойному отношению четырех чисел: О'У(чг1 Ф '42 ~4) (оз гг1)(оз ог) (о« ог)("4 '"1) =ПЧо1,ог;оз, ). И Утверждение 5.5. Если кривая.УР (о) посгпроена Р~ Щ) по «прем попарно изоклини Чным гпочкам Р1, Рг, Рз Е С„(111 "), гпо любые две ее точка изоклиничны. Доказательство. В силу леммы 5.7 любую точку рассматриваемой кривой можно принять за Р.
Поэтому достаточно доказать, что любая точка кривой .Ур, (о.) изоклиннчна Рг. Ргн«Р« Выберем систему координат таким образом, что Р = О. Тогда выражение (5.25) имеет внд Р=»(~ — )Р + ~ ]-' з А кривые со скалягным двойным отношением 183 глАВА а мАтРичнОе дВОЙКОе ОтнОшение 182 Используя (5.4), замечаем, что изоклиничность Р, и 0 эквивалентна условию РтР, = А 1„, Л ЕК', изоклиничность Рз и 0— условию РзтРз = р 1„, р Е К1, поэтому условие изоклиничности Р, и Рз записывается в виде Р, Рз+ Рз Р, = и1„, о е К'.
Нам надо доказать, что Р Р = /с 1„, хе К'. Переходя в этом равенстве к обратной матрице, имеем [(1 о)(Р1 ) + о(Рз ) ] [(1 о)(Р1) + о(Рз) ] =(Р ) [(1 — ~)Р~ +~Р'](Р, ) (РГ'[(1 — )Рз+ Р]Р, =(Рт) [(1 — ~) Рз'Р+~(1 — ~)(Р~Р+Р, Р)+тт~Р~Р] Р, ~ = й1„, что и требовалось доказать. П Свойство кривых со скалярным двойным отношением, описанное в двух дальнейших утверждениях, аналогично следующему свойству окружностей евклидова пространства К": если три точки окружности принадлежат некоторой плоскости в К", то и вся окружность принадлежит этой плоскости.
Роль плоскостей в грассмановом многообразии играют при этом вполне геодезические подмногообразия грассманова многообразия С„(К~"). Ут ве р ж де н не 5.6. Геодезичесхая линия С„(К~"), состпоятцая из попарно изоклиничных тпочех, является хривой со схалярным двойным отпноитением. Доказательство. Любая геодезическая, состоящая из попарно нзоклиннчных точек, может быть получена с помощью следующей конструкции [19]. В точке И~(0) = 0 многообразия С„(К ") рассмотрим касательный вектор, определяемый таким элементом А Е сзхт(2п), что '=(' ') где а — (и х п)-матрица, Аз = — 1 „.
Тогда в силу теоремы 3.15 геодезическая, проходящая через точку И'(0), определятся формулой ехр(гА)Ит(0). Легко видеть, что ехр(ФА) = (соз г) 12„+ +(81п 1) А, поэтому (ехр(тА)) ( х) ((соз г) 1„-(81п г)а ) ( х) ( (соз г)х ) Итак, получаем 1Ф'(г) = (1Ж 1)а. Поскольку И'(1) при любом г пропорционально одной и той же невырожденной матрице а, то любые четыре точки этой кривой находятся в скалярном двойном отношении. П Утверждение 5.7. Пустпь точхи Р1,РЕ,Рзх С„(К ") принадлежатп полному связному вполне геодезичесхому подмногооброзию Ф, состпояи1ему из тпахих тпочех С„(К2"), хотпорые (хах и-плосхостпи в К ") находятпся попарно в оби1ем положении. 7огда хривая .Хр (о) иелихом лежитп Р~ тиз в Ф. До к аз а те л ьс т во.
Выберем координаты на С„(Ж2") так, что И"(0) = Р =О. В силу теоремы 5.3 [120, с. 431] многообразие Х состойт из попарно изоклнничных плоскостей. По теореме Вольфа надпространство алгебры Ли, образ которого при экспоненциальном отображении дает М, имеет базис Я„..., Я е Е Ььт(2п), удовлетворяющий условиям Гурвица (5.7). При этом матрицы Бт могут быть выбраны в виде Ят= ( ' ), (=1,...,г. Соотношения Гурвица в терминах матриц ат имеют вид агат=1„, ага.+агат=О, тТА т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
