М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Если расстояние от точки х е А до плоскости В в пространстве Е11(2п — 1) не зависит от выбора точки х, то это означает, что угол между вектором Ох е А и плоскостью В не зависит от выбора точки хб А. П у 8. Матричное двойное отношение на многообразии Лагранжа †Грассма Начнем с напоминания (см. гл. 4). Пусть линейное пространство В~" переменных (х, р) снабжено стандартной симплектической структурой ы= 2 Ыр,.ддх, Через Вр(п,!к) обозначает1=1 ся группа преобразований, сохраняющих форму ьт.
Обозначим через 8р(и, В) — ее алгебру Ли. Плоскость ! называется лагранжевои, если она и-мерна и ьт!1= 0. Множество всех лагранжевых подпространств !к~" называется многообразием Лагранжа — Гроссмана и обозначается через Л(~В"). При отождествлении Л(м~") = 11(п)/ О(п) оно снабжается структурой риманова симметрического пространства. В локальной системе координат, определяемой парой ортогональных лагранжевых плоскостей Р н Р, точки Л(м~") параметризуются множеством сим- глАБА к мАп ичное двойное отношение 196 9 8.
двойное ОтнОшение нА мнОГООБРАзии ЛАГРАнжА — ГРАссмАнА 197 метрических матриц. Понятие матричного двойного отношения ' переносится и на многообразие Лагранжа — Грассмана, если рас- сматривать это многообразие как подмногообразие многообразия б~„(КВ").
Т е о р е и а 5.7. Подмногооброзие Л(К~") являетпся вполне геодезическим подльногообразием ь „(К "). Доказательство. Разложение алгебры 150(2п) в точ- ке Р = (х,О) имеет вид 60(2п) = Ь)+ Я, где й-((ь )~,ьев0(")) — апгебра Ли стабилизатора К = 0(п) х 0(п) плоскости )т = = (х,О), =И ' ~)) — прямое дополнение Я (в смысле формы Киллинга), которое инвариантно относительно действия Аь(К. Дифференциал есте- ственной проекции эт: 0(2п) -т С„(К~") в точке У переводит ма- трицу д в ь(эт(д). Тем самым мы получаем инвариантное относи- тельно действиЯ К отождествление Ь) с касательным пРостдоанст- вом к С„(К~") в точке У.
Для того чтобы реализовать Л(К ") как подмногообразне ь '„(К~"), рассмотрим вложение 11(п) — ь 0(2п), при котором матрица А + ьВ е 1)(п) переходит в ( ) Е $0(2п). При этом вложении стабилизатор Ъ' равен ((О А)) ' а разложение алгебры Ли 11 имеет вид 11(п) = 911+Я„где Ь11 С Чз; Ф,=(( ~ ь) ~ь'=ь~. Поэтому (И' ~ ИГ с Л(К~")) есть результат действия матриц ' вида ехр А„где АА~ ь)1, на (и х п)-матрицу о = у(е), т. е.
пло- скость (х ~ х е Уе). Найдем явное выражение для матриц И'. далее, сов Ь шп Ь) (х) ( (соз Ь)х) Таким образом, ИГА = ьо(ехр АА) = — 1п Ь. Рассматривая матричные ряды Тейлора и их аналитические продолжения 1121, легко показать, что если матрица Ь симметрична, то матрица И'А также симметрична. Наоборот, любую симметрическую матрицу Ю' можно представить в виде ЬУь = — 1п Ь, где Ь вЂ” некоторая симметрическая матрица. Для завершения доказательства осталось проверить, что Ч11 есть тройная система Ли, т.
е. Щ, Щ, Щ)С Чз1. В самом деле, 1( Ь) ( о)1 — ( О ) — (б ) где б = — б. Далее, 1(0 б) ' (-а 0)1 (-(ба- аб) 0 ) что и завершает доказательство. П Лемма 5.9. Если три точки, Р1, Р~, Р, лежатп в Л(К~"), то кривая со скалярным двойным отпноиьением .УР Ь, (ьт) целиком принадлежитп Л(К~ ). Для доказательства достаточно перенести начало координат в точку Р н использовать формулу (5.26), из которой следует симметричность Р при симметричных матрицах Р, и Р. Теорема 5.7 и лемма 5.9 позволяют перенести основные результаты 9 4, 5 на случай многообразия Лагранжа — Грассмана.
В частности, непосредственными следствиями утверждений 5.5 и 5.6 являются следующие два утверждения. У т не р ж де н и е 5.12. Геодезическая линия многообразия Л(К ") с попарно изоклиничными элементальи являетпся кривой со схалярныль двойныль отпноиьениель. Утверждение 5.13. Пусть три точки, Р„Ре,Рзе Е Л(К "), лежат на полноль связноль вполне геодезичесхоль подмногообразии ЛГ, тпочхи хотпорого, рассльатприваельые хак подпространстпва К ", находятся попарно в обиьем положении. Тогда все точки кривой .71) А Р(о) принадлежатп )'т'. ГЛАВА К МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ 198 9 9. ИНДЕКС МОРСА — МАСЛОВА — АРНОЛЬДА В ФОРМЕ ЛЕРŠ— КАШИВАРЫ 199 Однако критерий эквивалентности пар точек относительно изометрий Л(]к~") уже не совпадает с критерием, приведенным в теореме 5.1 для многообразия С„(~В").
В теореме 5.1 было показано, что двойное отношение ПУ„В дает полный набор инвариантов относительно действия групйыыв О(2н). В случае многообразия Лагранжа — Грассмана равенство матричных двойных отношений, разумеется, остается необходимым условием эквивалентности двух пар матриц, ио оно уже не является достаточным. Действительно, как и при доказательстве теоремы 5.1, вопрос об эквивалентности пар матриц с одинаковым двойным отношением сводится к выяснению эквивалентности пар матриц (О, )т) и (О, И') прн условии, что матрицы (т~ н Ит~ подобны. В этом случае стабилизатор нулевой плоскости в группе преобразований, сохраняющих лагранжевы плоскости, состоит из матриц ~ ].
Так как а ЕО(и), то эквивалентность пар /а 0 — а,] (О, У) и (О, Щ означает, что Ит = а Уа '. Но нз подобия квадратов матриц не следует подобие самих матриц. Поэтому матричное двойное отношение еще не дает полного набора иивариантов относительно группы нзометрий многообразия Лагранжа— Грассмана. В следующем параграфе мы введем еще один инвариант действия Группы изометрий на многообразии Лагранжа — Грассмана. Для этого воспользуемся индексом Морса— Маслова — Арнольда в форме Лере — Кашивары [30]. ф 9.
Индекс Марса — Маслова — Арнольда в форме Лере — Кашиввры Напомним, что индексом Морса квадратичного функционала называется максимальная размерность надпространства, на котором этот функционал отрицательно определен. Морс доказал, что для случая интегрального функционала [Ат(1)А(1)]т(1)+2Утт(1)О(1))т(1)+ 1тт(1)В(Г)УГ(Г)] г11 удовлетворяющего усиленному условию Лежандра (т. е. матрица А(Е) положительно определена при всех Е Е(Го, 81)), эта размерность равна числу точек, сопряженных с точкой го на интервале (Гв, 1,), с учетом их кратности.
Доказательство см. в ]32, с. 95-!00]. Впоследствии были найдены далеко идущие обобщения теоремы Морса, которые, по существу, привели к созданию симплектической геометрии как самостоятельной математической дисциплины. Были предложены различные симплектически инварнаитные определения индекса Морса. Мы следуем определению Кашнвары [30, с. 30] Пусть А„АШ Аз — трн лагранжевых надпространства симплектического пространства, т.
е. пространства К~", снабженного невырожденной кососнмметрической формой ы с матрицей,У. РассмотРим Зи-меРное пРостРанство Е = А, Э Азйт Аз, состоЯщее из троек векторов (х1,хз,хз), х1ЕА1, хзбАю хзйАз, н квадратичную форму Я на Я, определенную формулой Я = (х1,,Ухз) + (хз, .Ух ) + (х,,Ух,). (5.35) Оп р е деле ни е. Индексам Маслова т (А1, Аю Аз) тройки лагранжевых плоскостей (А„АШ А ) называется сигнатура квадратичной формы (5.35).
Напоминаем, что сигнатаурой 81йп О квадратаичной формы Я называется разность числа положительных квадратов и числа отрицательных квадратов координат в том базисе, в котором форма Я диагональна. Поскольку сигнатура при линейных преобразованиях остается инварнантной, т (дА„дАШ дАз) = = т (А„А, А ) для любого де 5р(н, К). Кроме того, в сйлу косой симметрии матрицы У имеем т (А„АШ Аз) = — т (Аю А „Аз) = — т (А „Аз, Аз). Предположим сначала, что плоскости А, и Аз трансверсальны, и обозначим через тггз оператор проектйровайия пространства 1к~" на А1 паРаллельно Аз, а чеРез кз, опеРатоР пРоектиРованиЯ на А параллельно А,.
У) ем м а 5.10. Если А, и А тарансверсальньтт тао индекс т (А1, Ае, Аз) равен сизнатаурв квадратпичной трормьг 4, заданной на иростаранставе Аз Формулой Гь(х) — (ягзх лязг х). (5.36) ГЛАВА з. МАГРичное ДЕОйное Отношение $9. ИНДЕКС МОРСА — МАСЛОВА — АРНОЛЬДА В ФОРМЕ ЛЕРŠ— КАШИВАРЫ Ю! Доказательство. Из условия леммы след~ет, что имеет место однозначное разложение пространства !к" в прямую сУммУ й'"=А! ЕАз.
ПУсть х,~А2. Тогда х2 я!3 х2 + 4гз! х2' Лагранжевость плоскостей А, и А означает, что для любой пары векторов х, хе Аг кососкалярное произведение (х,.ух) равно нулю. Отсюда следует, что Я = (х„.ух ) + (х, Ххз) + (х, .7 хг) = = (хг 7(тгз! хз)) + ("гз*2 7хз) + (хз> "х») = = (Ягзхз тгз! хз) ((х! Ягзхз) 7(хз "з! х2)). Положим У! = *! Я»ЗХ2 Уз = Хз* УЗ =*э КЗ»Х2. В этих кооРДинатах Я = (>ггз У2, .7вз, У2) — (У„.7Уз), гДе пеРвое слагаемое в правой части — квадратичная форма иа А2, а второе— квадратичная форма на А, ч» Аз. Поэтому т(А! Аз Аз)=з!Кп(тггзУ2 7кз»У2)+з18п(у! 7уз). НетРУдно показать, что 218п(Уг,,7уз) = О, посколькУ даннаЯ ква!~- ратичная форма не содержит квадратов координат, а индексы координат в разных слагаемых этой формы не повторяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
