М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 38
Текст из файла (страница 38)
полуплоскОсть клейнА — пуАнкАРе и полуплоскОсть энгеля 223 Функция р двоякопериодическая и мероморфная (в узлах решетки 0 функция Вейерштрасса имеет полюса второго порядка). У т в е р ж д е н и е 6.1. Функция р(г, от) удовлетпворяетп дифференциальному уравнению р — 4рз+ угр+ оз — — О.
Доказательство. Дифференцируя функцию р по г, получим Ир 2 2 — (, )= —,-~ з (+ьз Разложим функции р и р' в ряд Лорана в нуле. Подставим этн ряды в левую часть уравнения (6.25). Нетрудно показать, что коэффициенты при главных членах полученного разложения обращаются в нуль. Следовательно, левая часть уравнения (6.25)— двоякопериодическая аналитическая функция, не имеющая особенностей на параллелограмме периодов. Поэтому эта функция ограничена и в силу теоремы Лиувнлля является константой. Так как ее значение в нуле равно нулю, уравнение (6.25) выполняется тождественно.
Тем самым отображение гт (р(г), р'(г)) переводит параллелограмм периодов в комплексную кривую, задаваемую уравнением у2=4х — огг — уз. (6.26) При этом узлы параллелограмма периодов переходят в бесконечно удаленную точку этой кривой. Следовательно, компактификация кривой (6.26) есть тор. Обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля. Вернемся к основной линии нашего изложения. Для выяснения природы комплексного уравнения Риккати нам понадобится другая реализация области однородности Картана — Зигеля типа 111— неограниченная область в пространстве многих комплексных переменных, которая является естественным обобщением верхней полуплоскости Клейна †Пуанка. Обоби)внная верхняя полуплосиостпь Зигелл — это множество комплексных симметрических (и х и)-матриц с положительно определенной мнимой частью 8„=(Х+тг ~Х =Х г =г Т'>О).
Это множество образует открытую область Ь„в пространстве комплексных симметрических матриц СЧ + У, и потому оно яви(в+!)(2 ляется аналитическим многообразием. Граница этого многообразия состоит из тех точек г е С~ )(, при подходе к которым по любой кривой, лежащей в области 8„, впервые нарушается условие типа неравенства У > О. В этих точках матрица 1' становится иолуопределенной, т. е.
неотрицательно определенной и при этом вырожденной. Порядок вырождения может быть произвольным. В соответствии с этим граница в = дб„многообразия Я„ оказывается стратифицированным многообразием. Она состоит из конечного числа кусков различных размерностей, которые называются стратами. Страты примыкают друг к другу так, что граница каждого из них составлена из стратов меньшей размерности. Для Ь„каждый страт вв, й = О, 1,..., п — 1, состоит нз комплексных симметрических матриц с неотрицательной мнимой частью, имеющей ранг в: У )>ОЕ1,1 Полуплоскость Зигеля как симметрическое про'странство. Т е о р е и а 6.1.
Обоби)енная вергняя полуплосность Зигеля 6„— однородное симметрическое эрмитпово многообразие. Для доказательства теоремы 6.1 нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Прежде всего мы найдем группу аналитических автоморфнзмов, транзитивно действующих на Я„. Рассмотрим действие обобщенных дробно-линейных преобразований на Я„. По аналогии с одномерным случаем, когда обобщенная верхняя полуплоскость совпадает с обычной верхней полуплоскостью (г ~ 1гп г > > 03, определим действие блочной матрицы ( С Р(1 на элемен- (А ВА тах т, пространства б„следующим образом: (С а)«)=(~+~~)(А+В~) .
Для того, чтобы действительные матрицы !, переходили в действительные, в качестве А,В, С, Р будем рассматривать действительные (п х п)-матрицы. ГЛАВА 8. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ Рассмотрим три вида таких преобразований. (С .0) (Р 1) При этом преобразовании (' ~-+ ~+Р. Для того чтобы область сэ„перешла в себя, необходимо и достаточно, чтобы матрица Р была симметрической: Р =Р.
)(А В) ((~ ) 0) В этом случае ~ ~-+ у" ~ у'~. Очевидно, что при этом действии симметрические матрицы переходят в симметрические и мнимая часть матрицы ~ остается положительно определенной, т. е. су„ переходит в б„. ' (' ')='=(-' ) В этом случае г," Л е м м а 6.3.
Преобразование вида 3) определено на всем 6„. Образ этого отображения лежит в 22„. Доказательство. Действительно, пусть Х+11'Е(д„. Поскольку 1' > О, существует такая матрица У Е ОЦп), что У1'1Г~ =1. Тогда У('У~= Т+11. Будем исходить из тождества Т +1=(Т+11)(Т вЂ” 11). (6.27) По лемме 5.2 матрица Т +1 положительно определена, и, следо- 2 вательно, обратима.
Поэтому невырождены и Оба сомножителя в правой части (6 27), и, следовательно, матрица ~ невырождена. Далее, У ( Т + Г П ) ( 1 т ) ) 1 ~ т ( Т + 8 1 ) У = Ут(11-Т)(Т'+ 1)-' 1'. Таким образом матрица ( — ~ ') симметрична и ее мнимая часть положительно определена. П Утверждение 6.2. Группа, порожденная преобразованиями 1) — 3), совпадает с вещественной симплеитичесиой группой Бр(п, Й). $2. ПОЛУГШОСКОСТЬ КЛЕЙНА — ПУАНКАРЕ И ПОЛУПЛОСКОСТЬ ЗИГЕЛЯ 225 Прежде чем доказывать это утверждение, напомним, что Яр(а,1к) — это группа, оставляющая инвариантной кососимме- 0 1„1 трическую квадратичную форму с матрицей .7= ( 0 ).
Это означает, что д = ( , ) ~ Бр(п, Й) тогда и только тогда, ко- ГА В1 гда д,7д~ = Х. Перепишем последнее соотношение в терминах (и х п)-блоков матрицы д: ( )'( )=(: ° В) ( Вт Рт! ( В 1т+Сцт ВСт+СВт) Отсюда мы получаем следующие необходимые и достаточные условия принадлежности матрицы д к группе Вр(п> К): АВт — ВАт (6.28) С11 †.0С (6.29) АВт ВСт — 1 (6.30) Доказательство утверждения 6.2. Обозначим через С группу, порожденную преобразованиями вида 1)-3).
Легко проверить, что матрица каждого из этих преобразований симплектическая. Рассмотрим произвольную матрицу д= (, ) ЕЯр(п,зе). Для доказательства утверждения достаточно показать, что, умножая д слева нли справа на матрицы вида 1)-3), мы можем получить одну из матриц вида 1)-3). Разобьем наши действия на три этапа. 1, Применим к матрице д слева и справа преобразование ((1гт)-1 0 ) ( 1 В) ((Ут)-1 При этом преобразовании левый верхний угол А матрицы д умножается слева и справа на невырожденные матрицы. Матрицы Ъ' и у; можно подобрать так, чтобы превратить д в матрицу д = ( 1 ') где А = ( ° ), à — ранг матрицы А.
~С, Л,) ~0 07'' В (4 А) 8 М. И. Зелнкин й 2. полуплоскость клейнА — пуАнкАРе и полуплОскость зиГеля 227 ГЛАВА б. комплексные уРАВнения РиккАти 226 — разбиение матрицы В, на блоки той же размерности, что и в матрице А,. Имеем Ав'=(о о) ВА~=(р о) Так как д, е Яр(п, Ж), то в силу (6.28) ,бз=О, В, = 12,'. Из (6.31) следует, что (6.31) 41е112 ~0, (6.32) ибо в противном случае первые и строк матрицы д, были бы линейно зависимы. Воспользуемся преобразованием вида 1) и умножим д, справ 1 0Л ва на матрицу (» ), где Л вЂ” вещественное число.
Полу- ~ Л1„1„) чим матрицу д, у которой левый верхний минор будет иметь вид ( 1„+Л13, ЛВВ) д 1( п )д — ( и З)~С (6.33) Умножнм дз —— ( и з ) справа на (6.33). Получим матрицу — и 3 з з д4 (С Р )' Применяя к матрице д„ последовательно соотношения (6.30) и (6.29), получаем, что Р4 — — 1„, а С4 — — С,. Итак, в результате применения преобразований вида 1)-3) к матрице д мы получили матрицу вида 1), что и завершает доказательство утверждения. П (6.34) В силу (6.32) при достаточно малом Л имеем бе1А2 44 0. Повторяя рассуждения этапа 1, приведем матрицу дз к виду д2 = ), где Аз = 1и. Применяя к матрице дз соотношение =(. Р) Аз з Сз Рз!' (6.28) получаем, что матрица Вз симметрична.
111. Поскольку Вз симметрична, Тем самым мы определили действие группы Яр(п, Ж) иа обобщенной верхней полуплоскости Зигеля 8„. Лемм а 6.4. Группа Яр(п, Ж) дейстпвуетп на Я„тпранзнтвпвно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что точку 4 1„Е б„можно перевести в любую точку Х + 41' Е Ь„. Сначала заметим, что условие 1' >0 влечет за собой то, что квадратичная форма с матрицей Ъ' может быть приведена к сумме квадратов, т. е.
существует невырожденная матрица А такая, что 1' = ААГ. Тогда применение преобразования вида 2), где У = А, переводит матрицу 4 1» в 4У. Преобразованием вида 1) переведем вещественную часть матрицы 4У в матрицу Х. П Итак, Бр(п, й) — транзитивная группа аналитических преобразований пространства 6„. Для того чтобы представить 8„ в виде однородного пространства, нам надо найти стабилизатор какой-либо точки 8„. Наиболее легко найти стабилизатор точки 41. Л е и м а 6.5. Стпиционарная подгруппа группы Зр(п, К) в тпочке 41 совпадаетп с (6.35) 5р(п) = 80(2п) и Яр(п, й).
Группа (6.35) называется унитпарным ограничентгем симплектической группы или номпантпной симплентпинесной группой. тА Вт Доказательство. Пусть матрица (С ) оставляет неподвижной точку 416 8„: ( ) о(41)=(С+1Р)(А+4В) ~ = 41. Тогда С+4Р= А1 — В, и, следовательно, С= — В, У=А. Таким Образом стабилизатор точки 11 состоит из матриц вида ( А) ).
Так как эти матрицы симплектические, то в силу А ВА — В А) формул (6.28)-(6.30) имеем А 1Г+ВВт 1 1ВГ В 1т Эти условия можно переписать в матричной форме: (А В) ( А' В') (1 О) ГлАЕА з. комплексные уРАвнения РиккАти Тем самым мы доказали, что матрицы, оставляющие точку а! неподвижной, ортогональны. Детерминант любой симплектической матрицы равен 1. О Доказательство теоремы 6.1. Из утверждения 6.2 и лемм 6.3-6.5 следует, что обобщенная верхняя полуплоскость Зигеля является однородным пространством Я„= Зр(п, К)/(ЗО(2п) и Бр(п, К)). Для того чтобы доказать, что 8„— однородное эрмитово пространство, Опишем инвариантную относительно действия Я)(п) эрмитову метрику на пространстве Я„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
