М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ратная р-мерная единичная матрица). Если С= ( )— ~С й/ соответствующее блочное разбиение матрицы С, то условие (6.55) принимает вид АтА СтС 1 7)т7) Нтй 1,4тЕ СтУ Дифференцируя эти соотношения, убеждаемся, что алгебра Ли Я(р, тт) группы Щр, о) состоит из матриц и(р,д)= р =-р, т =-г Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (записанную в блочной форме) с коэффициентами из алгебры Щр,д) где з ~ иР у~ 11'т Р (Г) = — Р(З), т (г) = — т(г). ПОлОжим Е(,) Р( ) «( ) И' = Г1~+ тйт — Итр — И"ЯИ'. (6.57) Т е О р е м а 6.5. Решения уравнения (6.57) определяют потпотс на области однородностпи Зигеля 1-го типа.
Каждый стпратп границы этой области есть интегральное многообразие уравнения (6.57). Доказательство. Имеем (тт. Т тт, 1) Итт(„т+ — тт, тт, — „тт, — „,т,)+ т(Ф + ( ! Итт г + р Итт Итт !т Итт) Ит =Ит~т+Ит-.и -(Ити -1)р-р (Итя -1ДИ.— — Г1 Йт+ 4 тИт — И т т Ит + р (И т тИт — 1) + р— И/т т!т (Итт $~ 1) Игт т!т (6 58) Обозначим И'тИ' — 1 через 1' и р — Ит~4~ через Е. Тогда (6.58) принимает вид У=ЕУ+УЕ . (6.59) Заметим, что если У(Б) — решение системы (6.59) и гк У(Ф ) = й, то найдется минор порядка !т, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.
В силу леммы 6.7 вектор, составленный из всех миноров фиксированногопорядка т, удовлетворяет однородной линейной системе уравнений (6.46), где Л = Е и М = Е. Используя теорему единственности, заключаем, что этот вектор либо тождественно равен нулю, либо никогда не обращается в нуль. Следовательно, ранг матрицы У(т) сохраняется: г!т У(й) = й. В частности, при тт= р получаем, что решения системы (6.57), начинающиеся и рассмотрим преобразование Г(й): СР+ т -+ СР+ т, удовлетворяющее уравнению (6.50). По теореме 6.4 уравнение, которому удовлетворяют координаты И' р-мерных плоскостей при сдвигах на время Ф по траекториям системы (6.56), имеет вид 242 ГЛАВА З.
КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ $ С ПОТОК НА ОБЛАСТЯХ ОДНОРОДНОСТИ КАРТАНА — ЗИГЕЛЯ 243 внутри области (6.54), при всех г остаются внутри этой области; решения же, начинающиеся на страте вг, не сходят с этого страта по крайней мере до тех пор, пока остаются в рассматриваемой карте многообразия Грассмана.
Разумеется, будучи решениями уравнения с квадратичной правой частью, они могут уйти на бесконечность за конечное время, что и означает выход за пределы данной карты. Покажем, что и при прохождении через любую бесконечно удаленную точку а решение уравнения (6.57) не сходит со страта з„. Комплексные автоморфизмы области однородности Зигеля сохраняют стратификацию границы 142). Поэтому мы можем выбрать такой автоморфизм д ~ 13(р, д), который переведет бесконечно удаленную точку а в конечную точку да того же страта а . Для описания действия д на уравнении (6.57) поступим следующим образом.
Вместо того, чтобы совершать дробно-линейную замену в самом уравнении (6.57) (что привело бы к громоздким вычислениям), мы найдем действие элемента д на соответствующей линейной системе (6.56), записанной в матричной форме Х = ВХ, где В( Г) = ~с~ (с) Ф)/' Полагая Х = дг', получаем 1 =д-'Вд). (6.60) Матрица коэффициентов этой системы д 1Вд также принадлежит Щр,д). Действительно, так как де(1(р,д) и В еЩр,д), имеем д ' Вд = Аб В ~ Шр, д). Матричное уравнение, построенное по системе (6.60), очевидно, совпадает с уравнением, которое получится в результате дробно-линейного действия элемента д на уравнении (6.57).
Следовательно, полученное в результате замены переменных уравнение Риккатн имеет ту же структуру, что и уравнение (6.57). Поэтому при прохождении через точку до его решение не сойдет со страта а . С) Поток иа области однородности Зигели П-го типа Напомним, что областью однородности Загслл 11-го тиипа называется совокупность таких комплексных (и х п)-матриц И', что И/тИГ<1, И т=-И. (6.61) Рассмотрим 2л-мерную систему дифференциальных уравнений Х =й(г)Х, (6.62) матрица коэффициентов которой 21(Ф) при всех значениях с принадлежит алгебре Ли группы, действующей на области Зигеля П-го типа. Найдем уравнение, которому удовлетворяют координаты тьмерных плоскостей в потоке уравнения (6.62).
Полная группа С аналитических автоморфизмов области (6.61) определяется соотношениями т — В тА Н=( '» 0), К=(0 '-). Любая матрица д е С имеет вид (В А)' где А и  — такие (п х п)-матрицы, что АГА В В 1 А В В А Алгебра Ли группы С имеет вид Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений х= ах — /3д, д=,дх+ а д. Как и для области Картана — Зигеля первого типа, из теоремы 6.4 легко получить уравнение типа Риккати для описания эволюции и-мерных плоскостей в пространстве С ", т. е. для комплексных (и х п)-матриц, определяющих координаты точек С„(С "): Ф =,0 + а Иг — И' а + И' ~3 Иг, где а = — а, 1т =-ф. ГЛАВА б. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 244 $4.
ПОТОК НА ОБЛАСТЯХ ОДНОРОДНОСТИ КАРТАНА — ЗИГЕЛЯ 245 Т е о р е и а 6.6. Уравнение (6.63) определяет поток на областпи, описывае ной условиями (6.61). Катсдый стпрат границы отпой областпи является интпегральным многообразием уравнения (6.63). Доказательство. Прежде всего проверим, что решение уравнения (6.63) — кососимметрическая матрица. Действительно, И' = — 11 — И'" а + а И'" — И',В И' . Складывая полученное уравнение с (6.63), получаем (Ит+ Ит ) = а(И'+ Ит ) — (И'+ И' ) а— (И, + И т) д И т + Ит и (Ит+ И т) (6 64) Из теоремы единственности следует, что если (И'+ И' )(то) = О, то (И'+ И' )(4) = О. Далее имеем (Итт ттт) И,т,т, + Итт,т, г1г = —,0И' — Ит а И'+а И" Ит — Ит,ОИ' Ит+ +Ит ~3+И' аИ" — И' И'а+Ит Итожат, (И,ТУ ц (И.т ~ ц д ~ Итт~(И,Т ~ ц+ +а(И'И -Ц вЂ” (И"%'-Ца.
(6,65) Из уравнения (6.65) непосредственно следует, что граница Ши- лова области (6.61) %=(И!И" тФ =1,И"=-И) является интегральным многообразием уравнения (6.63). Далее обозначим Ит~ Ит — 1 через У. Тогда уравнение (6.65) записывается в виде — Итт Ду (6.66) Применяя лемму 6.7, заключаем, что если гк У(8 ) = Ь, то гк У( г) = Ь. В случае, когда траектория проходит через бесконечно удаленную точку, ранг матрицы У(г) сохраняется.
Доказательство этого факта аналогично доказательству теоремы 6.5. С1 Замечание. Пустьматрицы а и Ддействительныеи кососимметрические. Тогда соотношение (6.64) для действительного матричного уравнения (6.63) показывает, что многообразие $ кососимметрических матриц, изучавшееся в гл. 5, является интегральным многообразием уравнения (6.63). Другое доказательство этого факта следует из утверждения 5.10, которое дает описание многообразия кососимметрических матриц в пространстве с индефинитной метрикой сигнатуры нуль как множества изотропных плоскостей.
В самом деле, группа аналитических автоморфизмов области Знгеля П-го типа сохраняет невырожденную квадратичную форму сигнатуры нуль. Именно поэтому многообразие изотропных плоскостей является интегральным для уравнения типа Риккати, соответствующего этой группе. Поток на области Однородности Зигеля Г1т-го типа. Напомним, что симметрическая область однородности Зигеля 1У-го типа А есть область в пространстве СР, определяемая неравенствами ~г+ + ~, ~г ((1+ (гг+... + Яг)з)/2 < 1, (6 67) На области А действует подгруппа тУ индекса 2 группы 0(р,2), которая оставляет инвариантной квадратичную форму, имеющую два положительных и р отрицательных квадратов в канонической записи.
Матрицы д, принадлежащие этой группе, удовлетворяют уравнениям д=д, д Нд=Н, Н=1 1. (666) Р Выведем уравнение типа Риккати, описывающее поток на области 'Х. Дифференцируя (6.68) в точке е, находим (Ьт)Н+ НЬ=О. Это означает, что матрица НЬ кососимметрическая. Так как умножение справа на матрицу Н = Н меняет знаки у послед— ! них р строк, то алгебра Ли группы С состоит из матриц вида (6.69) где с — скаляр, Ь и т( суть р-мерные вектор-строки, А — косо- симметрическая (р х р)-матрица.
247 246 (6.72) а справа на обратную матрицу 1/2 1/2 О т/2 -!/2 О Р -ьс О У О Ес 7У 77т/2 (7~/2 А (6.?О) ' (А(~) В(Ь~)) с (6.74) Р йе=-ЬГ + р аз. ь % ' т 2 у=! Р я +, — — вся + ! + ~~ у=! 1 — А + — ь! я +!+ всяь — 1! иь77 я,, !'=1 Р +!си+! — 17 ни р+1 ! в+1~ у=! (6.?1) ГЛАВА Б.
КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ При замене переменных (Т„ГТ) ь-+ (Т, — т'42, ~, + т~ ) матриц (6.69) слева умножается на матрицу В результате получаются матрицы вида с в (с О Ь вЂ” ь!1 О вс Ь+ ве( (Ьт +,,(т)/2 (Ьт ;,1т)/2 Обозначим выражение Ь + Ы через 1Г. В этих обозначениях ма- трицы, принадлежащие алгебре Ли группы Ли, действующей на области А, имеют вид где 1/=(17,..., У ) — комплексная р-мерная вектор-строка, А = 1 р = (а*,.) — действительная кососимметрическая матрица размерности рх р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
