М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 37
Текст из файла (страница 37)
')=г'г. Л е м м а 6.2. лвножество точен к, удовлетворяющих неравенству (6.3), лвллетсл окраниченньккк в пространстве С'. Доказательство. Из неравенства (6.3) следует, что эрмитовы скалярные квадраты столбцов матрицы к не превосходят единицы, следовательно, сумма квадратов модулей всех элементов матрицы л не превосходит д. П Как и для вещественных грассмановых многообразий, линейный автоморфизм пространства С" (й)-(С й)(:) индуцирует преобразование грассмаиова многообразия С (С ) Я (АЯ+ В)(Сг+ В)-', Я = )~И~-'. (6А) Таким образом, ограниченная область (6.3) инвариантна относительно группы обобщенных дробно-линейных преобразований (6.4)„где 4т 4 гтс 1 Отп ВГВ 1 АтВ Стд Можно показать 1111], что эта группа действует на 9Л транзитивно. Следовательно, множество 9Л является областью однородности.
Так как группа Щр, д) содержит инволюцию л ~ -л, то область 921 в симметрическая область. Прн д = 1 область 9Н является единичным шаром пространства С . Тнп 11. Предположим, что р = д > 2. Рассмотрим подгруппу Сп группы 13(р, р) линейных преобразований пространства С ", определенную следующим образом. Пусть элементы под- 2Р группы Сп оставляют нивариантной не только эрмитову форму ~Г ~2 ~1 ~2+ ~2 ~2+ + ~2 ~2 тН- но и квадратичную форму ~1)=22ГЕ, +2222 +...+22 г = 2тК2, (66) где к=(о ').
Таким образом, мы рассматриваем комплексные линейные пре- образования, матрицы д которых удовлетворяют условиям (6.8) тН- Н тН Если рассмотреть эрмитову форму с матрицей то условия (6.8), накладызаемые на матрицу д, можно заменить следующими: тН (6З) Действительно, из (6.8) следует, что д '3д=д 'К 'Нд=(д Кд) '(дтНд) =К 'Н=,Г, а из (6.9) следует, что д'Кд=д'НЛ 'д=(д'Нд)(д .Уд) =Н.1 =К.
Представим матрицу д в блочной форме / АГИ "» ВГР'"У'1 д = ( С(ию ВГР,ю ) . Легко видеть, что соотношения (6.9) выполняются тогда и только тогда, когда С Р 1 АтА СтС 1 АГС СтА (610) Как и при описании областей типа 1, рассмотрим в пространстве С~У множество 91 всех П-мерных линейных подпростраиств, состоящих из векторов, на которых эрмитова форма и принимает 215 214 4 1. овлАсти кАРтАИА — энгеля ГлАЕА 6. комплексные уРАВнения РнккАТН положительные значения. Тогда % можно считать подмножеством комплексного грассманава многообразия С (С "). Множер ство Я инвариантно относительно действия группы С)1, так как эта группа оставляет инварнантной форму и.
Заметим далее, что, квадратичный конус 1~К2 = 0 в пространстве А.~р содержит семейство р-мерных линейных падпростраиств. Например, в этом семействе содержится надпространство, определяемое системой уравнений г) = 12 —— ... — — г = О. Обозначим через г41 подмногообразие многообразия С (С~Р), состоящее из элементов рассмар триваемого семейства. В качестве области однородности типа П возьмем пересечение й=7Г)01. Рассмотрим карту й на многообразии С (С Р), в кото- рой плоскость 1Гв, соответствующая координатам (Ф + „..., Г2 ), служит горизонтальной плоскостью, а плоскость у', соответ- ствующая координатам (Ф„ ..., 2 ), — вертикальной йлоскостью.
Множество О( целиком лежит в карте Я, поскольку любая пло- скость А Е 01 по определению не содержит векторов, принадле- жащих у', Рассмотрим (р х р/2)-матрицу =(т: )=(') составленную нз векторов базиса плоскости А (векторы выпи- сываются по столбцам матрицы У). Тогда эрмитова форма с ма- трицей НтНТ положительно определена: сгтНП> О, а матрица ЕГ~ХС равна нулю, В терминах матриц й', У" эти условия означают, что 14гт ~ > 1гт~ 1гтгА, 14гт)г Очевидно, что отображения У ~-+ дУ сохраняют как матри- цу 1Г~НТ, так и матрицу У КВ, т. е. переводят рассматрива- емое множество матриц 1Г в себя. В силу леммы 6.1 матрица И' невырождена, н в области Й многообразия С„(С~Р) можно вве- сти матричные координаты 2 = У И' '.
Соотношения (6.11) дают следующие условия на матрицу л б й: Я" г < 1„2'=-г. (6.12) В соответствии с леммой 6.2, соотношения (6.12) определяют ограниченную область О в р(р — 1)/2-мерном комплексном пространстве элементов комплексных косасимметрических матриц В. Область 0 инвариантна относительно группы С аналитических преобразований В~-ь(Аа+ В)(СВ+ Т)) так н кососимметрическую форму (1)м„) — и)1„,)+...+(2ре,„— и„22,) = 1'.ги, (6АЗ) определяющую симплектическую структуру в пространстве С 2р Таким образом, мы рассматриваем линейные преобразования с матрицей у, удовлетворяющей соотношениям (6.14) тН вЂ” Н т~ Для матрицы а, записанной в блочной форме / А1в р) В1р'р) ') Р=~С1РР) Па")/ соотношения (6.14) эквивалентны следующим равенствам: — — Ат 4 Ст С=1, А С=СГА.
(6.15) Пусть, как и прежде, 1гЬ Р) С = ~ д,(р, р) ) где А, В, С, В удовлетворяют соотношениям (6.10). Можно доказать 1111], чта эта группа транзитивна действует на А2, а область Й симметрическая, так как группа С содержит инволюцню Ян — Т Тип П1. Этот тип областей особенно важен для нас, так как именно ан соответствует комплексным уравнениям Риккати, возникающим из задач вариацианного исчисления.
Пусть р = д. Рассмотрим следующую подгруппу С)11 группы 13 . Элементы подгруппы Сп) оставляют инвариантной как эрмитаву форму п(2)=-!11'- "— 1,1'+!2, 1'+" +1,1'= 'и 217 216 гллм з. комплексныз и лвнвния гикклти з ь овллсти клгтзнА — энгеля пробегает множество всех мат~ни, имеющих 2р строк и р столбцов таких, что 17~Н (7 > О, (7 .717 =О. Иными словами, матрица 17 образована базисом лагранжевой плоскости, на векторах которой эрмитова форма и принимает положительные значения.
Переписывая эти условия в терминах матриц У и И', получаем ИтИ > Ут У, У~И1=И~~У. Отображения У~-+д(7 переводят множество таких матриц 0 в себя. По лемме 6.1 матрица И' невырождена, а матричные координаты Я = УИ' на соответствующем лагранжевом многообразии изменяются в ограниченной (в силу леммы 6.2) области в р(р+ 1)/2-мерном комплексном пространстве, координатами которой служат элементы комплексной симметрической матрицы Я. Эту область ыы будем обозначать через Я. Итак„ Я=(Я'Я<1„Я'=Я). (6.16) Группа аналитических автоморфизмов С области Я Я ~-+(АЯ+З)(СЯ+.0) описывается условиями (6.15).
Можно доказать, что зта группа действует на Я транзитивно 111Ц. Область Я симметрическая, так как группа С содержит инволюцию Я ~-+ — Я. Область Я называется обобщенным единичкым мрдгом. Это объясняется тем, что при р = 1 матрица Я одномерна, следовательно, условие Я = Я выполняется автоматически, и об- т ласть Я есть обычный единичный круг на комплексной плоскости С . Ниже мы покажем, что область Я аналитически эквивалент- ! на обобщенной верхней полуплоскости Энгеля. Тип ГК Пусть р целое положительное число. Рассмотрим группу С линейных преобразований с вещественными коэффициентами, оставляющих инвариантной квадратичную форму ~()= 1+Ь- э-...— 2.2= 'ж, где <~ 0) ',3+г Иначе говоря, мы рассматриваем группу линейных преобра- зований, матрицы д которых удовлетворяют уравнениям д = д, дт Нд = Н. Эта группа обычно обозначается через О(р, 2).
Действие группы О(р,2) на (р+ 2)-мерном комплексном пространстве С~+ оставляет инвариантным конус тН2 22+222 — тзг —...— 22 2=О (6.17) и область Ф Н2>О. (6Л8) Точки, лежащие в множестве (6.17), (6.18) таковы, что комплексные величины $, и гг, рассматриваемые как точки двумерной плоскости, линейно независимы над Ж. Действительно, в противном случае <Ф,~~ + <Гг~ = )2, + 2 ~ и БАГЗ! + +1гр+21 <12З+ + гг+2! ~ что невозможно. Следовательно, мнимая часть отношения Ф,/гг отлична от нуля, и преобразования группы О(р,2) либо сохраняют знак этой мнимой части для всех точек множества (6.17), (6.18), либо для всех точек изменяют его на противоположный.
Тем самым линейные преобразования, сохраняющие знак мнимой части 2,/Фг, образуют в О(р, 2) подгруппу С индекса 2. Эта подгруппа действует на множестве 2~Н2=0, УНТ>О, 1ш(2,/22)>О. (6.19) и далее будет обозначаться через Срг. На множестве, определяемом соотношениями (6.19), введем новые координаты. Для этого разделим первое из соотношений (6.19) на (2, + 2~)~. Тогда получаем < 2, +122/ ~Ф + Щ 2~+122 Разделив второе из соотношений (6.19) на ~2, + 12 ~~ и заметив, что Цт ~2+~2 ~г) ~2 ° 2 ~~+~2 (сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон), получим глАВА з.
ХОмплексные уРАВнения РиккАТН 218 2 х полуплоскость клейнА — пуАИЕАРе и полуплоскость зигкпя 219 Третье соотношение в (6.19) означает, что транзитивной, а отображение з ~-+ -2 превращает Х в симметри- ческую область однородности. Сделаем замену переменных: '2+2 2!+(22 ! 2!+4Ф ' й=1,..., р. (6.21) Смысл этой замены состоит в следующем. В пространстве СР+ соотношения (6.19) выделяют ту часть многообразия 2~НЕ = О, которая попадает в область х,=х, +...+22. 2 (6.22) При замене переменных (6.21) множество (6.19) перейдет в ограниченную область А Е СР": ~, ~2+...+~, ~2<-'(1+1,2+...+ 2~2)<1, (6.2З) причем группа С1у оставляет инвариантным многообразие (6.22).
Уравнение (6.22) определяет х +, как однозначную функцию от остальных координат. Поэтому можно считать, что С 1'У' действует на области Х, задаваемой неравенствами (6.23). Действительно, пусть де С1!Г и рп 'Х-+ СРр — проекция многообразия (6.22), игнорирующая последнюю координату: !» ' хр' хр+!) (х!1 з ~ ) Тогда группа„ состоящая из отображений я о до м ', корректно определена и действует на Х. Полученная группа оказывается Ф Нз>0, 1т(2 ~22)>0. Заметим, что соотношения (6.19) однородны по переменным 2, поэтому, введя вместо переменных 2„Ф переменные 2! — 222, 2!+ +2 !2 и разделив все координаты на 2!+к 22, мы фактически вводйм аффиниые координаты в комплексном проективном пространстве р+1 СР , и условие (6.20) выделяет на этом аффиниом пространстве некоторую гиперповерхиость, уравнение которой в новых координатах принимает вид 9 2.
Верхнмм полуплоскость Клейма — Пуанкаре н обобщенпам верхним полуплоскость Зигелм (6.24) При действии группы БЦ2, Ж) эта метрика остается инвариантиой. Легко проверить, что гауссова кривизна метрики (6.24) постоянна и отрицательна, поэтому верхнюю полуплоскость можно рассматривать как модель плоскости Лобачевского. Эта модель обычно называется верхней полуплосяостью Клейна— Пуанкаре. Метрика (6.24) является действительной частью иивариантной эрмитовой метрики охлйХ/уз, мнимая часть которой равна нулю.
Итак, верхняя полуплоскость Клейна †Пуанкаре это мно- жество р = (з е С ~ 1!и х > 0) с метрикой 2 +,(у2,(з,(х <(з 2 2 На полуплоскости Клейна — Пуанкаре действует группа дробно-линейных преобразований Я.(2, К) (оиа же Бр(1, В)) (д !1) у+ 62 Вернемся к наиболее интереснои для наших целен обла сти — области однородности типа 1П. Начнем с напоминания о верхней полуплоскости Клейна — Пуанкаре.
Как известно, простейшую область однородности в пространстве С' — единичный круг — можно канформно отобразить на верхнюю полуплоскость 1т2 >О. При этом группа аналитических автоморфизмов единичного круга перейдет в группу 81.(2, В), которая действует дробно-линейными преобразованиями, переводящими верхнюю полуплоскость в себя. В гл. 1 была рассмотрена верхняя полуплоскость с метрикой глАвА з. Комплексные уРАвнения Рнккхти 222 $2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
