М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найдем К н Ь. Из системы (5.48) получаем Х =КХ вЂ” ь г', К=С, У= АХ+ Кг' Ь = — 1„. являются решениями уравнения (5.42). Отсюда следует, что сохраняется двойное отношение этих матриц и, следовательно, сохраняется квадратичная форма для определения углов между плоскостями Х, и Х . О Заметим, что условия (5.45) — это условия кососимметричности матрицы коэффициентов соответствующей линейной гамильтоновой системы. Следовательно, отображение по траекториям гамнльтоновой системы не только симплектическое, но и ортогональное (см.
$4 гл. 4), поэтому оно сохраняет скалярное произведение, а следовательно, и квадратичную форму для определения углов между любыми двумя плоскостями. П р и м е р 5.2. Рассмотрим функционал Таким образом, Я = (С вЂ” г' 1„) 2'. (5.49) Такая комплексная форма уравнений Риккати дает возможность ответить на вопрос о сопряженных точках функционала (5.44). Сначала предположим, что С = сопз1. Тогда решение уравнения (5.49) имеет внд Я =ехр((С+ г!„)г). Матрицы С н 1„ коммутируют, поэтому Я = ехр(С г) ехр( — г г) = ехр(С г) соз г — г ехр(Сг) з1п г. Так как де1 ехр(Сг) ф О, то сопряженные точки — это нули функции соз Е (при этом плоскость, соответствующая решению уравнения Риккатн, вертикальна и матрица Ие Я вырождается).
Аналог этой формулы справедлив и для переменной матрицы С(г), Пусть матрица à †фундаментальн решение уравнения Х = С(г)Х, т. е. Г= СГ, где де1ГфО. Тогда 2= Гсоз г — гГЕ1п г — решение уравнения (5.49). В самом деле, 2'= СГсоз г — гСГЕ1п г — ГЕ1п г — гТсоз г, (С вЂ” г)(Гсоз г — гГЕ1п г)= СГсоз г — гСГЕ1п г — гГсоз г — ГЕ1п г. Сопряженные точки соответствуют вертикальному положению плоскости, определяемой уравнением Риккати. При введении комплексной переменной Я = Х+ гЪ' матрице Х соответствуют канонические переменные о, а матрице У вЂ” канонические переменные р.
Значит, условие того, что плоскость содержит вертикальное направление, записывается в виде г(е1 Х = О. Но Х = Г соз Ф, где г(е1 Г~ О. Следовательно, расстояние между сопряженными точками равно я. Таким образом, наличие дополнительной симметрии у уравнения Риккатн позволяет свести его к комплексному обыкновенному дифференциальному уравнению с квадратичной правой частью, которое мы по-прежнему будем называть гголгилеггсиым оравггеииелг Риггкагии. Преимущество этого подхода к исследованию уравнения Риккати заключается в том, что его (комплексная) размерность вдвое меньше размерности исходного уравнения.
Это простое замечания показывает, как важно изучать комплексные уравнения Риккатн. ь ь овлхсти кхгтлнл — энгеля нли г ~-+ (аз + Ь)/(Ьг+ а), ГЛАВА 6 КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИКЕАТИ В этой главе будет показано, что в зависимости от характера коэффициентов комплексное уравнение Рнккати имеет в качестве интегральных многообразий те или иные области однородности пространства многих комплексных переменных. Область Рс С называется областью однородности, если существует бесконечная группа аналитических автоморфнзмов этой области в себя. Области однородности (области Картана — Энгеля) часто встречаются во многих важных разделах анализа (такнх, например, как аналитическая теория чисел, теория автоморфных функций и др.) [21, 67, 54, 42].
Приведем основные сведения, связанные с областями однородности. Е 1. Области Картана — Зигеля Впервые области однородности появились в исследованиях Э. Картана [67] в виде областей Р пространства С", обладающих бесконечной группой С аналитических автоморфизмов.
Прн и = 1 единственной ограниченной областью однородности (с точностью до аналитических изоморфизмов) является единичный круг ]з! < 1. Группа С его аналитических автоморфизмов состоит из дробно-линейных преобразований где а и Ь вЂ” комплексные числа такие, что аа- ЬЬ = 1. При и > 2 описание всех областей однородности — сложная проблема. Ответ становится обозримым при дополнительном предположении, что группа С действует на области Р транзитивно (т.
е. в С содержатся преобразования, переводящие любую точку Р в любую другую ее точку). Группа С всех аналитических автоморфизмов ограниченной области Р с С" оказывается вещественной группой Ли (см. [67, с. 134]), и поэтому область Р можно описать как факторпространство группы Ли С по стационарной подгруппе. Тем самым область Р оказывается (аналитнческим) однородным пространством.
Именно поэтому такая область называется областью однородности пространства многих комплексных переменных. Заметим, что для описания всех областей однородности достаточно указать лишь одну область из каждого класса эквивалентных (относительно аналитических отображений) областей; кроме того, достаточно рассматривать лишь неприводимые классы областей однородности, т.
е. классы, не являющиеся прямыми произведениями областей однородности меньших размерностей. Э. Картан показал (см. [67]), что при и= 2 любая ограниченная непрнводимая область однородности эквивалентна области ]21! + !х2]2 < 1. Кроме того, он высказал утверждение, что при п= 3 любая ограниченная непрнводнмая область однородности эквивалентна одной нз следующих двух областей: ВВ<1„~=(" ) 2=(В 1). При и > 3 Картан ввел дополнительное требование. А именно, он предположил, что область Р является симметрической в том смысле, что для каждой точки з е Р группа С содержит ннволюцню с единственной неподвижной точкой з. (При и < 3 это требование выполняется автоматически [67].) Это предположение позволило дать классификацию всех ограниченных симметрических областей Р.
3 а м е ч а н и е. В гл. 4 мы рассматривали римановы симметрические пространства, соответствующие компактным группам Ли. Симметрические области однородности — врмитовы симметрические пространства — соответствуют некомпактвым группам Ли (например, единичному кругу ]з! < 1 соответствует некомпактная группа Ли его аналитических автоморфизмов. 210 211 й 1.
оелдсти кдртАИА — энгеля трицу ( ЙГ1ч,ч) ) ( Йс ) > УТН гг >О. (6.1) г1р') = уИ -'. 2тУ<1 (6.3) ГлАБА з. кОмплексные уРАВнения РиккАти Действительно, эта группа совпадает с Я.(2, К), так как единичный круг аналитически нзоморфен верхней полуплоскости ]56]). Ограниченные несимметрические области однородности впервые были описаны в работе И. И.
Пятецкого-Шапиро ]100]. Среди симметрических областей однородности существует четыре типа иеприводнмых областей. К~оме того, есть еще исключительная область в пространстве С в н в пространстве С которые мы ие будем описывать. Далее, при описании четырех типов неприводимых ограниченных, симметрических областей мы будем следовать (с некоторыми видоизменениями) изложению Зигеля (21]. Тип 1.
Пусть р и д — целые положительные числа, р+ д = =- тп. Рассмотрим группу комплексных линейных преобразований С, = 11(р, д) пространства С, оставляющих ннвариантной невы- рожденную эрмитону форму, имеющую р отрицательных и д положительных квадратов: а(1)=-]1]з- -! !з+!1 !'+ +! !'= 'Н Н= Иными словами, мы рассматриваем линейные преобразования с матрицей д е М (С), удовлетворяющей соотношению д"Н д = = Н. Условимся обозначать число строк и столбцов матрицы верхними двойными индексами (первый из этих индексов — число строк, второй — число столбцов). Положим (А, Ф, ) (СА т)) Легко видеть, что д Н д = Н тогда и только тогда, когда АтА СтС 1 1Ут1.) НтН 1 1тН Ст~ Рассмотрим в пространстве С множество 9Л всех д-мерных линейных подпространств, состоящих из векторов, иа которых эрмнтова форма Й принимает положительные значения.
Множество 9Л можно рассматривать как подмножество комплексного грассманова многообразия С (С ). Прн этом 9Л инвариантно относительно действия группы 11(р, д), так как эта группа оставляет ннварнантной форму з). Рассмотрим карту 21 в многообразии Грассмана С,(С ), в которой горизонтальной плоскостью Уо служит д-мерная координатная плоскость, соответствующая координатам (Ф + „..., Ф ), а вертикальной плоскостью У вЂ” р-мерная координатная плоскость, соответствующая координатам (Ф„ ... ..., з ).
Множество 9Л целиком лежит в карте й, поскольку лю'''> р бая плоскость А Е9Л не содержит векторов, принадлежащих У (на таких векторах й(е) отрицательна). Рассмотрим (зтз х д)-ма- составленную нз векторов базиса плоскости А (векторы выпи- сываются по столбцам матрицы У).
Тогда эрмитова форма с ма- трицей с>" Н с> положительно определена'): Легко видеть, что в терминах матриц И' и У условие (6.1) можно переписать следующим образом: Ит И > угу. (6.2) Л е м м а 6.1. Для любой илосмосгаи А е 9Л матпритза И~ иее ьзролсдезза. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы существовал такой вектор Ф е Уо> что И' Ф = О, то 0= 1~И'" ИГ7> г~У~ УФ=(УФ) (Уг)>0, что невозможно. С) На многообразии С,(С ) рассмотрим стандартные матричные координаты д-плоскостей в карте 2( Тогда условие (6.2) можно записать в виде *) Напомним, что запись А >0 озаначет, что зрмитова форма с матрицей А является положительно определенной, а А > и означает, что матрица А — В положительно определена 212 А с овлАсти кАРтанА-энгеля ГЛАВА 6, кОмплексные уРАВнения РиккАти Действительно, применив к матрице У~ У операцию сопряжения матрицей (И' '), получим (В.-')'(Ъ "~)(Вт'=(т 14-')'Р В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
