М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Впервые зту метрику описал К. Зигель в работе [111]. Рассмотрим две точки, Я, и Я, пространства со„. Определим выражение а(Я Я2) =(Я вЂ” Я)(Я, — Я,Г'(Я, — Я,)(Я, — Я,г!. Заметим, что рассматриваемое выражение аналогично формуле для матричного двойного отношения (5.1), примененного к матрицам Я,, Я2, Я„Я2. Однако функция о(Я„Я2) не является двойным отношением четверка точек Я, Я„5',, Я полуплоскости Зигеля, ибо если Я„Я2 е 6„, то Я„Я2 ф 8„.
Зигель доказал [111], что выражение о(Я„Я',) инвариантно относительно действия группы Бр(ть Ж) на 6„, Заметим, что при стремлении 5' к Я, сомножители Я, — Я и Я, — Я2 стремятся к нулю, а сомножители Я, — Я и Я, — Я2 — соответственно к -2 1ш Я, и к 2 1ш Я,. Обозначим через Я = Х+ еУ матричные координаты текущей точки 8„. Введем эрмитову форму*) !л'=ТГ(У-1( !г)ь -'( !г)).
(6.36) Прн и=! формула (6.36) задает метрику Г!ю +сар2 1!2 Лая .р иа плоскости Лобачевского в модели Клейна — Пуанкаре. $2. ПОЛУПЛОСКОСТЬ КЛЕЙНА — ПУАНКАРЕ И ПОЛУПЛОСКОСТЬ ЗИГЕЛЯ аа9 утверждение 6.3 (см. [111]). Действие Бр(п,й) 2 на (2 остпааллети лрмитпоау форму с!л инвариантпнои. а Доказательство. Напомним, что в силу утверждения 6.2 симплектические преобразования порождаются преобразованиями трех различных видов. Покажем, что метрика (6.36) при этих преобразованиях не меняется.
1) Отображение Х+ аУ (Х+ Р)+ Ж, Р = Р, очевидно, т не меняет с!л~. 2) При отображении ю ~-+ А(Х+ Л')А~, имеем Ы А с!ЯА~, с!У А дЯ Ат, У АУАт 1 -1 (Ат)-1У-1А Поэтому 4~2 Тг((Ат)-1У вЂ” 1А-1А 1Ы А (А ) 11'-1А-~А 1!ЯАт) =ТГ((А ) 'У ' 1Й У 'ИЯ Ат), и, следовательно, с!л сохраняется. 2 3) При отображении Х+Л'ь-а И'= — (Х+аЪ') имеем 2'= -1 = — И' 1. Далее, ,!Я= И-'(!!У)й~-, ЫЯ= ЪК ',(И~ И '. (6.37) Поэтому У= — '.(г-г)= — '.[Ю '-И-'], (6.38) 21 21 Пусть И' = !7+ 1У. Преобразуем выражение (6.38) двумя способами. Во-первых, 1 — -1 —, [Иг (И' — УУ)И' ']= — !У 21УИГ ' = И' УИ' '.
2е 2а В этом случае У ' = И'У 'И'. (6.39) Во-вторых, —, [УУ '(И' — И')И' ]= —. (И" '22УИ' ). 22' 21 ') Здесь под лл подрааумевается матрнца лХ + Глт, влементамн которой являются днфференцнальные формы 1-го порядка. В этом случае У-1=И У 'И'.
(6.40) ГЛАВА е. кОмплексные уРАвнения РиккАТН 4 2. полуплоскость клейнА — пуАнкАРе и полупласкОсть ЗНГеля 231 Подставляя (6.37), (6.39) и (6.40) в (6.36), получаем «(в2=ТГ(И~~.-!)У~~ 1,д~ ~ !И У-!И~И -!(1И )И-!) = =Тг(У ' «1И« Ъ' '«(ИГ). Итак, «1в — эрмитова метрика, инвариаитная относительно 2 действия Зр(п, В). Утверждение 6.3 доказано. П Утверждение 6.4.
Многообразие Ь„естпь симметприческое простпранстпво. До каз ат ель с та а. Покажем, что преобразование вида 3) И'«-« -'тт ' является инволюцией многообразия 8„. Действительно, это преобразование инволютивно, так как -( — И' ) = Ит. Неподвижные точки определяются саотноше-! -! нием -И' ! = И'" или И«~ = — 1.
Точка И' = е! — единственная в 1З„ неподвижная точка, так как для получения положительно определенного коэффициента при мнимой части надо извлечь арифметический квадратный корень из 1, который определен однозначно. Утверждение 6.4 доказано. Тем самым теорема 6.1 полностью доказана. О Замечание. Эрмитова метрика определяет на многообразии В„как риманову структуру Ке(«(в~), так и симплектическую структуру «н = 1ш(«!в~), т. е. это многообразие является одновременно и риманавым и симплектическим.
Если дифференциальная форма ш при этом замкнута, «1«о = О, то многообразие называется кзлеровым. У п р е ж н е н и е. Докажите, что форме 1«н(«Ге~) еемкнуте. Действие Зр(а,й) на границе полуплоскости Зигели. Как и в случае верхней полупласкасти Клейна — Пуанкаре, действие группы Зр(п, м) определяет компактификацию каждого из стратов границы многообразия 8„. Для того чтобы в этом убедиться, докажем следующее утверждение. Утверждение 6.5, Действие группы Зр(п,К) на обобщенной верят«ей полуплоскостпи Зигеля и на ее границе (если оно определено, тп. е. соотпветпстпвутощая обратпная матрица суи1естпвустп) не меняет ранга мнив«ой частпи 1 цыг.
Доказательство. Воспользуемсятеоремойб.1. Преобразование вида 1) не меняет мнимой части матрицы Л'. Преобразование вида 2) переводит матрицу У в сопряженную. Ранг У при этом не изменяется. Остается проверить, что при переходе к обратной матрице ранг мнимой части сохраняется. Пусть Гк У = я. Применим преобразование вида 3). Поскольку Ут = У, существует такое а Е И.(п), что в=.~.а =(о о) где 1 — единичная матрица порядка и. Положим А = ««Х«т . т Если матрица А + В невырождена, то существует обратная матрица (А+ «В) ', равная (А+ еВ) ' =(А — «В)(А +В) ! (6.41) (напомним, чта В = В). Из полученного равенства следует, что 2 ранг мнимой части матрицы (А+«В) равен й, так как коэффициент при мнимой части — матрица  — умножается в (6.41) на невырожденную матрицу. Если же А +В вырождена, то вырождена и матрица А+ «В, и поэтому преобразование 3) для такой матрицы не определено.
С1 В том случае, когда дробно-линейное преобразование не определено, па аналогии с проективным пространством его можно доопределить, переходя в другую карту. Переход в другую карту означает присоединение тех элементов, которые не лежат в исходной карте, но принадлежат ее замыканию. Присоединенные точки определяют компактификацию страта в,, которую мы будем обозначать через в„. Многообразие в, являясь компактификацией множества действительных симметрических матриц относительно действия группы обобщенных дробно-линейных преобразований, совпадает с многообразием Лагранжа — Грассмана Л(~ге). Преобразование Кэлн.
Преобразование . 1+в .г,=е 1 — г переводит единичный круг ф < 1 в верхнюю полуплоскость комплексной плоскости С. Обратное преобразование задается фор- мулой 232 ГЛАВА К КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ $ Э. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ КАКПОТОК НА ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ЗИГЕЛЯ 233 Обобщение этих формул иа верхнюю полуплоскость Знгеля называется преобразованием Кэли, Пусть Я и ~ суть (и х п)-матрицы, причем т!е!(! — Я) У~ О. Преобразованием Кэли называется переход от матрицы Я к матрице 1," (или обратно), задаваемый формулами ( = !(!+Я)(1 — Я)-', Я =(~ — 21)(~+ т1) '. Л е м м а 6.6.
Пустпь матрииа Я принадлежит областпи Зигеля тпипа 111, т. е. Я Е 1т1„. Тогда 1!е! (! — Я) у~ О. Доказательство. Найдем ядро матрицы 1 — Я. Имеем (1-Я)х= О, отсюда Ях= х. Тогда Я =, Ях=Х Составим квадратичное выражение хт(1 — ЯЯ) х=хтх — хтЯЯх=О. В силу определения обобщенного единичного круга (6.16) выполнено неравенство 1 — ЯЯ > О.
Поэтому х = О. С! Утверждение 6.6. Обобщенная верхняя полуплоскость Зигелл Я„анолитичесии эививалентпна областпи однородностпи типа !11 — обобщенному единичному кругу 9! =(Я~И(тт С)]Ят Я 1-ЯТЯ>О) Соотпветпстпвие между 1т1„и е„устпанавливается с помощью преобразования Кэли. Доказательство. Предположим, что ЯеЯ„. В силу леммы 6.6 определено выражение 1, = !(1+Я)(1 — Я) '. Очевидно, что 1, = 1, (так как матрицы (1 — Я) и (1+Я) коммутнруют). Докажем, что 1ш ~ > О.
В самом деле, 11П ь = 2.(~ — () = —.(4(1+Я)(1 — Я) 1+ !(!+Я)(! — Я) 1) = = 2((1 — Я) '!(1+Я)(1 — Я)+(! — Я)(1+Я)1(! — ЯГ')= =(1 — Я) ']1 — ЯЯ](! — Я) ' >О. Последнее неравенство выполнено в силу того, что получившееся выражение совпадает с результатом перехода к новым переменным для положительно определенной зрмнтовой ф11омы 1-ЯЯ > О. Этот переход заключается в умножении 1-ЯЯ на матрицу (1 — Я) ' слева и на комплексно сопряженную, транспонированную к ней матрицу справа.
(Напомним, что матрица Я симметрическая.) Такое преобразование не меняет положительной определенности формы. Следовательно, ~ 6 9„. Обратно, пусть т, е Ь„. Тогда матрица Я симметрическая. Действительно, имеем Ят = (Г,'~ + ь'1) '(~ — т'1). (6.42) Так как матрица ( симметрическая, а слагаемые в формуле (6.42) коммутируют, то Ят = Я. Нам осталось показать, что! -ЯЯ > О. Имеем 1-ЯЯ =1-(~+ 41)-'(( — ! 1)(~+ 41)(~ — ! 1)-' = = (~ + ! 1) 1](~ + ! 1)(1, — т' 1) — (Г' — ! 1)(Ь + ! 1)](Ь вЂ” ! !) =(~+ '1) '-.(С-О(('-!1) '= ! ,1 =4(~+!1) 1 —.(1ш ~)(1,' — !1) ' > О.
Последнее неравенство выполнено в силу того, что переход к новым переменным в положительно определенной эрмитовой форме не нарушает ее положительной определенности. Следовательно, матрица Я принадлежит обобщенному единичному кругу. О ф 3. Комплекснфицнрованное уравнение Риккати как поток на обобщенной верхней полуплоскости Зигели Пусть тт' = Х + !1' — комплексная (и х и)-матрица с действительной н мнимой частями Х и У соответственно.
Тогда если й' удовлетворяет уравнению Риккати Ф = (С+ И )4 1(Ст+ ЪР) — В глввА к комплексные РРАвнения РиккАтн 234 $ 3. РРАвнение РиккАти кАк поток нА веРхией полуплОскости энгеля 233 с действительными матрицами А, З, С, где А и З вЂ” симметрические матрицы, то для матриц Х и У мы получаем систему уравнений Х = — З+(Х+ С)А '(Х+ С ) — УА 'У, У УА-1(Ст+Х)+(Х+С)А-1У (6.43) Покажем, что система (6.43) определяет поток на обобщенной верхней полуплоскостн Зигеля. Те о р е ма 6.2.
Пустпь В'(г) = Х(г)+1У(г) — реигение систпел!ы (6.43) с начальным условием тт'(т ) Е 6„. Тогда тт'(г) й Я„при всех г. Доказательство. Полемме2.1 матрица 1т'(1) при всех значениях г остается симметрической. Обозначим через Ь(г) матрицу Ь(Ф) = А ~(г)[Х(г)+ С (г)), элементы которой будем обозначать через Лт,. Если Х(1) и У(1) — решение системы (6.43), то матрица У(г) удовлетворяет линейному уравнению типа Ляпунова У1 + 1тУ (6.44) Докажем формулу, описывающую эволюцию миноров матрицы У(1), являющейся решением этого уравнения.
Иными славами (см. $4 гл. 4), выпишем явно систему обыкновенных дифференциальных уравнений, ассоциированную с исходной системой для внешних степеней тривиального представления (при котором (и х и)-матричная группа реализована как группа линейных преобразований пространства К"). Через 1 или 7 обозначим набор из тп различных элементов множества 1,2,..., и через С,. — оператор на множестве этих наборов, заменяющий элемент, стоящий на т'-м месте, на элемент ет, т. е..С,«(4„..., 1',,..., 4 ) =(1„..., а,..., 4 ). Обозначим через Ь(1, .1) минор матрицы У(г), составленный из строк с номерами из набора 1 и столбцов с номерами из набора,?. Л е м м а 6.7. Имеет место формула т( а — Ь(1,,?) = 11 ~~т Л,.Ь(1, Е,.
(.1))+ т'Е.т а 1 а + Е Е Лв! А'(Ст (1)' '1)' (6'45) !Етл=1 Доказательство. Детерминант Ь можно продифференцировать двумя разными способами. В первом случае рассматривается сумма детерминантов, в которой поочередно дифференцируются столбцы Ь, а во втором — строки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
