М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Применим теорему 6.4, ваяв в качестве В„элемент -тс матрицы (6.70) (оставшаяся часть разбиения матрицы В определяется этим выбором однозначно). При таком выборе И' представляет собой (р+ 1)-мерный вектор, совпадающий с координатами (а„..., з„, н +,) проективного пространства СРР~ . Уравнение (6.51) в координатах зв имеет вид 4 к мАтРичный АИАлОГ ОпеРАтОРА шВАРцА Из теоремы 6.4 следует, что многообразие является интегральным многообразием системы (6.71). У и р а ж н е н и е. Проверьте втот факт прямым дифференцированием. Из уравнения (6.72) следует, что для начальных условий з е 2В последнее уравнение системы (6.71) является следствием первых р уравнений.
Таким образом, первые р уравнений си- 2 стены (6.7!) после подстановки в них г +, — — ~', н,. определяют у 1 уравнение типа Риккати, действующее на А — области Зигеля 1Ч-го типа: Р 1 Р Р я = — 77~+ ~ а'„ь;. + — Г' ~) з. + тсзь — р з У н,, (6.73) Т=! 1=1 т=! Ь=1,...,р. а 5. Матричный аналог дифференциального оператора Шварца В предыдущих параграфах обсуждалась комплексификация решения ту' матричного уравнения Риккати. Здесь мы рассмотрим уравнение типа Риккати с комплексным независимым переменным Ф.
Рассмотрим линейную 2ть-мерную систему дифференциальных уравнений Предположим, что матрица коэффициентов системы (6.74) составлена из аналитических функций, и, следовательно, они определены на некоторой римановой поверхности Х. Рассмотрим фундаментальную систему решений уравнений (6.74). Пусть т— произвольный замкнутый путь иа поверхности Х. При непрерывном изменении решений рассматриваемой фундаментальной системы вдоль пути т новые значения этих решений при возвращении в исходную точку, вообще говоря, будут отличаться от исходных значений. Однако они будут оставаться решениями системы 248 ГЛАВА 5.
КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ $5. МАТРИЧНЫЙ АНАЛОГ ОПЕРАТОРА ШВАРЦА 249 (6.74). Поскольку исходные решения образуют базис в пространстве решений, их новые значения являются линейными комбинациями прежних значений. Матрица коэффициентов этих линейных комбинаций называется лгатра14ей лгонодролгии, отвечающей кривой 7. Соответствующее линейное преобразование называется преобразованиелглгонодролгии. Напомним, что множество классов гомотопных замкнутых, путей на многообразии Х, выходящих из данной точки х, образует группу, групповая операция в которой соответствует последовательному прохождению сначала по первому пути, а затем по второму.
Эта группа называется фундалгенптальной группой многообразия с отмеченной точкой х и обозначается тг1(Х, х). Для связного многообразия все группы я1(Х, х) изоморфны, поэтому аргумент х можно опустить и писать просто тг1(Х). Преобразование монодромии, очевидно, определяет представление фундаментальной группы 1г1(Х) римановой поверхности Х, на которой определены коэффициенты системы (6.74), р: 5г (Х)- ОЦ2п,С).
(6.75) При переходе от системы (6.74) к матричному уравнению типа Риккатн, описывающему изменение координат и-мерных надпространств пространства С " Иг = С+ РИà — И'4 — И'ВИ', (6.76) представление (6.75) индуцирует представление группы тг1(Х) в группе БЦ2п,С), рассматриваемой как группа обобщенных дробно-линейных преобразований многообразия Грассмана р: тгг(Х) -+ 51.(2и, С). (6.77) Представление р однозначно определяет еаавное расслоение В с базой Х и слоем Я.(2п, С) и ассоциированное с ним плоское расслоение О со слоем С„(С "). 3 а м е ч а н и е.
Опишем стандартный способ построения О. Пусть 17(Х) — универсальная накрывающая поверхности Х. Определим диагональное действие тг1(Х) на 17(Х) х С„(С2") сле-- дующим образом: для д е тгг(х), и е 17(х) положим д(и, и') = = (д(а), р(д)ЪР). Фактормногообразия С(Х) х С„(С2") по этому действию й = 17(Х) х С„(С2")/7Г1(Х) и является искомым расслоением. Для того чтобы ввести координаты в слоях О, надо выбрать сечение И'~(») этого расслоения, которое задавало бы вертикаль2а ную плоскость, определяющую систему координат на С„(С ).
Хороший выбор сечения может существенно упростить уравнение. Например, возьмем в качестве И" (») какое-либо частное решение уравнения (6.76). Тогда при замене переменной ~ = (Иг Ио(»)) И У + Ио(») в уравнении типа Риккати исчезает квадратичный член. Действительно, уравнение (6.76) принимает вид И'= С+ РИà — Иг.4 — ИГВИГ = — Р 'Р'1Г 1+ Ф'(») = =-1' '1'~' '+ С+Р% — %~4 — %В%= =С+ Р(гг '+Ио) (г' '+Ио)~ (У +Ио)В(У +Ио).
Поскольку Ио(») есть решение уравнения (6.76), получаем ВИо ИоВ 1' 5 =-1'Р+ ИГ+(ВИ;)У+и(И,В)+В. Вводя для краткости новые обозначения, имеем ' Уг = К(»)Р+ УЬ(») + М(»). (6.78) Решение уравнения (6.78) можно построить следующим образом. Пусть Ф(») †решен матричного уравнения Ф= К(»)Ф, Ф(»о) =1, а Ф(») — решение матричного уравнения Ф=ФЬ(»), Ф(»,) =1. Тогда Х = Ф(»)СФ(») (6.79) является решением уравнения Х = К(»)Х + ХЬ(») при любой постоянной матрице С.
Далее, решение (6.78) получается из Х(») при помощи вариации постоянных. Тот факт, что во всех этих конструкциях ключевую роль играют обобщенные дробно-линейные преобразования, наводит на мысль о необходимости введения матричного аналога производной Шварца. ГЛАВА К КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ $ б. МАТРИЧНЫЙ АНАЛОГ ОПЕРАТОРА ПШАРЦА 251 Классический дифференциальный оператор Шварца. Производной Шварца от аналитической функции у: С -+ С комплексного аргумента з называется выражение Производная Шварца возникла в исследованиях Лагранжа, Шварца, Клейна и др, (см., например, как классические работы [92, 24, 109], так и более современные [28, 48]). Эта производная связана с теорией конформных отображений и проблемами униформнзации.
Как известно, для односвязных областей С одного комплексного переменного з важную роль играют конформные отображения у; С вЂ” ~ Х на внутренность единичного круга Х= [хе С[[а! < 1] с центром в начале координат. Для многосвязных областей С аналогичную роль играют конформные отображения 7: С- Х на внутренность К единичного круга Х с разрезами вдоль дуг концентрических окружностей с центром в начале координат. Функции, задающие это отображение, являются решениями уравнения Шварца, правая часть которого явно выписывается с помощью функции Грина области С (см.
[58, с. 273]). Оператор [Я(7")], обладает двумя важными свойствами: он инвариантен относительно дробно-линейных преобразований функции ~ и при дробно-линейных заменах аргумента з он преобразуется по типу квадратичного дифференциала. Помимо связей с теорией конформных отображений, оператор [Я(7")], имеет прямое отношение к проблеме модулей алгебраических кривых. А именно, с помощью оператора Шварца множество плоских структур на римановой поверхности Х свя-, зывается с пространством регулярных квадратичных дифференциалов на Х [48]. Мы продемонстрируем, следуя изложению Ф. Клейна, один из путей возникновения дифференциального оператора Шварца. Пусть з †комплексн переменная, принимающая свои значения на сфере Римана (комплексная плоскость с добавленной к ней бесконечно удаленной точкой). Группа аналитических изоморфизмов сферы Римана есть группа дробно-линейных преоб- разований После того, как Абель доказал неразрешимость уравнений 5-й степени в радикалах, рядом авторов (Эрмит, Бриоски, Клейн и др.
[61, 86, 24]) был найден способ выражения корней уравнения 5-й степени через эллиптические и гипергеометрические функции [40]. Для этого следует рассмотреть конечную подгруппу Г группы дробно-линейных преобразований, которые переводят некоторый правильный многогранник П, вписанный в сферу Римана, в себя. Далее рассмотрим алгебраические функции 7"(В), инвариантные относительно действия группы Г, степень которых равна числу вершин многогранника П.
Если приравнять такую функцию константе Я и рассмотреть уравнение 7(з) = Я, то решениями этого уравнения являются точки на сфере Римана, соответствующие вершинам многогранника П. Затем рассмотрим обратную к у(е) функцию Я(е), которая является многозначной. Для вычисления функции Е(з) найдем дифференциальный оператор, который остается ннвариантным при любой дробно-линейной подстановке. Пусть т1 — произвольная функция аргумента Я. Применяя к ней дробно-линейное преобразование, получаем функцию ап+ 13 7п+ б' Из этой функции и ее первой, второй и третьей производной можно составить инвариант группы дробно-линейных преобразований (т. е. выражение, которое не зависит от констант а, 11, 7, б).
Тем самым мы и получим дифференциальный оператор третьего порядка Я. Если в качестве функции Т1 взять функцию Я, то результат применения этого оператора будет одним и тем же для Всех ветвей функции Я(з). Поэтому значение функции Я(В) будет одним и тем же для всех ветвей функции е. следовательно, Я(В) является однозначной функцией, причем эта функция является рациональной функцией, так как Я есть алгебраическая функция аргумента з. Приравнивая Я(В) этой рациональной функции, получаем дифференциальное уравнение третьего порядка с рациональными коэффициентами, которое имеет частное решение ч™.
ап+,6 Найдем явное выражение оператора Я. Пусть ~ = 7П+ б' Дифференцируя по х тождество Тт~~ — ап+ б(' — 13 =О, 252 ГЛАВА а. комплексные уРАВнения РиекАти $5. МАТРИЧНЫЙ АНАЛОГ ОПЕРАТОРА ШВАРЦА 253 получаем 7(ц'~+у~')- ц'+К'=о, 7(т) ('+ 2т)'~'+ т)('л) — от)а -)- б~л = О, Т(П"'(+ 3ц"~'+ 3П'С л+ П(ы) — ОП" + бС щ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
