М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Уравнение Эйлера для функционала б .7 называется урав- 2 2 нением Эйлера — Якоби для исходного функционала .7. Оно имеет вид а ) а'у аь' ау "1~((У.)аф)~" в(у)8„"1 д'У дь' а'у +,, +, .ЬЭ=О, 1=1,...,тп. (7.17) Уравнение в вариациях. Пусть Ф т,у,—,... =0 ду (7.18) уравнение в частных производных относительно неизвестных функций у й М от независимых переменных г = (г,..., г ) й 1т'.
1 л Здесь ду/дг — (т х и)-матрица частных производных; точки стоят вместо производных высших порядков. Уравнением в вариациях уравнения (7.18) в окрестности его решения у( ) (нли просто уравнением в вариациях, если ясно, о каком решении идет речь) называется линейное уравнение в частных производных, полученное линеаризацией уравнения (7.18) в точках у( ): (7.19) дФ дФ дь(г) — Ь(ь) + — — +...
= О. ду а (а7~) дг Неизвестной функцией в этом уравнении служит Ь( ). Утвержден не 7.4. Пусть у(г, в) — однопараметрииеское семейство решений уравнения (7.18), содержащее при о' = 0 решение у(Т) и гладкое по совокупности арду гументпов, Тогда Ь(г) = — — решение уравнения в вариациях (7.19). а =о До ка з ат ел ь с т в о. Достаточно продифференцировать по в (при в =0) тождество, полученное при подстановке в (7.18) семейства решений у(г, о), и воспользоваться независимостью смешанных частных производных от порядка дифференцирования. С) Ут не ржде ние 7.5.
Уравнение Эйлера — Якоби (7.17) является уравнением в вариациях для уравнения Эйлера (7.15). Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим семейство решений у(1, в) уравнения Эйлера (7.15) в это уравнение и продифференцируем полученное тождество по о при в =О. Нетрудно проверить, что результатом дифференцирования является уравнение Эйлера — Якоби (7.17). П Определен ие. Решение уравнение Эйлера — Якоби называется якобиевьГм полем. Якобиевы поля можно описать с помощью геодезических вариаций. Определение. Семейство поверхностей у(ь',в) ($й й УУ; ~о~ < г) называется геодезической вариацией„если при 273 272 глкзл т.
многоме ное вгииционное исчисление 5 к ВектОРные РАсслоения каждом фиксированном значении тт многообразие у(г,а) есть решение уравнения Эйлера. Утвержден не 7.6. Пустпь у(г, о") — геодезическая ду(г, тт) вариация. 'Тогда ' — якобигво иоле на 7" (Ит). т=о Для доказательства остаточно п им д р енить утверждения 7.4 и 7.5. С1 Для произвольного многообразия М, на котором определен функционал,7, вторая вариация б .7 есть квадратичная форма на линейном пространстве векторных полей иа М, суженных на экстремаль К(.). Множество таких полей образует векторное расслоение. у 3.
Векторные расслоении О и р е д е л е н н е. Гладким вещественным векпторнылг (линейны и) расслоением над гладким многообразнем В называется гладкое многообразие Е, на котором определено гладкое отображение тг: Е- В, обладающее следующими свойствами: 1) прообраз любой точки Ь Е В есть подмногообразие Х' С СЕ, которое является линейным пространством, изоморфным Ж" (причем размерность и не зависит от точки Ь е В); 2) у любой точки ЬЕ В существует такая окрестность У, что ее прообраз я ' У днффеоморфен прямому произведению К" х У; обозначим этот диффеоморфизм через Ьх К" х У~ к 'У; 3) для любой точки Ь е У ограничение 6~в. „есть линейное взаимно однозначное отображение К" на тт 'Ь.
Многообразие Е называется и7тостпранстпволт расслоения,' В называется базой; отображение к называется проекцией; векторное пространство тт 'Ь называется слоем над точкой Ь. Пары -1 -1 (тт У, Ь ) образуют атлас локальных координат на пространстве расслоения Е. Условие 2) называется условием локальной тпривиальностпи (еслн в этом условии можно взять У = В, то расслоение называется тпривиальнылт). Условие 3) означает, что стпруктаурной группой векторного расслоения являются подгруппы группы ЙЦи). На пересечении карт (тт 'У, Ь ') возникает отображение К" — + К".
Группа, порожденная отображениями вида 3), называется стпруктпурной группой расслоения Если условие 3) заменить следующим требованием: 3') для любой точки Ь е У ограничение 6~к „ь есть ортогональное отображение К" на к 'Ь, то структурной группой расслоения является подгруппа группы О(и). П р и и е р 7.6. Хорошо известным примером векторного расслоения является лист Мебиуса, который получается следующим образом.
В плоскости Кг с декартовыми координатами (х, у) рассмотрим прямое произведение отрезка 10, 11 осн Ох иа ось Оу. Отождествим точки (О, у) прямой х=0 с точками (1, — у) прямой х = 1. Получим векторное расслоение, базой которого является окружность, а слоями — прямые х = сопз1. Структурной группой этого расслоения является циклическая группа второго порядка гг. П р и м е р 7.7 (каноническое линейное расслоение). Представим вещественное проективное пространство КР" как множество неупорядоченных пар (х, — х), где х пробегает единичную сферу Я" С К"+1. Пусть Š— подмножество в КР" х Ж"+1, состоящее из всех пар ((~х), тт), в которых вектор тт кратен вектору х. Определим проекцию к((+х), о) = (~х).
Тогда слой тт ((хх)) можно отождествить с прямой, проходящей через х н -х в К" + ', Получившееся линейное расслоение называется каноническилт линейны и расслоениелт над КР" н обозначается т„. Докажем, что 7„' локально тривиально. Пусть У С Я" — настолько малое открытое множество, что оно не содержит никакой пары диаметрально противоположных точек.
Пусть У— образ У в ЖР". Тогда гомеоморфизм Ь: У, х Ж вЂ” > тт '(У1) задается формулой Ь((хх), г) = ((~х), гх). Очевидно, что (У, Ь 1) есть локальная система координат. В каноническом линейном расслоении базой служит множество прямых (каждая прямая рассматривается как точка проективиого пространства), проходящих через начало координат пространства К"+, а слоями — сами эти прямые, рассматриваемые уже не как единое целое, а как совокупность своих точек. Поэтому т„иногда называют тпавтпологическим расслоениелт.
1 П р н м е р 7.8. Каноническое векторное расслоение Т~~~ над многообразием Грассмаиа С„(Ж") состоит из всевозможных 274 ГЛАВА т. мнОГОмерное ВАРиАционное исчисление паР ((т, х) Е Сь(К") х Ж", где (т — Ь-меРное линейное подпРостранство, а хе и". Базой ~„служит многообразие Грассмана; проекция сопоставляет каждой паре ( Р', х) первый элемент этой пары — подпространство 17. У п р а ж н е н и е. Докажите, что т„локально тривиально.
ь Пример 7.9. Касатпельное расслоение тм гладкого многообразия М состоит нз множества Всех пар (г, х), где г е е М, а х — касательный вектор к М в точке Е. Проекция задается формулой к(г, х) = ~. Условие локальной тривиальности очевидно. П р и ме р 7.10. Нормальное расслоение мм гладкого многообразия М, вложенного В риманово многообразие 9Я состоит из множества всех пар (г, о), где г е М, а и — вектор, касательный в точке г к многообразию 9Я и ортогональный касательному пространству к М в точке г. Определение. Сечениеле векторного расслоения с базой В и пространством расслоения Е называется всякое непрерывное отображение в:В- Е, которое переводит каждую точку Ь Е В в некоторую точку слоя и.-'Ь.
Сечение называется всюду ненулевым, если для каждой точки Ь вектор в(Ь) ненулевой. Векторное поле на многообразии М является сечением касательного расслоения тМ, Очевидно, что тривиальное расслоение обладает всюду неиу- ЛЕВЫМ СЕЧЕНИЕМ. Покажем, что расслоение )„' из примера 7.7 таких сечений не имеет. Композиция стандартного отображения Я"-+ ВР" и сечения л переводит точку х Е Я в некоторую пару ((~х), г(х)х).
Функция т(х) — непрерывная вещественная функция от х, удовлетворяющая соотношению г(-х) = -г(х). Так как пространство Я" связно, то по теореме о промежуточном значении существует точка т такая, что г(хо)=0. Следовательно, ~„' — нетривиальное расслоение. Упражнение. Покажите, что расслоение т, совпадает с листом М6- ! биуса (см. пример 7.6). Е 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА Определение. Сечения в„л,...,в„называются всюду независимыми, если для каждой точки Ь к В векторы в,(Ь),...
..., в„(Ь) линейно независимы. Т е о р е и а 7.1. Вектпорное расслоение — с размерностпи п тпривиально тпогда и тполько тогда, когда оно довускаетп ть всюду независимых сечений. Доказательство. Если С вЂ” тривиальное расслоение, то для построения всюду независимых сечений достаточно взять базис одного нз слоев и продолжить его как постоянные функции на все остальные слои. Обратно, пусть г„...,в„— всюду независимые сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
