М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть х= (х„..., х„) — координаты в )и". Зададим отображение 7' В х Ж" -+ Е формулой ~(Ь, х) = х, в,(Ь) +... + х„в„(Ь). Очевидно, что 7 является непрерывным отображением, которое изоморфно отображает каждый слой тривиального расслоения на соответствующий слой расслоения с. Следовательно, С тривиально. П 9 4. Расиределеиия и теорема Фробеииуса Пусть М вЂ” гладкое и-мерное многообразие. Определение. Закон, сопоставляющий каждой точке е Е М к-мерное векторное подпространство касательного пространства к многообразию М в точке г, называется Ь-мерным распределением (или распределением Й-мерных плоскостей) на М.
Распределения можно задавать двумя способами: с помощью базиса и с помощью системы линейных уравнений. В первом случае распределение Ж задается набором из Ь линейно независимых в каждой точке векторных полей Х,(г),...,Х„(г); вектор касательного пространства Х е т М принадлежит распределению И', если Х является линейной комбинацией векторов Х,(го),...,Х„(г ). Во втором случае распределение И' задается набором йз (и — Ь) линейно независимых дифференциальных форм первого порядка (для краткости мы будем говорить: Аналогично, Наконец, 276 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1-форм) — ш„..., ш<„ю, вектор касательного пространства Х принадлежит распределению В', если все эти дифференциальные формы обращаются на векторе Х в нуль. Поясним, что в каждой фиксированной точке г е М набор условий ш,.(Х) =0 определяет для координат Х касательных векторов в точке т систему из и — й линейных уравнений.
Коль скоро уравнения этой системы линейно независимы, она определяет й-мерное линейное надпространство касательного пространства в точке 2. При изменении 1 мы н получаем распределение ЪУ. Дифференциальные формы ш,..., ш „ю называются базисными формами для распределения И'. Распределение называется гладним, если его можно задать с помощью базиса, состоящего из гладких векторных полей (или соответственно из гладких дифференциальных форм). Л е и м а 7.1 (формула Картана).
Пусть А,  — вектпорные поля, ш — дифференциальная 1-форма на многообразии И'. 'Тогда аш(А, В) = А(ш(В)) — В(ш(А)) — ш(1А, В)). (7.20) До к а з а т е л ь с т в о. Запишем наши величины в лад; д кальных координатах. Пусть А=А*(г) —, В=В'(Ц вЂ”,, ш = = с.(г)с(й. Тогда дг дг' Подставляя эти выражения в (7.20), получаем У дс. дс,. т аш(А,В)=~~ — ~. — — '.~(А*В' — А'В'). (7.21) д4 зсз Найдем действие векторного поля А на функцию ш(В) = -'7~ . ,.дс,,, дВ' А(ш(В)) = А' — ~.ВУ+ А'с,.—, (7.22) ,.
дс,,; дА' В(ш(А)) =- В' — (А' + В*с —.. (7.23) дг' дь' ( ,.дВ' ,дА'~ ш((А, В)) = с А' —. — В' —.). (7.24) д' д') 9 4. РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИРСА 277 Вычитая из (7.22) выражения (7.23) и (7.24), получаем требуе- мый результат. П О п ре де лен и е, Говорят, что дифференциальная 2-фор- ма В принадлежит идеалу, порожденному 1-формами ш„... ..., ш<„ьр если она представима в виде и — й В = ~~1 ВГ д ш,, э'=1 где В. — некоторые 1-формы. У т в е р ж д е н и е 7.7 (крнтерий принадлежности идеа- лу). Рассмотрим идеал 1, порожденный формами ш„...
..., ш<„А . Дифференииальная 2-форма В принадлежит идеалу 1 в том и тольно том случае, если для любыя двуя веитпоров, Х, У, принадлежащих распределению 14', по7южденному формами ш,..., ш1 А, выполнено равенст- во В(Х,У)=0. Доказательство. Воднусторонуугверждение очевзд- но: если ВЕ1 и Х, Уе $У, то В(Х, У)=0, поскольку В,.Л ш,.(Х, У)=бе1 ~ '( ) '® Докажем утверждение в другую сторону. Пусть В(Х, У') = = 0 для любых Х, У б И'.
Присоединим к формам ш,, (= 1,... ..., и- й, некоторые формы а„..., а„так, чтобы в каждой точке я ЕМ полученный набор образовывал базис в кокасательном пространстве т*М. Разложим форму В по этому базису: В = ~'~ш,. д ш. + д" ш,. д а, + Ь'~а, д аг (7.25) В касательном пространстве т М выберем базис А „... .. „А, В„..., В„„, двойственный к базису а,, ш, Последнее означает, что: а,.(А,.)=1, а,.(А.)=0 прн еф7', ш,(А,.)=0 при всех г; ш.(В ) =1, ш,.(В.)=0 при (ф 7, а,(В.)=0 при всех г.
Форма В принадлежит идеалу Х тогда и только тогда, когда все коэффициенты йи тождественно равны нулю. Действительно, предположим, что а некоторой точке один из коэффициентов $ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 279 гтв ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ М',-~ О. Тогда по формуле (7.25) значение формы И на паре векторов А„А, отлично от нуля. Но А„А, е И'. Полученное противоречйе доказывает утверждение.
П Пусть И' — гладкое я-мерное распределение. О предел е н не. Распределение гУ называется инволюгпивкым, если выполнено одно из следующих двух условий: 1) коммутатор двух любых векторных полей„принадлежащих распределению И', также принадлежит И', 2) пусть ю„...,ьь, „ — базисные формы распределения РУ.
Тогда с(м,. принадлежат идеалу, порожденному формами мо ( = 1,..., и — Й. Утвержден ие 7.8. Условия 1) и 2) зхвивалентпны. Доказательство. Рассмотрим поля А,В Е И~. Пусть выполнено условие 2). Тогда, согласно утверждению 7.7, йо(А, В) = О. В силу формулы (7.20) имеем ш(1А, В]) = = О, что и означает выполнение условия 1). Пусть выполнено условие 1) и ш„..., ш„ь — базисные формы распределения И~.
Тогда получаем, что (7.26) Ым,.(А, В) =0 для всех векторных полей А, В б И'. В силу утверждения 7.7 это означает, что йиг Е 7. П С понятием распределенпя тесно связано понятие слоеная. Начнем с простейшего примера, который тем не менее с точки зрения локального строения описывает общую ситуацию.
Пусть К" есть и-мерное езклидово пространство, 0 < й < гь Рассмотрим пространство К" как объединение я-мерных плоскостей КА вида (7.27) где с,, — произвольные константы, В этом случае говорят, что подпространства, задаваемые уравнениями (7.27), являются слоями, а пространство К" расслоено на й-мерные слои или что на К" задано й-мерное слоение.
Дадим теперь общее определение слоения. Пусть А — некоторое множество параметров сг, М вЂ” гладкое п-мерное многообразие. Определение. Семейство гладких й-мерныхподмногообразий Ь С М называется я-мерным слоением на многооб- разин М, если через каждую точку же М проходит одно и только одно из многообразий Ь, и при этом выполнено следующее условие непрерывности: каждая точка х б М обладает такой окрестностью сГ„ что ограничение слоев 7 на окрестность (7 описывается уравнениями 71(х) = с„..., 7А ь(х) = с„ гау,~ где функции,~,.
гладкие, а матрица Якоби ~ — '. ~ имеет макси~В* 1 мальный ранг (равный п — Й) во всех точках ж б 17. Приведем пример ~аспределения, которое не определяет слоение. Пусть я, з, я — декартовы координаты в К . В кажг з дой из горизонтальных плоскостей я = с выберем свое семейство з параллельных прямых. Предположим, что направления этих прямых прн изменении константы с меняются разрывным образом.
Тогда построенное семейство прямых не удовлетворяет условию непрерывности, и поэтому не образует слоения на Кз. Пусть М = К'. Рассмотрим я-мерное слоение. Функции 7;. можно выбрать за новые переменные в К". Тогда слоение окажется локально эквивалентным слоению, заданному формулами (7.27). Однако глобальное строение слоения может оказаться достаточно сложным. П р н м е р 7.1!. Примером одномерного слоения служит семейство интегральных кривых произвольного гладкого поля направлений на многообразии М. Это — типичный пример слоения размерности 1. П р и м е р 7.12 (слоение Риба).
Пусть В' — окружность: Я' = ехр(2ггЕЯ, 4 е К; аз — двумерный диск, задаваемый в декартовых координатах соотношением (х + у < 1). Прямое произведение Р = А)г х В' называется полногпорием. Рассмотрим функцию ехр(г /(1 — г )). Пусть г равно расстоянию до центральной оси полнотория Р, а 11 — углу поворота на Окружности. о . Рассмотрим некоторую двумерную поверх! ность А.о в Р, параметризованную точками (х, у) диска Ог: Ьо — — (х3 93,~(Ж3 Р))1 где 13(х, у) = ехр 2 я( ехр 280 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 8 4.
РАспРеделения и теаРемА ФРавеннусА 281 Слои слоения Риба получаются из поверхности То поворотом на произвольный угол сс: Ь =((х, у), ф(х, у)+ а)). Очевидно, что через каждую точку полнотория проходит один и только один слой. Построенное семейство слоев, очевидно, гладко зависит ат точки (х, у,!У) Е Р. Приведем образ, который может помочь читателю наглядна представить себе слой Ьз. Представим себе змею, свернувшуюся внутри торической трубки, которая начинает заглатывать свой хвост.
При этом хвост остается неподвижным, а змея удлиняется. Тогда диаметр головы змеи стремится к диаметру трубки. После бесконечного числа оборотов кожа змеи образует слой То, который является двумерной поверхностью, гомеоморфной К~. Остальные слои имеют то же строение; легко видеть, что различные слои либо нигде Рис. 7.1 не пересекаются, либо тождественно совпадают.
Единственным компактным слоем слаения Риба является поверхность тора, к которому асимптотически приближается каждый из слоев (рис. 7.1). П р и и е р 7.13 (слаение Риба на трехмерной сфере). Зададим сферу Я уравнением г+ г+ г+ г где (х, у, г, ю) — декартовы координаты на Ж .
Очевидно, чта 4 двумерный тар Т, описываемый уравнениями Т = (х + у = г~ + иР = 1/2), является подмножеством этой сферы. Тор Т разбивает сферу д~ на два кангруэнтных полнатария: х +у <г +н72, г +и (х +уг. Рассмотрев внутри каждого палнотория слоение Риба из примера 7.12, получим слоение Ряба на сфере вз с единственным компактным слоем Т.
Подмногообразие О! С М называется ингпегрольньгл4 многообразием распределения 77', если все касательные плоскости к многообразию 1!7 принадлежат распределению И'. Определение. Распределение й' размерности й на многообразии М назынается вполне иптпггрируелгььль если на М существует Й-мерное слоение„все слои которого являются интегральными многообразиями распределения %'. Т е о р е м а 7.2 (теорема Фробениуса). Роспределенке вполне инпгегрируелго Гпогда и только Гпогдо, когда оно иКВОЛЮ7ПиВПО. Д о к а з а т е л ь с т в а. Предположим, чта распределение $У вполне ннтегрируемо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
