М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть 1(д) — произвольный путь на многообразии М. В точке 1(0) рассмотрим два произвольных вектора, Хр и у~. Перенесем эти векторы вдоль кривой Ф(д). Построенные на кривой 1(д) поля обозначим через Х и г. Через д,.'1~» обозначим результат параллельного переноса тензора д," вдоль кривой г(д). По определению параллельного переноса тензоров значение метрического тензора д,'.,~~» на паре векторов Х и У постоянно вдоль кривой Ф(д) и совпадает со своим начальным значением в точке Е(0). С другой стороны, по определению связности Леви-Чивита скалярное произведение векторов Х и У относительно метрики на многообразии М (т. е. действие исходного метрического тензора д,, на поля Х н У ) также постоянно вдоль $(д) и совпадает с тем же начальным значением. В силу произвольности полей Х и 1' на кривой Ф(д) выполнено равенство д,'.,~~»(Ф(д)) = д,,(Г(д)).
В силу произвольности Е(д) получаем, что тензор д,, ковариантно постоянен. П Сл е дс т в и е 7.1, Ковариантпная производная лсетприческозо тпензора отпноситпсльно связностпи Леви-Чивитпа 292 ГЛАВА т. мнОГОМеРнОе ВАРиАциОнное исчисление б б. сВязнОсть леВи-чиВитА тпождестпвенно равна нулю: (7.45) Доказательство. Достаточно использовать теорему 7.3 н формулу (7.44).
Далее, как обычно, через (дм) обозначается матрица, обратная к матрице (д,,). Т е о р е м а 7.4. Связноспъь Леви-Чивитпа на римановом многообразии суи«естпвуетп и единстпвенна. В локальных координатпах она задаетпся формулами 1 /дд, ддгу ддц'~ Г, =-д ~ — *. + —.— — ~. 2 ~ дт' дтт дт'!' Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим Г~.д„, через Г, т, Тогда равенство (7.45) примет вид Г.. +Г. АЗА Гм д«А Условия симметричности связности означают, что ГТ,А — — Гт А, Переставляя циклически индексы т, т', к, получим Г ы+Г (7.45) +Г ддт «',Ат $,«3' д«3 ' Сложим второе и третье уравнения системы (7.46) и вычтем из нх суммы первое. Используя условие симметричности связности, получим 17дд„. дд,, дд,,т 2 ~, дат д~и дг",7 что и доказывает теорему.
П Величины Г,у называются символами Кристпоффелл. Мы встречалнсь с ними в гл. 1, когда выписывали уравнения геодезических на римановом многообразии. Напомним, что эти уравнения имеют вид „Ит' а~' — + Г".. — — = О, Й = 1, . - ., п. ' (в(в Сопоставив уравнение геодезических с уравнением параллельного переноса векторов (7.42), заключаем, что кривая т( ) является геодезической тогда и только тогда, когда поле ее касательных «1Е векторов — образует параллельно перенесенное (в смысле связ- «(В ности Леви-Чивнта) векторное поле вдоль кривой т(.).
Часто это свойство берут за определение геодезических на многообразии со связностью. Крученые м кривизна связности векторного расслоения. Далее мы будем рассматривать произвольное векторное расслоение тт: Š— + М. Пусть 17 — связность на произвольном векторном расслоении Е; Х, 1' — два произвольных векторных поля на Е. Используя оператор ковариантного дифференцирования, построим два следующих тензорных поля со значениями в расслоении Е [27[. О и р еде ле н ие. Кручением связностпи Ч называется тензорное поле Т, значение которого на паре полей Х, У равно векторному полю, определяемому формулой Т(Х, У) = Ч (У) — Ч„(Х) — [Х, У[, где [Х, У] — коммутатор векторных полей Х и У. Определение.
Кривизной связностпи Ч называется тензорное поле В, значение которого на паре полей Х,У равно полю линейных операторов, определяемому формулой Л(Х, У) = Ч Ч„вЂ” Ч Ч В случае, если расслоение Е является касательным расслоением, справедлива следующая теорема. Т е о р е м а 7.5.
Связностпь на касатпсльном расслоении т являетпся силтметпричной тпогда и тполько тпогда, когда ее кручение равно нулю. Дока зател ь ство. Действительно, Т вЂ”,— =Чз Воспользуемся утверждением 7.12 и тем, что коммутатор координатных (и тем самым постоянных в данной системе координат) 294 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5 з, сВязность леВи-чиВитА векторных полей равен нулю. Тогда нетрудно проверить, что полученное выражение равно (Г..-Г..) —.
д 3 У дг Найдем выражение тензора кривизны через коэффициенты линейной связности расслоения Е. Обозначим оператор Чзрп через Чт В этих обозначениях формула (7.43) имеет вид Эта формула дает возможность вычислить результат действия 7'д д1 д оператора В ~ —,, —.) на базисный вектор —. Имеем ~дг*' д»7) д»~ д д Коммутатор векторных полей —,. и —. равен нулю. Следовад»' д»~ Обозначим выражение через В„,, Тогда имеем _#_д д» д, д (7.47) ~дг" де') дг' '*'дгг Формулу (7.47) можно переписать в ннвариантных терминах, используя дифференциальную форму связности ю = г(х+ Г(т)хсзр т.
О и р е д е л е н и е. Внешним нов ариантпным диффсрснчиалом векторнозначной дифференциальной формы ат называется дифференциальная форма Ро7, значение которой на паре касательных к Е полей У, Я равно значению внешнего диффе- ренциала дат на горизонтальных компонентах векторов У, Е Р (1; г) = ЫЩУ), й(г)). Форма Ры, где аг — форма связности, называется формой кривизны связности Ч. Утвержден ие 7.13. Координатпь» В, х тпснзора » хривизны всхтпорного расслоения Е в тпочхе (г, х) равны хозффициентпам формы хривизны этпого расслоения: (Р»з) = В», х т»»'Л т»»7. Доказательство. Внешний дифференциал формы ы равен ! ! 4ы = И(Г .х ИЕ') = — ~ —. — —.*) х Йг' Л»»г + ~7дГ„. дГ,~ „ 2~» дх' дх') + Г», Их" Л ИГ'.
(7.48) Для того чтобы получить значение формы Иы на горизонтальных компонентах векторов У, Я, надо, используя формулу (7.37), подставить вместо»»х' выражения Ых' = -Г'„гх~ИЕ» (сменив предварительно для удобства индекс суммирования х на з во второй группе слагаемых формулы (7.48), содержащих»»х). В результате мы получим дифференциальную форму ~дГ'„.
— — — — '.* -Г'. Г'. +Г' Г'. х" (Е»Л (Г'. П 2~дх' дх' '~" 7" ",/ Связность называется плосхой, если ее тензор кривизны равен нулю. Зафиксируем первый нижний индекс х коэффициентов связности Гы (отвечающий суммированию по координатам векторов слоя) и обозначим полученную матрицу с элементами Г'» через Г„. Тогда условие того, что связность является плоской, можно записать в матричной форме дГ„дГ, —" — — '+(Г,Г ]=О, д,! где (Г», Г,1 — коммутатор матриц Г и Г,.
296 ГЛАВА т. мнОГОмеРное ВАРиАционное исчисление 3 а и е ч а н и е. Все утверждения зтого параграфа справедливы и для псевдориманова многообразия, т. е. многообразия с невырожденной, но не обязательно положительно определенной метрикой. 9 7. Условия иеотрицателъиости второй вариации Вернемся к многомерному вариационному исчислению. Изучение условий неотрицательности второй вариации многомерного интеграла началось с работы А. Клебша 1691, который исследовал функционал Дирихле р"(О) = в2.7 =- агу ай' М~ агу дйт „,. .'~ ж ((.) ау 2 +, Ь'112 Ы2. ду*ду' Идея Клебша состоит в сведении зтого функционала к интегралу от главных членов подынтегрального выражения, т.
е. к членам, содержащим произведения первых производных искомой вектор-функции. По-видимому, Клебш исходил из интуитивного убеждения, что для многомерного интеграла справедлив примой аналог условия Лежандра — вторая вариация неотрицательна, если квадратичная форма старших членов подынтегрального выражения, определенная на (их Р)-матрицах дх* у а дават неотрицательно определена при всех 2. В работе Ж. Адамара 1811, вышедшей почти через полвека после работы Клебша, было выяснено, что зто не так.
Адамар нашел следующее условие неотрицательности второй вариации. Теорема 7.6 (необходимое условие Адамара — Лежандра). Пустпь функционал Б .7= ау (2) — — +2с~(2) — хз+Ь..(2)х1хз Ы2(749) $ ь услОВия неОТРН11Ательности ВТОРОЙ ВАРиАции 2вт неотрицатпелен при х( ), удовлетворяющих граничнььм условиям 4з.=о. Тогда при всех значениях 2 Е Ф квадратичная форма аф2)у у~1 принимает неотрицательные значения на всех (и х и)-матприцах вида у' = ~тт1 (т. е. на всех матприцах ранга 1). Утверждение теоремы 7.6 можно переформулировать следующим образом: при всех значениях 2 е Ж' биквадратпичная форма а, (2)С'$2т1 Ц, неотрицатпельна при всех С й К",ц Е ЧАА .
Доказательство теоремы 7.6. Предположимпротивное: пУсть пРи некотоРом го е тт сУществУет такаЯ матРица ~ттГ, что ;,Л(2)~'~'т1 т1 сО. Используя это неравенство, построим вариацию сечения х=О, на которой функционал (7.49) принимает отрицательное значение. Без ограничения общности можно считать, что Го = О; вектод д ры с и т1 по модулю равны единице, причем тт = —, а с' = —. д21' дх, Поскольку вариация сечения х = О будет строиться в любой сколь угодно малой окрестности точки 2 = О, для простоты выкладок можно считать многообразие $У' плоскостью.
Изменения, которые при этом возникают, приводят к добавлению бесконечно малых высшего порядка по сравнению с главными членами, определяющими знак второй вариации. В плоскости х= О рассмотрим прямоугольный параллелепипед д с центром в точке 2 = О. Одно из ребер зтого параллепипеда направлено по оси тт и имеет длину 2е (где в — достаточно ма- 2 лая положительная константа) длина остальных ребер равна 2е. Они также направлены по координатным осям. Грань параллелепипеда о, лежащую в плоскости 2 = е, обозначим через Л+,. 1 2 а грань, лежащую в плоскости 2 = — в,— через Л .
Обе гранив 1 2 зто кубы с ребром 2в. Л е м м а 7.3. Пересечение тг-мерной плоскости, задаваемой уравнением х = Р 2+ ХГ, с плоскостпью х = О (в случае, если это пересечение непустпо) является (тг — 1)-мер- 298 ГЛАВА 7, МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 7. Рсловия неотгицлтельности Втоэой ВАРНАции 299 нои плоскостью тпогда и только тогда, когда ранг лтатпри- т!ы Р равен единиие.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Искомое пересечение определяется решениями линейной системы уравнений Р2 + К = О, которая имеет Р— 1 независимых решений в том и только том случае, когда ранг матрицы Р равен единице. П На параллелепипеде д как на основании построим много- гранник Я, боковая поверхность которого при построении вари- ации заменит Основание д, Построение вариации мы будем проводить в плоскости 2 З х = х =... = х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
