М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В силу следствия 8.1 функционал (8.1) сводится к виду (8.3), если левые части уравнения Эйлера для обоих функционалов тождественно совпадают: Ы вЂ” — (а( х~+с тх )+(с,ьхь+ Ьых ) = = — — (ат х~ — а, итьтх~)+( — аь.то!х~+а,.ю'иг!х ). (86) Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при х~, получаем равенство — с )+ с)„= а, ит„' — а„.ю,'., которое выражает условие симметрии матрицы а,, юг + сы н м.и.з (8.7) (8.9) х~ „=О. (8АО) 11* 322 ГЛАВА 3. О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ч ерез А обозначим (п х п)-матрицу с элементами а,, через С— — (п х и)-матрицу с элементами с1. и через И' — (п х и)-ма- 12 трицу с элементами ы,, Тогда имеем (АИ'+ С ) =(АИГ+ С ). Приравнивая в (8.6) коэффициенты при х~, получаем равенства а' — (а1 и11А + си)+ а, и1„'и1,'.
— 61А — — О, которые в матричной форме имеют вид Т вЂ” (А И' + С ) + ИГГА Ж вЂ” В = О. (8.8) В в том случае, когда матрица А невырождена (что соответсует выполнению усиленного условия Лежандра), из уравнения (8.8) можно получить уравнение Риккати (2.8). Действительно, обозначим матрицу А И'+ С через -Я.
Тогда ИГ= — А 'Я вЂ” А 'С и уравнение (8.8) превращается в уравнение Риккати (2.8) ~Ж вЂ” — (Г+ С)А '(Я+ Ст)+ В=О. Условие симметричности (8.7) превращается в прежнее условие симметричности матрицы Л' (или, что то же, в условие лагранжевости плоскости с координатами Я). Итак, мы получили уравнение (8.8) — другой вид уравнения Риккатн. Это уравнение не разрешено относительно производной.
Более того, оно имеет особенность в тех точках г, где вырождается матрица А. Его преимущество, по сравнению с уравнением (2.8) заключается в том, что оно остается справедливым без каких бы то ни было условий на матрицу А. Теорема 8А. Предпологгим, что А >О. Пусгпь сушествует решение $у'($) уравнения (8.8), определенное на всем отрезке 1го, г11 и такое, то матрииа АИ'+ С симметричеснал. Тогда фуниционал (8.1) неотрииателен. Д о к а з а т е л ь с т в о. Условия теоремы 8.1 дают возможность свести функционал (8.1) к функционалу (8.3), неотрицательность которого следует из неотрицательности матрицы А.
П А 2. СВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕ К ИНТЕГРАЛУ ОТ ЕГО ГЛАВНОЙ ЧАСТИ 323 у 2. Сведение интеграла Днрихле к интегралу от его главной части Рассмотрим кратный интеграл как функционал, заданный на подмногообразиях риманова пространства, по которым производится интегрирование. Граница подмногообразий для простоты предполагается фиксированной. Пусть % — гладкое Р-мерное риманово многообразие с краем 891; 1Г: С' — >% — векторное расслоение над базой М. Слой к '$, т. е. полный прообраз точки ТЕ% при отображении к, является п-мерным линейным пространством, которое будут обозначаться через Р1. Локапьные координаты на 91 будут обозначаться через 2 = (2,..., г"), координаты на слоях — через х = =(х,..., х").
Рассмотрим квадратичный интегральный функционал (функционал Днрихле) где функция Р в локальных координатах имеет вид г = а, (Т) — — З+2с,"(Т) — хг+ 6,"Ях1х'; а1 есть элемент объема многообразия %: 111 = Ю' л... л дг"; а,,!', с„., 6,, — гладкие функции, заданные на многообразии ОТ. Здесь и в дальнейшем используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, причем латинские индексы относятся к координатам на слоях и пробегают значения от 1 до гь а греческие индексы относятся к координатам на базе и пробегают значения от 1 до Р. Функционал,7 рассматривается на пространстве С (С)-гладких сечений х( ) расслоения С, удовлетворяющих граничным условиям Восходящая к работе Клебша 1691 идея исследования функционала Дирихле состоит в его сведении (с помощью надлежащего выбора представителя в соответствующем классе когомологий), к интегралу от главных членов подынтеграпьного выра- 324 ГЛАВА З.
О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ $2. свеле5ие интеГРАлА ДИРихле к интеГРАлу От еГО ГлАВИОЙ чАсти 325 женин падут 1)т' ((т % где у( = — — то'ьх, а через ит',(т) обозначены некоторые функции, которые надо подобрать. Прибавим под знаком интеграла (8.9) замкнутую дифференциальную форму. Легко видеть, что вследствие стягяваемости слоев векторного расслоения н в силу граничных условий (8.10) значение интеграла от этого не изменится. Чтобы структура подынтегрального выражения не изменилась, прнбавляемое выражение (так же как и исходное подынтегральное выражение в функционале,7) должно быть квадбх ратичным по переменным х,— дг Уравнение Эйлера для функционала (8.9) выглядит следующим образом: Л е м м а 8.2.
Уравнение Эйлера для функционала (8.9) тозгдестпвенно выполняется тпогда и тполько тогда, когда подьтнтпегральнос выраггение мотсет быть записано в виде залькнутой дифференциальной формы д на расслоении С. Доказательство. Покажем сначала, что из тождественного выполнения уравнения Эйлера следует, что подынтегральное выражение (8.9) может быть записано в виде дифференциальной формы на с. Обозначим через (аг) внешнее произведение всех дифференциалов аг Л...
Л ((г", за исключением сомножителя ((г", а через (аг) внешнее произведение всех диффеРенциалов аг' Л... Л ((т", за исключением сомножнтет з лен т(г н ((г . Слагаемые подынтегрального выражения вида д 1 Ь, хтхт г(г и с, — х' т(г=(-1) с,,хт((х*Л(г(г) уже имеют вид дифференциальных форм на С. Коэффициенты при главных членах подынтегрального выражения а,,~ должны быть кососимметричиы по индексам тг и 8, так как в противном случае стар- В охт шие члены уравнения Эйлера а, Р ие обратятся тождествт' Огатт~з венка в нуль. Поскольку эти коэффициенты симметричны относительно перестановок пар индексов (т, а) и (т', (3), онн должны быть кососимметричны и по индексам т',3. Следовательно, главный член в функционале (8.9) может быть записан в виде дифференциальной формы на с ( 1) +В (а~В(1 1 Л(1 ) Л(щ В.
Для того чтобы доказать, что образовавшаяся под знаком интеграла дифференциальная форма й замкнута, рассмотрим пронзвольноесечениех( ) расслоения с итакую его вариацию Ь( ), что Ь~ =О. Поскольку расслоение с векторное, его слои стягиваемы. Поэтому многообразия, определяемые сечениями х(.) и х( )+ Ь( ), гомотопиы. Тождественное выполнение уравнения Эйлера означает, что производная функционала (8.9), вычисленная на любом сечении х(.) расслоения с' по любому направлению Ь( ), удовлетворяюшему нулевым граничным условиям, равна нулю. Поэтому в процессе гомотопии значение функционала остается постоянным: Й = О.
Многообразия х( ) (.) *( )+А(.) и х( ° )+ Ь(-), удовлетворяя одним и тем же граничным условиям (8.!О), ограничивают некотоуое (и+ 1)-мерное многообразие Щ и в силу формулы Стокса ~ ((д = О. Так как сечения х(. ) и х( )+ Ь(. ) произвольны, отсюда следует, что форма д замкнута. Обратно, из замкнутости формы о следует, что (т = '(.) о. Отсюда легко получить, что производная функциоиа- ( )+А( ) ла т на любом сечении х( ° ) расслоения с' по любому направлению Ь( ° ) равна нулю, что и означает тождественное выполнение уравнения Эйлера. П В силу леммы 8.2, для возможности сведения функционала (8.9) к виду (8.11) надо потребовать, чтобы результаты при- 326 ГЛАВА 3.
О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ менения оператора Эйлера (т. е. левой части уравнений (8.12)) к обоим подынтегральным выражениям тождественно совпадали: — вддз ад «Ь авдХ А А ав = — — ~а.. — — а.. ит' х 7! + ~ — а . — и« . + и« .а ".ит х'!. дг~ «у дЗД «г' !ть АГ дсл а«а«ьу Вв Члены со вторыми производными взаимно уничтожаются. дхг Приравнивая коэффициенты прн —, получаем равенства д« (8.13) Приравнивая коэффициенты при х', получаем равенства Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема 8.2. Для того чтобы функционал Я допускал сведение к виду (8.11), необходил«о и достпатпочно, чтобы существовало глобальное (т. е. определенное на всем многообразии 6Т) решение сиоп!ел«ы (8.13), (8.14). Для тензоров, индексы которых меняются от 1 до и, мы введем матричные обозначения, используя заглавные буквы, соответствующие исходным строчным.
Например, при фиксированных «т, д матрицу с элементами а,".'~ мы обозначим через А В и т. д. Транспонированне матрицы будем обозначать индексом Т. Используя соотношения а,. = аф, перепишем уравнения (8.13) в виде 1Т А ВИ"„+ С = [А РИ' + С ~, (8.15) а уравнения (8.14) в виде —. [А~ВИ;+ С 1 = З вЂ” И~тА~ВИ;. (8.16) Уравнение (8.16) будем называть уравнением Риккати в частных производных. Уравнение (8.16) с условием симметрии (8.15) играет для задачи минимизации кратного интеграла ту же роль, что н обыкновенное дифференциальное уравнение Риккатн для задачи минимизации однократного интеграла, А именно, справедлива следующая теорема.
3 к следе«пте интегРАЛА дигихле к интегРАлу От его глАВНОЙ ЧАсти 327 а«г уауй + «у (Кз4~ у««у«'') принимает неотрицательные значения на любых матрицах у'. Это условие довольно жесткое, так как необходимым условием неотрицательной определенности функционала (8.9) является условие Адамара: квадратичная форма 91 = а,, у' ут, заданная на аа (п х и)-матрицах у', неотрицательна на конусе матриц ранга 1, или, иными словами, бнквадратичная форма аф'т1«т1ГЛ Л > О (8.17) неотрицательна на всех парах векторов т! = (тт,...,т! ), Л = ! и =(л,,...,л,). Т е о р е и а 8.3. Предположим, чтпо: 1) квадратпичная форма а, Ву«у~, заданная на пространстпве (пх и)-мап«риц у, неотрицательно определена при всех г ч Я; 2) ау«чествует глобальное (т. е.
определенное на всем многообразии %) решение системы (8.15), (8.16). Тогда функционал (8.9), (8.10) неотрицательно определен. Существование решения сиота«иы (8.15), (8.16), определенного иа области 0 С Я, влечетп за собой локальную неотприцательиую определенность на любой подобласти О СО, т. е. условие Р«1«)О. О! Доказательство непосредственно следует из теоремы 8.1 и формулы (8.11). Итак, для изучения вопроса о положительной определенности функционала Дирихле надо сначала попытаться исправить ддх«дх' главные члены а.
!т — — так, чтобы они удовлетворяли усло- «2 дгад д виям теоремы 8.2, с помощью добавления замкнутой дифференциальной формы г« "(т)«(х«д «!х~ д («1г) . Можно, например, взять г,,д постоянными. Предположим, что выполнено следующее условие: существуют такие функции т,,«т(С), соответствующие замкнутой дифференциальной форме г,,«т(1) (щ В, что квадратичная форма (8.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
