М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(7.89) (?.90) Доказательство. Рассмотрим соотношения (7.87) и (7.88). Подставив (7.87) в (7,86), находим с = в(1 + Рр). (7.91) Рассмотрев детерминант и воспользовавшись равенством (7.88) и равенством бе1(1+ Рр) = Р/, получаем (7.90). Воспользуемся равенством 1+Рр=1а ~ к=с вае1с, /дд ~ где через Я обозначена матрица ~ —,. ), а через с — матрица, ~ дх')' стоящая под знаком детерминанта Ь. Далее нам понадобится следующее алгебраическое утверж- дение. Пусть р, к, / и Р, П, Р— два набора величин, получающих- ся друг из друга при помощи преобразования Каратеодори.
Пусть дан набор матриц: невырожденная (Рх Р)-матрица в = (в ), невы- рожденная (Р х и)-матрица д =(Я,. ) и невырожденная (Р х Р)- матрица с = (с,'), удовлетворяющие соотношению с= в+ Яр. (7.86) и преобразуем (7.91) к виду а=/с в. Умножим полученное равенство справа на Р и воспользуемся условием (7.87), равенством к = аР, соотношениями (7.68) и доказанным уже условием (7.90).
Тогда получаем равенство (7.89). Наоборот, пусть выполнены соотношения (7.89) и (7.90). Легко видеть, что из этих соотношений следует равенство ск = 1Я. (7.92) Подставим (7,92) в (7.86) и умножим полученное выражение на /: 1с = 1 в + сяр. Отсюда в силу соотношения кр =/1 — а, получаем, что /в = са. (7.93) Вычисляя детерминант в обеих частях уравнения (7.93) и используя (7.90), получаем, что /" де1 в = / бе1 а. В силу (7.68) имеем Г)е1 в = 1/Р, что доказывает (7.88).
Далее, умножим (7.93) справа на Р: /вР = саР. (7.94) Правая часть (7.94) в силу (7.68) равна ск, что в свою очередь в силу (7.92) равно /Я. Итак, /вР =/Б, что доказывает (7.87). П Используя преобразование Каратеодори, выразим функцию Вейерштрасса — Каратеодори (7,95) я = Я т, х, р) — 1л( с, х, р) непосредственно через функцию / (без участия неизвестных функций действия Я" (Г, х)). Из аксиом 1) и 2) теории поля Каратеодори следуют формулы (7.82) и (7.85). Из этих формул следуют формулы (7.89) и (7.90), если в качестве матрицы в, Я и с соответственно взять матрицы в= —, Я= —,, с=в+Яр.
З!7 з!е ГЛАЗА 7 МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $ !О. ГИОРия поля в ФОРме КАРАтеодОРИ В силу леммы 7.7 имеем р.! - р.! = УЬ'.. (7.99) Матрицу с элементами (Ь* ) будем обозначать через Ь. Подставив (7.99) в (7.98), получаем Л(1, х, р) = — !)е1(1+ Рр+1РЬ). (7.100) 1 Подставим з (7.100) выражение 1+Рр=1а ! н вынесем !)е1 а за скобки и за знак определителя: — ! вв(в, х,р) = Ое1(11+ 1аРЬ). 1 Р !)е1а Применяя ум †аР=я, Г= Йе1 а' получаем, что 1 с!(1, х, р) = „, !(е1(11+ я(р — р)). Таким образом, функция Вейерштрасса — Каратеодорн равна .1(г, х, р) — — „, Йе1 ~7'1+ (р — р) .
1 ~ д1 д~д ) Если разложить функцию Вейерштрасса — Каратеодори Е = 1'— — !А по степеням р — р, то свободный член и линейные члены д= вР, (7.96) !)е1 в = 1/Р. (7.97) Преобразуем уравнение с = в+ др, вынося за скобки матрицу в, применяя теорему о детерминанте произведения матриц и используя формулы (7.96) и (7.97): вв(в, х, р) = — бе1(1 + Рр). 1 (7.98) Определим приращение координат р формулой окажутся равными нулю в силу (7.82) и (7.84). В силу (7.79) квадратичные члены этого разложения имеют вид (р! р')(ру — рву)~, .
— — (~;. Ез — — я. я,'. ) . (7.101) Г дз1 1 рв З Условие неотрицательности функции Вейерштрасса — Каратеодори (7.83) дает условие неотрицательной определенности квадратичной формы (7.101). Это условие естественно назвать условием Лежандра — Каратасодори. 3 а и е ч а н и е. Выполнение усиленного условия Лежандра — Вейля влечет за собой выполнение усиленного условия Лежандра †Каратеодо, поскольку к функции 1можно прибавить достаточно большую положительную константу, и в результате обе квадратичные формы будут отличаться друг от друга сколь угодно мало. С другой стороны, можно привести примеры, когда условие Лежандра — Каратеодори выполнено, а условие Лежандра — Вейля не выполняется 112 Ц.
3 а и е ч а н и е. Преобразование Лежандра — Вейля исходит из дифференциальной формы, которая определяется следом матрицы частных производных функций действия, которой можно сопоставить первый характеристический класс Чженя. Преобразование Каратеодори исходит из дифференциальной формы, которая определяется детерминантам матрицы частных производных функций действия, которой также можно сопоставить старший характеристический класс Чженя. Было бы крайне желательно найти контактные преобразования, отвечающие всем другим характеристическим классам (другим инвариантным многочленам от собственных значений матрицы частных производных функций действия).
По-видимому, только совокупность всех таких преобразований даст возможность найти достаточные условия оптимальности (в форме теории поля), примыкающие к необходимым, $ Ь УРАВНЕНИЕ РИККАТИ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕННОГО УСЛОВИЯ ЛЕЖАНДРА 319 ГЛАВА 8 О КВАДРАТИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННОЙ С ЗАДАЧЕЙ МИНИМИЗАЦИИ КРАТИОГО ИНТЕГРАЛА Б этой главе, будет получена и исследована квадратичная система дифференциальных уравнений в частных производных, которая служит аналогом уравнения Риккати применительно к задаче минимизации кратного интеграла 120].
При выводе этого уравнения мы уже не можем предполагать, что матрица, соответствующая старшим членам подынтегрального выражения, невы- рождена, так как необходимое условие Адамара — Лежандра, в отличие от необходимого условия Лежандра для однократного интеграла, не дает нам для этого достаточных оснований. Поэтому мы временно вернемся к случаю однократного интеграла и дадим еще один вывод уравнения Риккати, не опирающийся на предположение о выполнении усиленного условия Лежандра. З 1. Уравнение Рнкиатн в случае вырожденного усвовнн Лежандра Рассмотрим функционал Днрихле и ~(г, х, х) г(г ж (а, (г)х*х'+2с,.
(г)х'х'+ Ь, х*х'] сИ (8.1) ц ц на множестве гладких функций х(.), определенных на отрезке (гв, г,] и таких, что х( гр) = х($ ) = О. (8.2) Это означает, что в качестве расслоения Е, на котором определен интеграл Дирихле, берется прямое произведение (гв, г,] х Й". Главными членами подынтегрального выражения являются члены, содержащие произведение производных функций х(), т. е. а,,(г)х'х~. Исследуем вопрос о возможности сведения функционала Дирихле к функционалу от его главных членов ц й « а, (г)(х' — юг«(г)х~)(хт — ю,'(г)х') аь. (8.3) ц Для того чтобы свести функционал (8.1) к виду (8.3), необходимо изменить подынтегральное выражение, не меняя значение интеграла.
Этого можно добиться с помощью добавления под знаком интеграла замкнутой дифференциальной формы на многообразии Е = Й" х 1гв, г,]. Для того чтобы функционал остался квадратичным, эта дифференциальная форма должна квадратично зависеть от х. Будем обозначать такую форму через (8.4) а =Рй(г)х й* + Ч~(г)х х Докажем вспомогательную лемму. Лемма 8.1. Уравнение Эйлера для функционала (8.1) тождественно выполнястпся для любой функции х( ) тпогда и тполько тпогда, когда подьгнтпегральное выражение у аг функционала (8.1) прсдставляетпся в виде замкнутой дифференциальной формы на расслоении Е. До к а за тел ьст в о, Предположим, что подынтегральное выражение Г аг функционала (8.1) может быть записано в виде (8 4), где дифференциальная форма О замкнута.
Рассмотрим произвольную кривую х( ), удовлетворяющую граничным условиям (8.2), и произвольную вариацию этой кривой х(.) + ЛЬ( ), Л е Ж, не нарушающую условия (8.2). Последнее означает, что (8.5) Поскольку дифференциальная форма а замкнута, интеграл от нее по любому стягнваемому замкнутому контуру равен нулю. Так как расслоение Е векторное, то любой замкнутый контур на Е является стягиваемым. Так как сечения х( ) и х( ) + ЛА( ) удовлетворяют одним и тем же граничным условиям, то их объединение образует замкнутый контур в Е. Следовательно, при ит(Л) = гг х( ) + А А( ) у: [Ее, с(] х [0,1] )к", 320 глАВА З. О КВАдРАтичнОЙ системе ДНФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ любом выборе гладкой функции Ь(.), удовлетворяющей условиям (8.5), и при любом Л имеем х() х()+АА(.) Следовательно, производная по Л при Л = О от функции тождественно равна нулю.
В гл. 1 было показано, что эта произ- водная равна откуда следует выполнение уравнения Эйлера для функции х(.). Поскольку х произвольно, уравнение Эйлера выполнено тождественно. Докажем утверждение в другую сторону. Пусть уравнение Эйлера для функционала (8.1) выполняется тождественно. Докажем сначала, что подынтегральное выражение у И$ можно записать в виде дифференциальной формы на многообразии Е. Действительно, члены Ь, (Ф)х'х' аг, с, (Ф)хтх~ т(г = с, (Е)х'Ыхз фактически уже записаны в виде дифференциальной формы. Что же касается старших членов а,,(Е)хтх' Иг, то для того, чтобы уравнение Эйлера выполнялось тождественно, необходимо, чтобы матрица [[а,,)] тождественно равнялась нулю. В противном случае слагаемйе, содержащие вторые производные от функций х', не смогли бы взаимно уничтожиться ни с какими другими слагаемыми уравнения Эйлера.
Итак, функционал (8.1) является интегралом от дифференциальной формы О. Докажем, что эта форма замкнута. Рассмотрим замкнутый контур, образованный двумя произвольными сечениями х,(.) и х () расслоения Е. Так как слои векторного расслоения односвязны, то существует гомотопия, задаваемая непрерывным отображением $ Ь УРАВНЕНИЕ РИККАТИ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕННОГО УСЛОВИЯ ЛЕЖАНДРА 321 зависящим от скалярного параметра Л е [О, 1), которая связывает эти сечения.
То есть у(Е,О)= х)(Ф), у(Ф,1)=х(Е), у(со, А)=х)(М ), у(Ф„Л)= х((Е,). Подставив у(Е, Л) в функционал (8.1), получим функцию При всех значениях параметра Л производная функции Ф равна интегралу от левой части уравнения Эйлера, и, следовательно, равна нулю на всем отрезке [0,1). Поэтому функция тр оказывается постоянной и ч ~2 Сечения х„х образуют замкнутый контур. Так как сечения х, и хэ произвольны, из формулы Стокса следует, что форма гг замкнута. С) Сл ед с т В и е 8.1. Если левые части уравнения Эйлера для двух интпегральных функционалов вида (8.1) тождестпвенно совпадают, тпо подынтпегральные выражения этих фуниционалов отличаются друг от друга на замннутпую дифференциальную форму, определенную на расслоении Е. Следовательно, атпи фуннционалы совпадают на всех кривых, удовлетворяющих условиям (8.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
