М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Через у= (г, х) будут обозначаться координаты на Е. Координаты векторов касательного пространства будем обозначать соответствующими заглавными буквами: (Т,Х). Поскольку горизонтальная плоскость трансверсальна слою, то ее уравнение в касательной плоскости Т„Е может быть записано в виде Х = г((г, х) Т, где % — некоторая (и х т)-матрица. Разложим произвольный вектор (Т, Х) на горизонтальную и вертикальную составляющие. Первая координата горизонтальной составляющей должна быть равна Т, а первая координата вертикальной составляющей должна быть равна нулю. Пусть (Т, Ж) — координаты горизонтальной составляющей; координаты вертикальной составляющей есть (О, У).
Найдем У и Ж. В силу уравнения горизонтальной плоскости имеем И' =ЪТ. Для того чтобы сумма горизонтальной и вертикальной составляющих была равна вектору (Т, Х), необходимо, чтобы У = Х вЂ” йТ. Итак, горизонтальной составляющей вектора (Т, Х) является вектор Ь(Т, Х) = (Т, Я Т), а вертикальной — вектор и(Т, Х) = =(О, Х вЂ” ЯТ). Рассмотрим кривую 2 = ~(0). Тогда параллельный перенос слоя вдоль этой кривой описывается в локальных координатах дифференциальным уравнением Ут ве ржден не 7.9.
Связность лвллетсл линейной тогда и только тогда, когда функция г((г, х) линейна по пергменньив х. Действительно, отображение сдвига по траекториям системы обыкновенных дифференциальных уравнений является линейным при любом 0 тогда и только тогда, когда система является линейной. В силу утверждения 7.9 имеем й(г, х) = — Г(г)х. Тогда горизонтальная координата вектора (Т, Х) есть 7г(Т, Х) = (Т, -Г(Е)хТ). (7.37) Функции Г(г) называются коэффициентами линейной связности. Замечание. Отметим, что коэффициенты линейной связности не являются тензором. В самом деле, выражение Г(г)х является (и х т)-матрицей, а Г(г) г(0) — (их п)-матрицей. Нн та, нн другая матрица не является тензором, так как эти матрицы суть коэффициенты системы линейных уравнений, определяющих перенос векторов.
Поэтому при замене координат в слое с матрнцей Х(1), зависящей от точки г ~ М, коэффициенты линейной системы преобразуются с участием производных от матрицы преобразования 7Г. Итак, система дифференциальных уравнений (7.36), определяющая параллельный перенос слоя для линейной связности, является линейной: х + (Г( г(0)) Г(0)) х = О. (7.38) Именно поэтому в силу теоремы о продолжимости решений линейной системы дифференциальных уравнений горизонтальные кривые линейной связности не могут уйти на бесконечность за конечное время, н для любой гладкой кривой определен параллельный перенос. Связность можно охарактеризовать с помощью некоторой векторнозначной дифференциальной формы ю на многообразии Е со значениями в слое й".
А именно, для каждого вектора (Т, Х) определим значение ш(Т, Х) как вектор слоя, являющийся вертикальной составляющей вектора (Т, Х), т. е. ьг(Т, Х) = = Х вЂ” ПТ. Форма ы называется дифференциальной формой связности. 289 9 6. Связность Леви-Чивита Гтг(г)х', 1 < г, т', Ь < и. х" + Г".. )ух' = О. 12 (7.42) Итак, (7.43) ~в м. и. зелякин 288 гллвл т, многомврног влгивционнов исчислзнив Очевидно, что ю(Т, Х) = 0 тогда н только тогда, когда вектор (Т, Х) горизонтален. Поэтому задание формы ьт однозначно определяет распределение горизонтальных плоскостей, а следовательно, и саму связность. Утв е ржде н и е 7.10.
Связностпь являетпся линейной тпогда и тпольхо тогда, хогда козффиииенты формы и линейно зависятп от координат слоя и4,Т, Х) = Х+ (Г(г)х)Т, (7.39) т. е. Й( г, х) = -Г(г)х. Доказательство является простым следствием утверждения 7.9 и определения формы ьт. Параллельный перенос слоев дает возможность определить операцию ковариантного дифференцирования сечений расслоения Е. Оператор коварнантного дифференцирования так же, как и сама связность, обозначается символом ~7.
Пусть Т(г) — векторное поле на многообразии М, г(9)— произвольная интегральная кривая поля Т в базе М, а в — сечение расслоения Е. Определение. Ковариантпной производной сечения в по направлению поля Т называется сечение ~7 в, определяемое формулой тв= 11ш -(твв+л(в(г(9+ Ь))) — в(8(9))1. (7.40) Здесьчерез тв+~: я '(г(9+Ь)) — +х '(г(9)) обозначен параллельный перенос слоя я ~(г(9+ Ь)) вдоль кривой г(9) из точки г(9+ Ь) в точку г(9), который осуществляется по решениям дифференциального уравнения (7.38). Разлагая это решение по Ь, получаем 1 дв ь-о Ь 1пп — [в(г(9+ Ь))+ Гв(ЦВ+ Ь))1Ь+ о(Ь) — в(г(9)Я= — + Гв1.
дВ дв = — +Г г. (7.41) Формула (7.41) показывает, что ковариантная производная по направлению Т з точке 8 й М зависит только от вектора Т($). Следующее утверждение очевидно. Утверждение 7.11. Вектпорное поле переноситпся вдоль кривой ь(9) параллельно тогда и тполько тпогда, когда его ховариантпная производная отпносительно 1(В) тпождестпвенно равна нулю. Из утверждения 7.11следует, что оператор ковариантного дифференцирования и связность определяют друг друга однозначно.
Важнейшим (и исторически первым) примером связности является связность на касательном расслоении к риманову многообразию. Пусть М вЂ” риманово многообразие и тм — касательное расслоение, Координаты яа М будут обозначаться через г, координаты в касательных плоскостях †чер х. Компоненты матрицы Г(г)х имеют вид Связность в расслоении т, называется симметрической, если во всех точках г выполнены равенства В этом случае уравнение (7.38) принимает вид Рассмотрим произвольную систему координат г~,..., г на д многообразии М. Через —, в = 1,..., т„будем обозначать векдгг торные поля, касательные к координатным линиям этой системы.
Утверждение 7.12. Лмеет местпо формула 291 1о* 290 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Доказательство. Для доказательства достаточно зад метить, что частяые производные сечения — равны нулю, подг,. скольку координаты этого векторного поля в рассматриваемой системе координат постоянны. Далее осталось лишь применить формулу (7.41). Параллельный перенос векторов дает возможность определить параллельный перенос любых тензоров на касательном расслоении к многообразию М. Прежде всего ковариантная производная обычных (скалярных) функций на многообразии совпадает с обычной производной по направлению, так как эти функции можно рассматривать как сечения тривиального расслоения со слоем й, снабженного тривиальной связностью.
Перенос векторов касательной плоскости (контравариантных векторов) определяется уравнением (7.42). Перенос коварнантных векторов (линейных функционалов на пространстве векторов касательной плоскости) определяется исходя из условия сохранения значения переносимого линейного функционала на переносимом векторном поле. А именно, если Х е 7,'10», то значение функционала те~Я на векторе Т должно быть равно значению функционала Я на тзХ при всех значениях д. Если это условие выполнено, то очевидно, что Я(д)(Т(д)) = сопз1. Отсюда немедленно следует, что параллельный перенос линейных функционалов описывается дифференциальным уравнением, сопряженным с уравнением (7.42): г,. - г„Г,', 11(д) =0.
Точно так же для произвольного тензорного поля Я типа (т, з) перенос определяется так, чтобы свертка Я с любым набором нз г ковариантных векторных полей и з контравариантных векторных полей (которая является уже скалярной функцией) оставалась постоянной при параллельном переносе. Например, ковариантная производная тензора Я типа (О, 2) по направлед нию — равна И» 17, 4),, =" ,— де„Г,",.
— д„,.Г,т (7. И) Р 'у дт у у а О и р е д е л е н и е. Связность называется ризеановой (или связностпью Леви-Чивитпа), если она является симметриче- ской и если параллельный перенос сохраняет скалярное произведение касательных векторов. Заметим, что структурной группой касательного расслоения к риманову многообразию можно считать ортогональную группу, т. е. группу, сохраняющую метрику, которой наделены касательные плоскости к многообразию М. В силу этого параллельный перенос, сохраняющий скалярное произведение, согласован со структурной группой расслоения. О п р е де л е н и е. Тензорное поле Я(Е) на многообразии М называется ковариантпно постпояннььзь если результат параллельного переноса тензора Я(с(0)) вдоль любой кривой с = = г(д), 0 ( д < 1, совпадает со значением С»(Е(1)).
Это определение эквивалентно следующему: поле 1~(с) ковариантно постоянно, если во всех точках многообразия ковариантная производная тензора Я по всем направлениям тождественно равна нулю. У п р э ж н е к к е. Докажите эквивалентность эткк определений. Те о р е м а 7.3. Метпрический тпензор ковариантпно постоянен отпноситпельно связностпи Леви-Чивитпа. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
