М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 45
Текст из файла (страница 45)
П р и м е р 7А. Вполне геодезические подмногообразия ри- манова пространства являются минимальными многообразиями. Действительно, вторая квадратичная форма вполне геодезиче- ского подмногообразия (а, следовательно, н средняя кривизна) равна нулю. П р и м е р 7.5. Компактные комплексные подмногообразня кзлеровых многообразий являются минимальными. Любое комплексное подмногообразие Х С С" минимально от- носительно возмущений, носитель которых принадлежит ограни- ченной области пространства Х [50). В частности, подмногообразия С1г(к)С СР(п) являются ми- нимальными (их минимальность следует также из примера 7.4).
2бб ГЛАВА е мнОГОмеРнОе ВАРиАцианное исчисление р 2. Необходимьге условии оптимальности дли кратного интеграла Пусть ̙ — риманово многообразие, Ь" ' с М вЂ” замкнутое, ограниченное, гладко вложенное подмногообразие, которое является границей хотя бы одного и-мерного многообразия 07" С М . Индекс, характеризующий размерность многообразия, в дальнейшем для краткости будет опускаться.
Для того чтобы задать функционал типа кратного интеграла на множестве гладких Р.мерных многообразий 01С М с границей (7.10) введем обобщенное параметрическое задание поверхностей 07, в котором роль области изменения параметров будет теперь играть некоторое заданное гладкое и-мерное многообразие»у" с границей Х. Внутри этого многообразия не обязательно существует глобальная система координат, однако как на любом многообразии на нем имеется атлас, состоящий из локальных координат. Будем обозначать локальные координаты на И' через Ф = (Г',..., 2"), локальные координаты на многообразии М— через у = (и',..., у ). Пусть 7: И'-+ М вЂ” гладкое вложение, тождественное на Ь.
Отображение 7 в локальных координатах задается с помощью гладких функций 77 = у(2). Интеграл по многообразию»У" можно записать в локальных координатах, используя разложение единицы, т. е. по существу, разбивая область интегрирования на части, каждая из которых целиком попадает в одну карту. В дальнейшем, имея в виду эту процедуру, мы будем пользоваться следующим соглашением. Допуская некоторую вольность в обозначениях, будем записывать подынтегральное выражение в локальной форме, как если бы интегрирование проводилось в одной карте, хотя на самом деле интегрирование происходит по всему многообразию $У. Определим минимизируемый функционал формулой $ Х НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА 267 вектора 2 = (Ф,..., 2 ), вектора 77 = (у,..., и ) и матрицы — = 1 пв а77 Ф =(6) Уравнение Эйлера.
Сначала рассмотрим случай, когда многообразие М является евклидовым пространством К™. Как и в гл. 1 для одномерного вариационного исчисления, вычислим первую вариацию функционала 7, продифференцировав его по направлению Л() е Со(И; К ). Через Со~(И', К™) обозначено пространство дважды непрерывно дифференцируемых функций на многообразии»У', принимающих значения в пространстве К и равных нулю на границе Ь (для того чтобы «не испортить» граничные условия (7.10)): Л! =О. (7.11) Далее будет предполагаться, что точка 77(.), в которой происходит дифференцирование, принадлежит пространству С (И',К ).
Замечание. При выводе уравнения Эйлера в гл. 1 мы ограничивались предположением, что искомая экстремаль принадлежит пространству С'. Это предположение является, разумеется, менее стеснительным, в сравнении с предположением о принадлежности пространству С , но тем не менее оно все же остается априорным ограничением на характер гладкости неизвестного объекта. И хотя это предположение фактически выполняется для подавляющего большинства реальных задач, все же уравнение Эйлера не является необходимым условием оптимальности в строгом смысле этого слова.
Поэтому сейчас мы без колебания делаем несколько более сильное априорное предположение, для того чтобы упростить изложение. Итак, продифференцируем функцию р(Л)= Р~г,Р(2)+ЛЛ, ~ иг (7.12) а®+ ллр — ~ и()— где г' — заданная гладкая функция от трех групп переменных: по Л при Л = О. Условимся о следующих сокращениях. Знак «домика» над функцией будет означать, что в качестве аргументов этой функции вместо переменной а и ее производных рассматриваются у. Далее, мы будем использовать соглашение о суммировании 268 ГЛАВА т. ИнОГОмеРное ВАРНАционное исчисление $ Е НЕОВХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА 269 по повторяющимся индексам, причем латинские индексы относятся к координатам на многообразии М и пробегают значения от! до тп, греческие индексы относятся к координатам на В' и пробегают значения от 1 до Р.
Если у(-) доставляет минимум функционалу .7, то 7 (д7г т дР дЬт1 р'(О)= ~ ~ — ГЬ'+, —.~й2=0. (7.13) ~ ~дуг д(а ') д Проинтегрируем вторую группу слагаемых по частям, учитывая, что граничные условия (7.11) приводят к исчезновению внеинтегральных членов: 12'(0) = —, — —,. Ь' аг = 0 (7.14) ду' д' дф) для любых функций Ь( ) Е Св (И; В ).
Стоящие в квадратных скобках коэффициенты при функциях Ь* в формуле (7.14) непрерывны. Поэтому мы получаем следующее необходимое условие выполнения равенства (7.14): дГ д / дР— — — =О, 1=1,..., т, (7.15) д„' дг ~д(В,')У которое называется уравнением Эйлера. В случае, когда М вЂ” произвольное риманово многообразие, требуется несколько более фундаментальный подход, который мы однако не будем проводить во всех деталях, останавливаясь лишь на основных чертах соответствующей техники, Дело в том, что в связи с нелинейностью многообразия М для того чтобы определить вариацию функционала, уже нельзя умножать вариацию Ь(.) на число Л, и необходимо по существу использовать дифференциальное исчисление на бесконечномерных многообразиях.
Бесконечномерное многообразие, с которым здесь приходится иметь дело это многообразие различных вложений 7: И' -+ М, тождественных на многообразии 7. Будем. называть его для краткости многообразием пленок и обозначать ЕО. Пусть 7 †некотор точка многообразия 20. Кривой, проходящей через точку 7 б 2!7, ивляется однопараметрическая совокупность вложений 7", где 7в =,7. Касательной к этой кривой служит производная семейства 7 по параметру а при ст = О, которая представляет собой векторное поле на множестве 7 (ИГ), касательное к многообразию М.
Поскольку каждое из вложений 7 удовлетворяет граничному условию (7.10), это векторное поле должно обращаться в нуль на границе 7. Поэтому касательным пространством в точке 7 к многообразию Ю служит множество гладких векторных полей на образе 7(тУ) отображения 7, обладающих следующими свойствами: они касаются многообразия М и обращаются в нуль на 7,. Сохраним за этими векторными полями обозначение Ь( ). Функционал,7 задает отображение .7: х!7 Ж. Для того чтобы найти производную этого отображения в пространстве ВО по направлению, задаваемому конкретным векторным полем Ь, поступим следующим образом. Продолжим векторное поле Ь с многообразия 7(ИГ) на его окрестность произвольным образом как гладкое векторное поле.
Из каждой точки многообразия 7(ИГ) сдвинемся не время Л по интегральным траекториям получившегося поля. При достаточно малом Л результатом сдвига будет гладко вложенное многообразие у(г, Л), диффеоморфное ИГ и проходящее через 7 . Подставив его в функционал,7, получим функцию 92(Л). Используя стандартные результаты теории обыкновенных дифференциальных уравнении и математического анализа, нетрудно доказать следующее утверждение. Утверждение 7.2. 1. Фунияия эт(Л) дифферениируема. 2. Ее производная при Л = 0 зависит тпольио от значений поля Ь на самом многообразии 7(Й') и не зависит от продолхения зтпого поля. 3. Формула для производной чт'(0) совпадаетп с формулои (7.13) (с соответстпвуюигим образом измененной интерпретацией поля Ь).
4. Уравнение Эйлера по-презснему задаетпся формулой (7.15). Формулу для второй вариации функционала .7 можно получить, вычислив вторую производную от функции 9т по Л при Л =О. Втирая вариации. Начнем вновь со случая, когда М = Ж . Вычислим вторую производную функции 92(Л), определенной вы- 270 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА 271 ше формулой (7.12): ~рл(0) = б~.7 = о'у аь1 ач' о'у аьГ,. ~а(Ж.') а(й~) д~" О~~'+ д~ау1) а,аг "" ау гу +, . Ь1ЬГ йг.
(7.16) ау'ау' Выражение (7.16) называется вгпорой вариацией функционала,7 и обозначается б',7. Для того чтобы перенести формулу второй вариации на произвольное многообразие М, достаточно, как и в случае первой вариации, понимать под Ь( ) определенное на у(1У') векторное поле, касательное к многообразию М. Утверждение 7.3. Пусть У(й') удовлетворяет уравнению Эйлера (7.15). Тогда необходильым условием минимума функционала .7 является неотрицательносгпь второй вариации (6,7 >0) для любого гладкого вектпорного поля Ь(.), обращающегося в нуль на Т . Доказательство очевидно. Для получения условий неотрицательности второй вариации полезно, как и в одномерном случае, рассмотреть присоединенную задачу — задачу минимизации квадратичного функционала б .7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
