М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Очевидно, что преобразования типа 1) не меняют И" н, тем более, не меняют Я,И', При умножении слева на матрицу А (преобразование типа 2)) матрица (И") ' И'" не изменяется, так как (АИ") '(АИ") =(И') 'И'". При умножении справа на матрицу А (преобразование типа 3)) имеем (И"А) 'И""А = А '(И") 'И'"А. Следовательно, Я,(И'А) = А '((И") ' И'в)'А— А '(И") 'И'вАА ~(И") 'ИтвА!2=А(Я,И")А '. В случае преобразования типа 4) для У = И' ' имеем 1"= — И' 'И"И' ', У" = 2И -'Ит'Ит-'В" И -' И -'И вИ»-', (У') ~У = — 2И 'И' 1+ И'((И") ~И'")И' 1> ' + И'((И") 'И'")'И' ' — И'((И"Г'И'")И' 'И"И' ' ((У»)-'У")2=4И"И -'И 'И -' — 2И'"И' '— - 2И~((И")-' И") И~-'И" Ит-'+ И ((И")-'И ")'И -'. Из двух последних формул получаем равенство Я,У = = И'(Я,1У)И' .
д С л е д с т в и е 6.4. Скалярные дифференциальные операторы, являющиеся ноэффициентпами харахтперистпичесиого многочлена оператора Я„инвариантпны относитпельно группы обобщенных дробно-линейных преобразовании. 9» 1 ь минимхльныв повн хности 1+з~+а~х ИхЛНу. (7 1) а = ~р(х, у), (7.2) ГЛАВА 7 МНОГОМИ НОК ЫАУИАЦИОННОК ИСЧИСЛПНИК В этой главе мы расскажем об основных идеях многомерного вариационного исчисления — теории минимизации кратного интеграла.
Задача минимизации кратного интеграла появляется в самых разнообразных областях естествознания. Например, различные задачи теории сплошной среды (возникающие в гидродинамике и газовой динамике, теории упругости и пластичности, теории оболочек и т. д.) при применении вариационных принципов приводят к задаче минимизации кратного интеграла. Особенно важны вариационные принципы для квантовой теории поля, так как это практически единственный путь получения уравнений, описывающих эволюцию квантовой системы.
Мы начнем с рассказа об одной из основных задач многомерного вариацнонного исчисления — задаче о минимальных поверхностях. у 1. Мыыымальыые поверхности К разработке теории минимальных поверхностей причастна целая плеяда крупнейших математиков, начиная с Эйлера, Лагранжа, Монжа, Римана и Вейерштрасса. В простейшей постановке (при исследовании двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве) задача формулируется следующим образом. Пусть 1Е 1с~ — заданная гладкая замкнутая кривая. Требуется найти двумерную поверхность Х с границей 1, имеющую минимальную площадь. Эта задача была названа Лебегом щюблемоб Плагпо, по имени слепого физика, продемонстрировавшего поразительные по красоте опыты с мыльными пленками, натянутыми на проволочный каркас. Плато извлек из своих опытов нетривиальные следствия, касающиеся свойств самопересечения минимальных поверхностей 15Ц.
Одним из естественных обобщений задачи Плато является следующая задача (на которую, впрочем, тоже распространяется название задача Платно). Пусть У " ' с М вЂ” гладкое замкнутое (и — 1)-мерное подмногообразие тп-мерного риманова многообразия М . Найти и-мерное подмногообразие П с М с границей Ь, имеющее минимальный объем. 3 а и е ч а н и е. Далеко не всякое замкнутое подмногообразие Т может служить границей некоторого многообразия Я.
Необходимые и достаточные условия для этого формулируются на языке теории (ко)бордизмов. О них мы рассказывать не будем. Если контур Ь не является границей, то задача Плато, очевидно, не имеет решения. Предположим, что как контур 1, так и сама минимальная поверхность Х в Ж взаимно однозначно проектируются на плоз скость (х, у). Тогда поверхность Х задается с помощью некоторой (гладкой) функции з = з(х, у), определенной на некоторой области Р плоскости (х, у).
Площадь этой поверхности равна и Пусть на границе области Р задана функция определяющая в 1к~ контур 1. Тогда (как будет доказано в $2) искомая минимальная поверхность является решением задачи с граничными условиями (7.2) для нелинейного дифференциаль- ного уравнения второго порядка з, (1+ з~) — 2з „з,з„+ з„„(1+ з~) = О, (7.3) которое является уравнением Эйлера для функционала (7.1). Заметим, однако, что нз условия взаимно однозначной проектируемости контура 1 не следует, что искомая минимальная поверхность будет иметь взаимно однозначную проекцию на (х, у).
Поэтому предпочтительно изучать минимальные поверхности, заданные в параметрической форме х= х(1), где х=(х„хз, хз)— координаты точки в й; г =(й„~ ) — параметр, изменяющийся во 262 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ вспомогательной двумерной области В, ограниченной кривой,О В этом случае площадь поверхности Х выражается интегралом А(х()) = днд — д 2 гИ, Лг(гг, (7.4) з где — метрический тензор на Х, индуцированный метрикой объемлющего пространства К . з Нетрудно проверить, что функционал (7.4) инвариантен относительно преобразований координат (2).
Используя это, введем на поверхности Х такие локальные координаты (Ф„ тэ), для которых выполнены условия (7.5) В этих координатах метрика на поверхности Х принимает ВИД Изг = дп(Ы 2~ + 3 Г2). координаты (г„г2) в этом случае называются ионфорлгнылги, так как они задают конформное отображение области В на Х (углы между кривыми в каждой точке сохраняются). 3 а м е ч а н и е. Если метрика поверхности является вещественно аналитической, то у каждой точки поверхности существует окрестность, в которой можно ввести локальные конформные координаты, а на поверхности, являющейся решением эллиптического уравнения, можно ввести аналитическую метрику. В конформных координатах функционал (7.4) можно записать в виде Уравнение Эйлера превращается в векторное уравнение Лапласа (= 1,2,3. ггхг = О, Решение векторного уравнения Лапласа называется гарлгоничесной поверхкосгпьго.
Нелинейность задачи проявляется э е минимгльные повеехности в том, что ищется гармоническая поверхность, удовлетворяющая условию конформности (7.5). В силу очевидного неравенства дн+дгг > 2 дндгг дгз в котором равенство имеет место лишь при дп — — дгг, д12 -— О, для произвольной поверхности х( ) имеет место неравенство .0(х()) > А(х( )), которое превращается в равенство лишь при выполнении условий (7.5).
Поэтому поверхность, которая минимизирует функционал В(х( )) при заданных граничных условиях, решает также и задачу о минимуме площади А(х(.)). Интеграл (7.6) называется интпегралолг Дирихле. Интеграл Дирихле положительно определен, поэтому существование его минимума долгое время не вызывало сомнений. Риман даже положил этот тезис в основу своей геометрической теории функций под названием принцип Дирихле. В 1869 г. Вейерштрасс опубликовал статью, в которой критиковал принцип Дирихле. Возражение Вейерштрасса состояло в том, что непрерывная функция, заданная на замкнутом множестве бесконечномерного пространства (которое не является компактным), не обязательно достигнет своей точной нижней грани. С тех пор вопросу существования решения задачи Плато было посвящено огромное количество работ.
Лишь в тридцатых годах нашего века Дуглас 174] и Радо 110Ц практически одновременно и независимо друг от друга доказали теорему о существовании решения проблемы Плато в частном случае двумерных поверхностей в и-мерном евклидовом пространстве. Прошло еще не менее тридцати лет прежде чем усилиями многих математиков было получено доказательство существования решения задачи Плато (и ее далеко идущих обобщений) для римановых многообразий произвольной размерности (см., например, работы, [51, 50, 13), где имеется подробная библиография). В настоящее время термин ингпеграл Дирихле употребляется в очень широком смысле применительно к любым квадратичным интегральным функционалам классического вариационного исчисления.
Минимальную поверхность можно охарактеризовать следующим геометрическим свойством: ее средняя кривизна равна нулю во всех точках. Напомним, что средней кривизной поверхности называется сумма ее главных кривизн, которую, по теореме Виета, можно найти как след квадратичной формы Тг(д '7), ге4 глАЕА т. многомеРное вАРИАционное исчисление $ ь минимлльные повеРхности где д — матрица первой квадратичной формы, определяющей ме- трику поверхности; / — матрица второй квадратичной формы, определяемой вложением поверхности в трехмерное простран- ство: где и — вектор единичной нормали к поверхности. Ут в е р ж де н и е 7,1.
Двумерная поверхность в тпрехмерном свклидовом пространстпве тпогда и только тогда является минимальной когда сс средняя кривизна равна нулю. Доказательство. В конформных координатах средняя кривизна поверхности равна Н = Тт(д '/) = (дп Жг д1г) (д2г/11 — 2дтэ/1г+ д11/хт) = = д,,'(т."ьх, и).
(7.7) Если поверхность минимальна, то в конформных координатах Ах=О, и, следовательно, Н=О. Обратное утверждение: Из формулы (7 7) следует, что если Н = О, то (гьх, и) = О. В конформной системе координат вектор Ьх ортогонален не только вектору и, но и векторам дх/дгР г = = 1,2. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проднфференцировать соотношения (7.5) по г1 и по гэ. В любой регулярной точке поверхности векторы и, дх/дг„дх/дгг линейно независимы. Следовательно, 111х =0 н поверхйость минимальна.О Приведем примеры минимальных поверхностей. П р н м е р 7.1 (катеноид). Один из простейших примеров минимальных поверхностей — катеноид — был рассмотрен нами в гл.
1. Так как катеноид — поверхность вращения некоторой кривой, то для решения задачи минимизации интеграла Дирихле в классе поверхностей вращения применим аппарат одномерного вариационного исчисления. Напомним, что в гл. ! были найдены условия, при которых катеноид дает минимум площади в этом классе поверхностей. П р и м е р 7.2 (геликоид). Геликоид получается в результате композиции двух движений прямой линии: поступательного с постоянной скоростью н вращательного с постоянной угловой скоростью в плоскости, ортогональной вектору скорости посту- нательного движения. Уравнения геликоида (с точностью до мно- жителя) имеют вид г = агс18(х/у). П р и м е р 7.3 (поверхность Шерка). Простейшей функ- цией от двух переменных является функция вида г = /(х) + д(у).
(7.8) Найдем решения уравнения минимальных поверхностей (7.3), имеющие вид (7.8). Подставляя (7.8) в (7.3), получаем /~(х)(1+ д(у) )+ дт(у)(1+/ (х) ) =О. Разделяя переменные, получаем 7() д(у) 1+ (У'( ))' 1+ (д'(у))' Интегрирование этих уравнений дает 7 = 1~(сх + а), д = — 18(су+ т1), 1 1 / = -- 1п соз(сх+ а) + Ь, д = — 1и соз(су+ т()+ е. с с Таким образом, все поверхности вида (7.8), получаются из по- верхности г=!п— соз у (7.9) соз х сдвигами по осям координат и гомотетией (определяемой параме- тром с). Поверхность (7.9) называется поверхностпью Берка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
