М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Исключение а, т, б из полученной системы линейных по этим переменным уравнений приводит после простых преобразований к уравнению о 22)'~' т,"л т)л зц"('+зц'~" сы ц"' После разделения переменных получаем Следовательно, искомый дифференциальный оператор имеет вид (6.81) 2 Дифференциальный оператор Я(т)) называется оператором Шварца (или производной Шварца).
Предыдущие рассуждения доказывают следующее утверждение. Утверждение 6.7, Оператпор Шварца (6.81) инвариантаен отпносительно дробно-линейнььх подстпановох дифференцируемой фунхции. Оператор Шварца и линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка') у (т)+р(2)у(2)+Ч(2)у(2)=О, (682) коэффициенты которого р(2),д(Т) — заданные рациональные функции. Далее, пусть у,(2), уз(2) — два линейно независимых *) Отметим, что аргумент т в атом уравненнн может быть как вещественным, так н комплексным, решения уравнения (6.82). Рассмотрим отношение этих двух решений (6.83) Отсюда получаем (У"У2 — УлУ )+ Р(У'У вЂ” ~'У,) =О.
Дифференцируя равенство (6.83), получаем —,= — р — 2 —. т) у2 Дифференцируя выражение (6.85) еще раз, имеем (6.84) (6.85) — — = — р' — 2 — +2 Подставив в это соотношение (6.85), получаем 2 2 У2 92 о(т)) = — — р — р — 2 — — 2р —. 2 У2 У2 Ут в е р жде н и е 6.8, Дифференциальный оператпор Шварца, примененный х фунхции т), являетпся рациональной фунхцией отп $. Д О к а з а т е л ь с т в о.
Нули знаменателей коэффициентов уравнения (6.82) являются, вообще говоря, точками ветвления решений у,(2), у (2). Поэтому если переменная 5 описывает на комплексной плоскости замкнутую кривую 1, окружающую хотя бы один из этих нулей, то функции у,(2) и уз(1), непрерывно меняясь, принимают новые значения, которые являются линейными комбинациями прежних значений. При обходе по замкнутому контуру отношение решений т) = = у,/у преобразуется в дробно-линейную функцию от своего прежнего значения. Поэтому Я(т)) после обхода не изменяется и, следорательно, представляет собой рациональную функцию от Т.П Обозначим выражение о(т)) через г(2). Функция г(2) зависит только от коэффициентов р, о дифференциального уравнения (6.82). Найдем эту зависимость в явном виде. Имеем Ул+РУ'+ДУ =О У~'+РУ2+йУ =О.
ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ г Ь МАТРИЧНЫЙ АНАЛОГ ОПЕРАТОРА ШВАРЦА 255 Члены правой части, содержащие у2, дают 2о в силу уравнения (6.82). Окончательно имеем Я(ц) = 2д — -р — р. 2 2 Уравнение (6.86) мы будем называть уравненивлг Шварца, построенным по уравнению (6.82). Оператор Шварца и уравнение Риккати. Подводя итог, можно сказать, что уравнение Шварца тесно связано с уравнением Риккати, так как оба эти уравнения получаются с помощью проективизации (рассмотрения отношения координат) из линейного дифференциального уравнения второго порядка у'(')+ р(')у'(')+ а(')у(') =0- (6.87) При проективизации, которая приводит к уравнению Риккати, рассматривается отношение И' = у'/у, а при проективизации, которая приводит к уравнению Шварца, — отношение у = у,/уг, где у„у суть два частных решения уравнения (6.87), Как уравнение Риккати, так и уравнение Шварца тесно связаны с группой дробно-линейных преобразований. Связь уравнения Риккати с этой группой была достаточно полно выявлена в предыдущих главах.
Уравнение Шварца обладает рядом свойств, аналогичных уравнению Риккати. Например, справедливо следующее утверждение (ср. с теоремой ! Из введения). У т В е р ж д е н и е 6.9. Общее ре шение уравнения Шварца (6.86) есть дробно-линейная функция (с постояннььми коэффициентами) от какого-либо частного решения этого уравнения. Доказательство.
Пусть ц1(Х) — частное решение уравнения (6.86). Для четырех произвольных постоянных, ац, +13 а,13,7, б, рассмотрим функцию ц= . В силу утверждения 6.7 имеем 7ч,+6 8(ц) = Я(ц,) = 2о — — р — р . 1 2 ! 2 Докажем, что полученное решение является общим решением уравнения Шварца. Действительно, пусть ц,(0) = а, и,'(О) = = б, ц,"(О) = с — начальные данные для заданного частного решения: у(0), ц~(0), ц~ (О) — начальные данные для произвольного решения.
аа+ 13 Та+ 6' 6 (та+ 6)2 с 2уб цг= (уа+ 6) (та+ 6) аб — 137 = 1. Легко видеть, что из этой системы уравнений можно последовательно найти а„б, 7, 6 для всех начальных значений, за исключением тех многообразий, на которых знаменатели получающихся выражений обращаются в нуль. П Установим непосредственную взаимосвязь между уравнением Риккати го + го + р2о+ д = 0 (6.88) и уравнением Шварца (6.89) которые получены из одного и того же линейного уоавне- ния (6.82).
Выразим из соотношения (6.85) отношение у /у и обозначим его через ю(2): 1 по 1 ш(2) = — — —, — — р. 2ц' 2 (6.90) Утверждение 6.10. Формула (6.90) устанавливает связь между решениями уравнений (6.88) и (6.89). Дока за тел ьст в о. Пусть ц есть произвольное решение уравнения Шварца (6.89). Подставив выражение (6.90) в (6.88), мы без труда убеждаемся, что го(2) есть решение уравнения Риккати. Выбор постоянных а, ф, 7, 6 дает возможность получить любые начальные данные задачи Коши п(0), ц'(О), 21в(0), принадлежащие открытому множеству трехмерного пространства, замыкание которого совпадает со всем пространством.
А именно, для определения коэффициентов а, ф, т, 6 получаем следующую систему уравнений: ГЛАЗА б. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ б б, МАТРИЧНЫЙ АНАЛОГ ОПЕРАТОРА ШВАРЦА 257 Обратно, пусть и(Х) есть решение уравнения Риккати (6.88). Подставим в равенство (6.85) вместо у'/у выражение ю(Х) и разрешим полученное уравнение относительно ц: ц' = ехр — (р+ 2ю)с(Х (6.91) Подставив (6.91) з (6.89) и используя уравнение (6.88), убеждаемся, что функция т) является решением уравнения Шварца (6.89). СЗ Матричный аналог оператора Шварца. Для исследования матричного уравнения Риккатн важно построить обобщение скалярного оператора Шварца на случай матричнозначных функций.
Определен не (см. 1191). Выражение У 1У (И ю-! Иглу (Игг-1Игл)2 где Ит есть (и х п)-матрица, зависящая от одномерного комплексного аргумента Х, называется матпричнылс оператпоро н Шварца. Утверждение 6.11. Решениями дифференциального уравнения тпретпьего порядха (6.92) являютпся обобибенные дробно-линейные фунхции и тпольхо они (тп. е. фунхции вида (А+ ВХ) 1(С+ РХ)). Доказательство. В уравнении (6.92) сделаем замену переменных у = И", 19 1у' = У. Тогда У'= У~/2, — У 'У'У ' = — 1/2.
Интегрируя, получаем 2У ~ =(а — 1Х), У =2(а — 1 Х) 1, от ~от'=2(а — 1 Х) 1т оо=с(а — 1Х) 2, И'=с(а — 1Х) ~+Ь. Изменяя обозначения, получаем И' = (А + ВХ) ~ + С, где А, В, С вЂ” произвольные постоянные матрицы. П Утверждение 6.12. боровые со схалярным двойным отпношением ), и тпольхо они, являютпся решениями дифференциального уравнения (6.92) на С„(Сги). Доказательство. Утверждение 6.12 означает, что двойное матричное отношение любых четырех точек, лежащих на решении УУ(Х) уравнения (6.92), скалярно. Для доказательства достаточно сравнить формулу (6.93) с формулой (5.26) и применить лемму 5.7.
П У т в е р ж д е н и е 6.13. При замене независимого перелеенного Х = Х(т) оператпор Шварца преобразуетпся следуютцим образомг l го(2~2 ~2 (Я,И')(Х(т)) = (Я,)У) ~ ~ — ~ + (Я„Х)(Х(т))~ . (6.94) Доказательство. Имеем ИИ', АХ вЂ” = Иг' —, Нт о(т ' 2 ( ) + 2 — (Иг') 'И'в — + + ( ) 2 + 2 — — (Ит') 1И'л — + + 2 (И") 'И'и — 2+1 Используя два последних равенства, получаем формулу (6.94). П ') Соответствующее определение см. в $4 гл. Е.
9 М. И. Зеиииии 259 Ф к мАтРичныЙ АнАлОГ ОпеРАтОРА птвАРИА ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ 258 Следствие 6.2. При дробно-линейных заменах аргументпа имеем (Я И (Ф(т)))(,Хт)2 (Я И )(412)2 стт+ Я Действительно, при 2 = в силу утверждения 6.11 Тт+б Я, Ф = О. Следствие 63. Я,+вИ'~ '1 (тг б —,67)~ 4 — — Я,И. Образ т . + г ('Тт + б) матпричного дифференциаль+ного оператпора Шварца естпь простпранство тпензоров, соответпгтвующих матпричным ивадратичныл4 дифферен44иалом. При обобщенных дробно-линейных заменах функции И' матричный оператор Шварца, в отличие от скалярного, не остается инвариантным.
Но инвариаитом является класс подобных матриц, соответствующих образу Я,И'. А именно, имеет место утверждение 6.14. Утверждение 6.14. Пусть У =(А+ ЗИ')(С+ РИ') '. 2огда,существует матприца Г тания, чтпо Я,У = Г (Я,И') Г ' До ка 8 а тел ь ство. Группа обобщенных дробно-линейных преобразований порождается следующими преобразованиями: 1) И' ~-» И'+ А; 3) Ит»-» А И'; 2) И' ~-+ И'А; 4) И'»-» И' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
