М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Правая часть системы (6.44) состоит из двух сумм: » а У13 = С~, Л«2У!а+ ~.~ ~В!Ущ' а=! В=! При вычислении Ь' мы будем последовательно подставлять а сумму 2; Л уу! вместо каждого из столбцов Ь, а сумму а а 1 Я Л .у . — вместо каждой из строк. Тогда получим в! вт' ут т ''' г~ «1 !т!« ч Л а 1 — ",Л(1,.1) = ',1. Вез + У' т ' ' г. «т'УЬ» ' ' УС!1 а=! у' т'. У121 ~ Л, удй ~; Л,!Удг В=! 0=1 !ет у 1, Л ~(1 С (,7))+~~! '> Л~,.Ь(С! (1),1). (6.46) ге г»=1 !Ет 11=1 Полученное равенства доказывает лемму.
С1 Следствие 6.1, При т= и для уравнения !1 — У= УЬ + 1, Уполучаем т а$ (!(е1 У)' = 2(Тг 1,) !)е1 У. (6.4?) Следовательно, если !)е1 У(~ ) ее О, то т(е1 У(г) ие равно нулю ии при каком значении 1, т. е. при движении по верхней полу- плоскости Зигеля за конечное время траектория системы (6.43) ие может попасть на границу в области Зигеля. Докажем, что траектория РУ(е) системы (6.43) не может за конечное время уйтн на бесконечность. Все бесконечно удаленные точки многообразия е„принадлежат его границе в. Любую бесконечно удаленную тачку в можно перевести в конечную Г= В(г)Г.
(6.50) ГЛАВА 6. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ точку, принадлежащую л, при помощи обобщенного дробно-линейного преобразования. Как было показано в гл. 2, при таком преобразовании система (6.43) вновь переходит в систему вида (6.43). Отсюда следует, что за конечное время решение системы (6.43) не может уйти на бесконечность, что и завершает доказательство теоремы. П Итак, комплексифицированное уравнение Риккати определяет (нестационарный) поток иа обобщенной верхней полуплоскости Зигеля. Другими словами, верхняя полуплоскость Знгеля есть интегральное многообразие системы (6.43).
Покажем, что каждый страт л„границы Ь„является интегральным многообразием этой системы. Т е о р е и а 6.3. Уравтсеиил (6.43) оиредвллюта гладиий потом иа гсалсдом из многообразий лв, Ь = О, 1,..., и — 1. До к азат ел ьс та о. Рассмотрим уравнение (6.44). Заметим, что если Гк У(ЕЕ) = Ь, то найДетсЯ миноР поРЯДка Ь, отличный от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю.
В силу леммы 6.7 вектор из всех миноров фиксированного порядка та удовлетворяет однородной линейной системе уравнений (6.46). В силу теоремы единственности этот вектор либо тождественно равен нулю, либо никогда не обращается в нуль. Следовательно, ранг матрицы У(Т) сохраняется, т.
е. Гк У(г) = Ь. Тем самым решения системы (6.43) не покидают страт л„. Однако, в отличие от решений, лежащих внутри обобщенной Верхней полуплоскости Зигеля 6„, решения, лежащие на ее границе л, могут уйти на бесконечность за конечное время, поскольку вне рассматриваемой карты (на бесконечности) нет точек 6„, но есть точки л. Покажем, что даже проходя через бесконечность, траектория не может сойти со страта л .
Действительно, в силу утверждения 6.2 преобразования ГЕ Е Зр(и, Ж) переводят л в себя. Поскольку при компактификации к страту а присоединяются все образы его точек прн действии Зр(тэ, Ж), бесконечно удаленную точку ае л можно перевести в его конечную точку с помощью некоторого элемента из Зр(тт, )к). Как было показано в гл. 2, это преобразование ие меняет вида системы (6.43), и траектория, проходящая через а, не покидает л.. П э 4.
НОТОК НА ОЕЛАСТЯХ ОДНОРОДНОСТИ КАРТАНА — ЗИГЕЛЯ 237 9 4. Поток на областях однородности Картана — Зигеля В предыдущем параграфе было рассмотрено уравнение Рик- кати Ф вЂ” 14'А 1уу — СА 'В' — И'А 'С вЂ” СА 'С +В=О,(6.48) в котором матрицы А и В действительные и симметрические, Этот случай соответствует уравнению Риккати, рассматривае- мому в классическом вариациоином исчислении, а именно, урав- нению Риккати для задачи минимизации функционала 1 = — 1(А(Т))г, Ь) +2(С(Е)Ь„Ь) + (В(Е)Ь, Ь)) с(к. (6.49) 2 ) Уравнение Риккати (6.48) получено нз канонической гамильто- новой системы обыкновенных дифференциальных уравнений Ь= -А-~С~Ь+ А-~р, р=( — СА С +В)Ь+СА ~р, — А'С А'~ матрица которой С4-1Ст В С 1 1) привсехзначениях Т принадлежит алгебре Ли ер(и,)к) группы Ли Бр(тт,)к).
В $3 было показано, что комплексное уравнение Риккати данного вида определяет поток на обобщенной верхней полу- плоскости Зигеля (т. е. на области однородности Зигеля В1-го типа) и на каждом из стратов ее границы. Здесь мы покажем, что при других условиях на коэффициенты комплексное уравнение Риккати определяет поток иа других областях однородности Картана — Зигеля. Уравнение типа Риккати дли линейной системы, матрица которой принадлежит данной алгебре Ли.
Пусть Ф вЂ” алгебра Ли группы С *). Рассмотрим линейную матричную систему обыкновенных дифференциальных уравнений ') Реаулвтаты этого пункта праменимы к случаям, когда коэффициенты ураннення Риккати и его решения принадлежат полю Н или полю С. 2 4. поток нА Оелйстях ОднОРОдности кАРтАнА — зигеля 239 глАВА а комплексные уРАВнения РнккАти 238 Предположим, что при всех значениях независимого переменного Ф матрица В(2) принимает значения в алгебре Ли (6. Тогда согласно утверждению 4.5 Г(1) Е С, если Г(0) Е С. Пусть далее С ()к") (или С (С"), когда основное поле констант есть С) — грассманово многообразие с-мерных плоскостей с канонической системой карт, введенных в $1 гл. 4.
При начальном условии Г(0) Е С система (6.50) определяет однопараметрическое семейство линейных преобразований пространства )и" (соответственно С"), при котором каждое из преобразований принадлежит группе С. Этн преобразования, будучи невырожденными, переводят любое Й-мерное подпространство пространства )к" (или !с,") вновь в Й-мерное подпространство и тем самым порождают поток преобразований соответствующего многообразия Грассмана. (Обычно в качестве начального условия рассматривается Г(0)= 1.
В этом случае эволюция начинается с тождественного преобразования.) Найдем дифференциальное уравнение, которое описывает эволюцию этих преобразований на грассмановом многообразии. Введем для этого разбиение матриц В и Г на блоки. Верхняя пара индексов, как и прежде, будет обозначать число строк и столбцов в соответствующей подматрнце. Итак, пусть В= Вйй Вй(»- й) Гйй 1-й(»- й) 12 г= 1' В(»-й)й В(» — й)(»-й) / ! ~ 1(»-й)й 1.(» — й)(»-й) 21 22 21 22 Пусть Ит — ((и — й) х в)-матрица, определяющая координаты точки И' Е Сй(К") (или Сй(С")). Докажем следукпцее обобщение теоремы 2.3.
Теорема 6.4. При дебстпвии потпоиа рви«ениб уравнения (6.50) вволю«(ия матприиы Ит(й) описывается 1(равненисл« И =В"-")'+В1--й)™)% Ивйй ИВЦ--)И (651, 21 22 Доказательство. Какбылопоказанов$1гл. 4, матрица И' при преобразовании Г(2) преобразуется с помощью дробно-линейного преобразования И(1)=(г(" й)й+Г(" й)( )Иа)(ги+Гц )И ) (652) В последующих вычислениях мы будем для краткости опускать верхние индексы.
Дифференцируя (6.52) и используя дифференциальное уравнение (6.50), получаем И'=(В,Гн+Вгггг)+ Вг ГггИтз+ Вгггггйо)(г„+ГРЯИо) — (Г„+ Г„И')(Гн + Г12И;) х х (В,ГИ+ „Ä+ В,ГшИ;+ В12Г~И;)(Г, + ГггИт) Преобразуем полученное Выражение, выделяя коэффициенты при В,,, Получаем ! И = В„(Г„+ Г12И;)(Г„+ Г12Иу-1+ + Вгг(Гг, + Гггитз)(г(1+ Г12Щ '— — (Г„+Гггитз)(г„+ Г„и,) 1(в„(г„+г„и;)(г„+ г(гит)-1 + + Вгг(Г2, + Гз)итз)(Г)1+ Г)гита) ']. Подставив сюда выражение Ит(2) из (6.52), получаем окончательно %Р = Вг, + Вгги' — итв„— И'Вшит.
(6.53) Теорема доказана. (3 3 а м е ч а н н е. Любое решение уравнения Риккати (6.53) получается из решения линейной системы (6.50) процедурой «грассманнзации», т. е. при помощи отношения двух матриц, определяющего координаты на многообразии Грассмана). Общее решение линейной системы является линейной комбинацией конечного числа ее решений. Поэтому можно выписать явные формулы выражающие зависимость общего решения уравнения Рнккати от конечного числа его решений. В литературе по теории уравнения Рнккати эта зависимость называется ивиным правилом (см. <105, 119]), Оставшаяся часть $4 будет посвящена конкретизациям теоремы 6.4. Потек на области однородности 1-го типа.
Напомним, что область однородности Зигеля 1-го типа — это множество прямоугольных (дх р)-матриц И' с комплексными элементами, удовлетворяющих условию И,т тт, (6.54) 240 ГЛАВА В. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ $4. поток нА ОБлАстях ОднОРОднОсти кАРтАнА — зигеля 241 й = р(г)г+ 9(т)у, у=т! (й)е+г(й)у, (6.56) (как всегда, знак неравенства между матрицами означает, что разность правой и левой части есть положительно определенная эрмитова матрица, черта означает комплексное сопряжение).
Граница области (6.54) является стратифицированным многообразием, страты которого т, задаются условиями 1„= (Ит! И'т И' (1, гк(1 — Итт Ит) = тт), причем т,з — — (И' ~ И'т Ит = 1) есть граница Шилова [56, т. 2] области (6.54). Рассмотрим уравнение, описывающее перенос р-мерных плоскостей с помощью отображений, определяемых линейной (р+ д)-мерной системой дифференциальных уравнений, матрица коэффициентов которой при всех значениях аргумента принадлежит алгебре Ли группы, действующей на области однородности Зигеля 1-го типа. Полная группа аналитических автоморфизмов области (6,54) обозначается через Щр, д) и определяется как группа ((Р+ Ч) к (р+ т7))-матриц с комплексными элементами, сохраняющих невырожденную эрмитову форму от р+ д переменных сигнатуры т7 — р. Иными словами, группа У(р, о) состоит из таких матриц С, что СтН С=Н, (6.55) д г=( г ~) ьр 1,, б ц бю л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
