М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 35
Текст из файла (страница 35)
П Заметим, что билинейная форма (я»зх, 7язгу) на А2 симметрична, так как для х, у е А2 в силу лагранжевости А, и Аз имеем (х, 7 У) = О = (гг! х+ тгз! х, .7(4ггзУ+ тг, У)) = = ( гзх, 7яз»у) +( згх> 7хгзу). Далее определим индекс Маслова т (А„А, А, А ) для четверки и-мерных лагранжевых плоскостей формулои т (Аг, А2, Аз, А4) = т (Аг, А2, Аз)+ т (Аг, Аз, А4). (5.37) Рассмотрим теперь пару лагранжевых плоскостей А, В и определим для нее величину д4п — — т ( — А '> — В ', А, В) х=х +х, О =. 1тх !'т х2. Решив ее относительно х,, х2, получаем х = (1 + Ъ' ) х, х = 1т~(1+Р'~) гх. (5.40) (напомним, что матрицы А и В симметричны). Величина д„в не является инварнантом пары плоскостей относительно действия группы 5р(п, !к), поскольку преобразование Я»-»-Я ' не коммутирует с действием Бр(п, Ж), так как ортогональное дополнение не сохраняется при произвольном симплектическом преобразовании.
Те о р е м а 5.8. Величина дгв — унитпарный инвариантп пары плосхостпей. Тем салеым необходимым условиела вмвивалентпностпи двух нар илосиостпей А, В и С,.О лвллетпсл Равенстпво д4л — — д,о. Доказательство. В силу леммы 5.4 преобразование Я» — Я ' коммутирует с действием группы Щп), которая сохраняет также и индекс Маслова четверки плоскостей. (3 Найдем простую явную формулу для построенного инварианта дгв в некоторой специальной системе координат.
Используя формулу (5.37), получаем дгв — — т( — А,— В ',А,В)= = т ( — А ', — В ', А) + т ( — А ', А, В). (5.38) Рассмотрим сначала первое слагаемое правой части. В силу (5.36) оно равно 21яп(тг»зу 7тгз! у) (5 39) где уе — В '. Поскольку плоскости А и -А ' ортогонзльиы, тггз — ортогональный проектор на — А ', а 4гз! — ортогональный проектор на А. Рассмотрим карту, в которой плоскость -В ' имеет нулевые координаты. Пусть в этой карте плоскость А имеет координаты Ъ'. Для того чтобы вычислить инвариант дгв, сначала нам надо спроектировать вектор у=(х, О) Е( — В ') на плоскости А и -А ', т.
е. разложить его на сумму двух векторов вида (х„Ух!) и (х, — Р 'х ). Для этого мы должны решить систему глАЕА з. мАп ичное двоякое отношение Теперь найдем снгнатуру квадратичной формы (5.39). Так как матрица У симметрична, то по лемме 5.2 матрица 1+ У невырождена. Следовательно, х, у=((1+Уз) 'х, У(1+Уз) 'х), кз!р=(у'(1+У') 'х,-у(1+У') 'х), 1кз,у=( У(1+Узг!х, У2([+У2)-!х). Квадратичная форма (5.39) имеет внд (-У(1+уз) 2х,х) — (уз(1+у )-зх,х) = = (-У(1+Уз) 'х, х). (5.41) Так как матрица (1+У ) ' положительно определена н коммутирует с матрицей У, то индекс формы (5.39) равен индексу формы с матрнцей — У. Второе слагаемое правой части (5.38) вычисляется аналогичным образом. Так как д= (О,х), вместо системы (5.40) мы получаем следукнцую систему: 0=,+х х=ух,— У 'х.
Решение этой системы имеет вид х, = У(1+ Уз) 'х, у(1+У2)-! Поэтому к, д=(У(1+Уз)-!х, 1 2(1+Узг!х), из!а=(-У(1+У Г х (1+У Г х), 7,гз!р=((1+уз) !х У(1+У )-!х). Итак, квадратичная форма, соответствующая второму слагаемому в формуле (5.38), имеет вид (У(1+Уз) зх, х) + (уз(1+Уз) 2х, х) = (У(1+уз) !х, х). Тем самым т( — А т,— В !,А)»» — т( — А ',В,А). Итак, в рассматриваемой системе координат длз равно удвоенному индексу матрицы У.
$ !П ЧЕТВЕРТОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КАК НЗОМЕТРНЯ ф Ит. Четвертое гармоническое иак нзометрня многообразна Лагранжа — Грассмана Для доказательства теоремы о четвертом гармоническом для многообразия Лагранжа — Грассмана нам понадобится лишь один частный случай эквивалентности пар плоскостей. Утве ржде ние 5,14. Для любой матрицъь ДЕЛ(Гь~") пара плоскостпей ٠— Я эквивалентна паре плоскостпсй 1„, — 1„.
Действительно, обе пары состоят из взаимно ортогональных плоскостей, поэтому, если Я перевести в 1„унитарным преобразованием, то — Ч ' перейдет в ортогональное дополнение к 1„, т. е. в плоскость — 1„. С) Теорема 5.9, Длл любой тпочки ЯеЛ(К~") отпобра- 2» жение !т; Р!-»!т(Р), которос каждой и!очке Р ЕЛ(й ) ставитп в соотпветпстпвие четвертпое гармоническое тройки Я, — Я !, Р, лвллетсл инволютивной изометприей Л(К2 ) относительно то ики Я. Дока з ат е льет в о. Утверждение 5.14 позволяет свести теорему к рассмотрению случая О = 1„, — Я = — 1„. Как и при дав 1 казательстве теоремы 5.4 получаем, что тт(Р) = Р '. Отображение т инволютивно; точка ц — его изолированная неподвижная точка. По теореме 1.4 унитарная группа транзитивно действует ' на множестве лагранжевых плоскостей.
Стационарная подгруппа некоторой вещественной плоскости У состоит из таких ортогональных преобразований 21, которые оставляют У неподвижной. Каноническое отождествление Л(К2») = 11(п)/ О(п) показывает, что элементы группы Б(п) являются изометриями Л(1к~").
Однако группой 11(п) не исчерпываются все изометрин многообразия т'0 1„! Л(~2»). Отображение !т, которое задается матрицей ~ также является изометрней, хотя и не принадлежит группе (1(п). (Действительно, отображение а есть умножение на -2 с последующим комплексным сопряжением, которое не является унитарным преобразованием.) С) Теперь мы достаточно подготовлены для того, чтобы показать применение матричного двойного отношения к исследованию уравнения Рнккати. ГЛАВА 6. МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ у 11. Применение матричного двойного отношения к исследованию уравнения Риккати Рассмотрим три произвольных решения, Р1(г), Рг(4), Рз(Ф), уравнения Рнккати Ф =  — (1У+ С)А-1(уУ+ С'). (5.42) Для любой (и х и)-матрицы Р через аз(г, Р) обозначим коэффициенты характеристического мнагочлена матрицы Т)Ч(Р,Р„Рг, Рз).
Очевидна, чта эти коэффициенты не зависЯт ат выбора йредставителя класса 10Ч1 Т е а р е и а 5.10. Функции аз(т, Р) являются первьзми интпегралами уравнения Риккати. Доказательство. В $3 гл.2 было показана, чта уравнение Риккати (5.42) описывает перенос п-мерных плоскостей при линейных отображениях пространства )й~" па траекториям линейной канонической гамнльтановой системы. Отсюда следует, что при каждом значении г отображение тУ(гп) 1-4 )У(г) представляется обобщенным дробно-линейным преобразованием матриц. Матричное двойное отношение при этом преобразовании не меняется, а эта н означает, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы ЕЧ остаются постоянными.
П Другими словами, любое решение уравнения Риккати не покидает орбит действия присоединенного представления группы 81.(п) на множестве и-мерных матриц М„*). Пусть Р1(4), Рг(4), Рз(4) — три решейия уравнения Риккати. Для каждого о Е Ж построим матричную функцию Р4(г) таким образом, чтобы при каждом г двойное отношение полученной четверки матриц было равно а 1„. Условие ВЧ(Р(г), Рз(г), Рз(4), Р4(г)) = а 1„(5.43) определяет функцию Р4(Г) однозначно. Действительно, разре- шим уравнение (5.43) относительно Р4. Получаем Р4 = (1„ст(Рз Рг)(Рз Р) ') '(Рг а(Рз Рт)(Рз Р1) Рг)- ') Определитель матрицы, с помопгыо которого осу1цестплпетсп сопрпжение попсовых матриц, можно нормпропеть единицей. й 11.
пРименение дВОЙИОГО ОтнОшения к РРАвнению РНККАти 205 Утверждение 5.15 . Функция Р4(г) является решением уравнения Риккатпи. До ха з а тел ьс т во. Функция Р4(г) будет определена при тех значениях г, для которых матрица (Рз — Рг)(Рз — Р,) ' не имеет 1/а своим собственным значением. В противном случае Р4(г) будет неопределена, т. е. в этих точках траектория выходит за пределы рассматриваемой карты и для определения координат этой плоскости надо перейти в другую карту.
Рассмотрим решение Р(г) уравнения Риккати, которое при некотором с = го совпадает с Р4(г). По теореме 5.1 матричное двойное отношение четверки точек Р1(к), Рг(к), Рз(к), Р(к) постоянно и тождественно равно сг 1„. Следовательно, по теореме единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Р(1) = — Р($). С) Уравнение Риккати (5.42) задает перенос плоскостей при действии потока, определяемого канонической системой обыкновенных дифференциальных уравнений (см. $3, гл. 2) для функционала (АЬ, Ь) + 2(СЬ, )4) + (ВЬ, 14).
(5.44) Зафиксируем две произвольные плоскости и найдем условия, при которых уравнение Риккати (5.42) сохраняет квадратичную форму для определения углов между плоскостями. Те о р е м а 5.11. Пусть коэффициенты функционала (5.44) связаны соотпношениялси СА 'С вЂ” В=А ', (5.45) А-1 Ст СА Тогда квадратпичная форма для определения углов между любыми двульа решениями уравнения Риккати остпаетпся постпояннаб.
Доказательство. Пусть Х1(г), Хг(г) — решения уравнения (5.42). Обозначив ( — Х ) ' через У, получаем, что уравнение Риккати для — (Хт) ' и -(Хгт) 1 имеет вид — У=А ' — УСА ' — А 'СТУ+ У(СА 'С вЂ” В)У. (5.45) Из условия (5.45) следует, что уравнение (5.42) совпадает с (5.46). Поэтому все четыре матрицы Х,, Х, — (Хт), — (Хгт) ' глАЕА к мкп ичное двойное отношение $1е ПРименение дВОЙнОГО ОтнОшения к РРАВИБнию РиккАТИ Зг7 ((й, й) + 2(Сй, й) — ((!„+С')й, й)) г(г, где С = — С. Уравнение Риккатн для этого функционала имеет вид Иг = В" + СИ' — ИгС+1„. Выпишем уравнение Эйлера: Х = СХ+У, У= — Х+ СК (5.47) Из сохранения евклидовой и симплектнческой структуры пространства ~В" при отображениях по траекториям уравнения Эйлера (5.47) следует, что сохраняется эрмитава структура этого пространства, возникающая при его отождествлении с С", Таким образом, уравнение (5.47) можно записать как линейное уравнение относительно комплексной (и х и)-матрицы Я = Х + гУ, коэффициенты которого определяются некоторой комплексной (их п)-матрицей М= К+ гЬ: (5.48) Я = Х + гУ' = (К + гХ )(Х + гЪ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
