М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассмотрим соответствующие геодезические: ехр(1Я,.) =(соз 1) 1 „+(81п г)Я, (5.27) Отображение ехр(ТЯт) переводит матрицу тт'(0) в (1д г)ат Пусть Р, =(Еде)а„Рз =~ьат) (5.23) В силу (5.27) многообразие 1т состоит из матриц вида Мы должны проверить, что существуют такие числа сто что ,Ур~ ц(о) = [(1 — ~т)(а1 1п т) + о(о 1дт) ] = ов 1„+ ~ ттта, глАЕА з.
мкп ичное двойное Отношение 184 $ з, четнегтое ГАРмоническое кАк ГеОдезическАя изометРия 188 Положим а< =0 при с > 3. Достаточно показать, что выраже- ние (Л, а, ' + Лгог ') ' при любых Л „Лг й К' есть линейная ком- бинация а, и а . Для этого выберем Л, и Л так, что Лг+Л~ ~— — 1. Тогда в силу уравнений Гурвица имеем (Л!а!+Лгаг)(Л<а!+Лгог)=Л!а! а!+Л,ЛЗ(а~!аз+а~~а!)+Лг~а~аг=1„. Следовательно, (Л!а! ! + Лга~!) ! =(Л,а! + Лга~~) ' = Л!а, + Лгаг, что и требовалось доказать.
П Формулы 1 «~(Р! < О' Р< Рз) <т !и1 Р=((! — а)Р, 1 + оР ~] <, (5.29) можно рассматривать также для комплексных (п х и)-матриц Р< и комплексных чисел <т. Тогда они задают взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между расширенной ком! плексной плоскостью <т Е С и ее образом в С„(С~") при отображении (5.29). Поэтому комплексные кривые со скалярным двойным отношением на многообразии С„(С~") представляют собой гладкие вложения римановой сферы в С„(СЕ"), что лишний раз подчеркивает аналогию между действительными кривыми со скалярным двойным отношением и окружностями.
ф 6. Четвертое гармоническое как геодезическая изометрия О и редел е н не. Точку Р й С„(К~") мы будем называть четпвертпылс гарл<оническим точек Р„Р, Р Е С„(К~"), если четверка точек Р„Р, Р, Р гармоническая. Многообразие С„(К~") — римаиово симметрическое пространство. Это означает, что для любой точки Я е С„(К~") существует инволютивная изометрия, для которой точка !.«является изолированной неподвижной точкой.
Приведем явную формулу для этой изометрии. Т е о р е и а 5.4. Для любой тпочки 1.«Е С„(К~") отпобразсение Р ~ <р(Р), котпорое кагсдой тпочке Р стпавитп в соотпветпстпвие четпвертпое гармоническое тпочек Я, ( — <;г ), Р, являетпся инволютпивной изол<етприей многообразия С„(К~") отпноситпелъно тпо пки гг. Доказательство. Пусть точка Р достаточно близка К ТОЧКЕ Сь<. В СИЛУ тЕОрЕМЫ 5.1 Парн ТОЧЕК 4.«, (-<,"Г ) ' И 1„, (- 1„) эквивалентны, поскольку соответствующие матрицы двойных отношений равны нулю (или, эквивалентно, обе пары плоскостей, соответствующих точкам грассманова многообразия, взаимно ортогональны). Поэтому достаточно рассмотреть случай Я = 1„, ( — Я~) ' = — 1„.
Тогда ПУ(1, — 1; Р, <<с(Р)) = (Р— 1)(Р + 1) '(ч! + 1)(<<с — 1) ' = — 1, <р+1=-(Р— 1) '(Р+1)<р+(Р— 1) '(Р+1), р = (!+(Р— 1)-'(Р+ !))-'((Р— !)-'(Р+ 1) — 1) = =((Р-!)+(Р+1))-!(Р-!)(Р-!Г!(( +1)-(Р-1))=Р-!.
Преобразование <р задается ортогональной матрицей ~1 ~ и ° /О 1„~ тем самым определяет изометрию С„(К~"). Точка 1„, очевидно, является изолированной неподвижной точкой этой изометрии. П Теорема 5.4 дает возможность изучить глобальные свойства инволютивных изометрий. А именно, неподвижные точки инволюции <р(Р) — это решения уравнения Р =1„. Отсюда следует, что матрица Р диагонализируема и имеет собственные значения, равные ~1. Орбиту группы О(п), проходящую через точку П, соответствующую диагональной матрице с собственными значениями +! и сигнатурой й, обозначим через О .
Орбиты О„ остаются иеподвижныыи при инволюции <<т. Пусть АГ С С„(КЕ"). Рассмотрим семейство геодезических многообразия Грассмана, ортогональных к подмногообразию Ж, и точку Р й АГ. Пусть 7 = Ехр(1Х) — уравнение некоторой геодезической из рассматриваемого семейства, где с е К, Х е ТФ~, проходящей при 1 =0 через точку Р. Тогда геодезической симметприеи отпноситпельно многообразия А«называется отображение, которое каждой точке Ехр(КХ) ставит в соответствие точку Ехр( — зХ). Утверждение 5.8. В окрестпностпи любой точки орбиты Од отпобразсение <р естпь геодсзичес<соя симлсетприя отпноситпельно зтпой орбитпы. !Вб ГЛАВА 5.
МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ $5. ЧЕТВЕРТОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КАК ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ИЗОМЕТРИЯ !87 Доказательство. Заметим, что матричное двойное отношение непрерывно. Пусть В Е О . Тогда прн АА-+ В последовательность чь(А ) сходится к В. Тем самым в малой окрестности орбиты О„существует такая точка А, что ьа(А) также принадлежит этой окрестности. Проведем через точки А и уо(А) кратчайшую геодезическую у. Поскольку уь — нзометрня, образ у при отображении ьо вновь будет геодезической, а поскольку пара точек А,ьр(А) переходит в себя, то р(у)= (7), Так как сов изометрия, то .7 и О перпендикулярны.
Обратно, при нзометрни ьл любая ортогональная к О„геодезическая перейдет в себя. Точки, лежащие на этой геодезической и равноудаленные от О, перейдут друг в друга. П Четверку точек Р„Р, Р, Р назовем бигарльаночесхай„ если Р2 = ( — Р! Г Ра — ( — Рз ) ЮУ(Р! Ргь Рз Ра) 1». Как было показано, изучение бнганрмонйческих четверок можно свести к случаю Р = 1„, Ре = — 1„.
Тогда условие бнгармоннчностн означает, что РЧ(( — Р ) ', Р;1„, — 1„)= — 1„, и, следовательно, матрица Р кососимметрнчна, Р = — Р. Многообразие изотропиых плоскостей. В фиксированной карте на многообразии С„(Ж ") рассмотрим множество точек, координаты которых — кососнмметрнческне матрицы. Обозначим через Б многообразие '), являющееся замыканием этого множества.
Изучим некоторые геометрические свойства многообразна Б. Утв е ржде н не 5.9. Многообразие Б есть геаметричесхае места точех С (Ж "), ровнаудаленных агп 1„и ( — !„) и изахлихичньгх с зтими пласхасгпями. Доказательство. Вычислим квадратичную формудля определения углов для матрицы 1„И произвольной кососимметрнческой матрицы Р: 1)Ч (1 р)(1 1„1 ) — !(1 +р)(1 рз)-! = (1/2)(1» Р)(1»+Р)(1 Р~Г~ =1„/2. Тем самым плоскость Р нзоклинична плоскости 1„Н угол между ниии равен и/4. Следовательно, Р нзоклннична н ортогональной плоскости ( — 1„) н наклонена к ней также под углом я/4, ') Ниже, в гл. 6, свойства многообразия В будут использованы прн выделении классов уравнений Риккати, комплексифнкапия которых определяет потоки на областях однородности Картана — Зигеля.
150(2п) = ч)+ Я, х=(( е) '=-,,ь'=-ь) где — подалгебра, отвечающая стабилизатору Х плоскости а= ~1=1( 'Ь, ОИ вЂ” дополнение к Я в 550(2п), инвариантное относительно дей- ствия Аб К. Вычислим экспоненциальное отображение для 41: О Ь! / соз ЬГ з!и ЬФ') р ( — Ь О/ ~ — 51п ЬГ созЬГ/ ' Тригонометрические функции от матричного аргумента опреде- ляются с помощью ряда Тейлора.
Наоборот, для того чтобы Р была изоклннична 1„И (-1„) и равноудалена от ннх, необходимо н достаточно, чтобы квадратичная форма для определения углов между Р и 1„имела внд 1„ /2: пег (1 +рт)(21 )-!(1 +р)(1 +ртр)-! Но тогда (1 +Р )(1 +Р) =1 +Р Р, н, следовательно, Р =-Р П Прн ортогональном преобразовании Ж~", т. е.
при нзометрнн С„(Ж "), конус нзоклнничных с 1„ и ( — 1„) плоскостей, составляющих с ними угол т/4, перейдет в такой же конус относительно двух других взаимно ортогональных плоскостей, Полученное многообразие нзометрнчно Б. Однако, оно уже не представляется кососнмметрнческнми матрицами. Докажем следующее инвариантное свойство многообразия Б. Те о р е м а 5.5. Мнапсества Б, описываелеое урпвнеиоем Р = — Р, являегпся вполне геадезичесхым падмнагааброзием С„(Ж~"). Доказ а тельство.
Рассмотрим разложение алгебры Лн 55О(2п) на подалгебру, соответствующую стационарной подгруппе точки а = ьр(е) е С„(Жвв) = 0(2п)/(0(п) х 0(п)), н на ее ортогональное дополнение. Тогда имеем 189 5 6, КЛИФФОРДОВЫ ПАРАЛЛЕЛИ ГЛАВА 5. МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ Геодезическая многообразия С„(Ж~") задается формулой (г)=!в р( Ь О) = — !аЬТ. Разлагая полученное выражение в ряд Тейлора, легко убедиться„что матрица %'(с) = — !е Ьс кососимметрична тогда и только тогда, когда матрица Ь кососимметрична.
Поэтому Т„, Я (касательная плоскость к многообразию Б в точке г!г(0) = о = !Р(е)) состоит из матриц ( ), где Ь = — Ь. Проверим, что зто надпространство есть тройная система Ли. Имеем [( ) ( )]( ) ~( О [Ь с])'(а О)1 ([[Ь с] а] 0 ) Так как кососимметрические матрицы образуют алгебру Ли, то из а =-а, Ь = — Ь, с = — с следует [[Ь,с]>а] = — [[Ь,с],а]. Итак, Б — вполне геодезическое подмногообразие С„(Ж~"). П Многообразие $ допускает также следующее инвариантное описание. Рассмотрим О(п, п) — группу матриц, оставляющих инвариантной невырожденную квадратичную форму от 2п переменных сигнатуры 0: ('((х, у), (х, у)) = ~~~ хсус = (х, у).
(Здесь и далее угловыми скобками обозначается стандартное евклидова скалярное произведение и-мерных векторов.) Плоскость А называется изотропной, если Д[л —— О. Нетрудно показать, что максимальная размерность изотропной плоскости равна и. У т ве ржде н не 5.10, Точка многоофазил С„(Ж~"), координата которой равна матрице А, изотропна тогда и только тогда, когда А =-А. т Доказательство. Действительно, условие изотропности плоскости у = Ах состоит в том, что с,((х, Ах), (х, Ах)) = 0 для любого х Е Ж", т.
е. (х, Ах) = О. Отсюда следует, что А = — А. С! Рассмотрим в С„(Ж~") базис, определяемый следующими двумя плоскостями: плоскостью Рз — максимальным подпространством, ограничение формы с," на которое положительно определено, и плоскостью Р— максимальным подпространством, ограничение формы с," на которое отрицательно определено. Поскольку сигнатура с, равна нулю, обе плоскости и-мерны и форма ~ в этих координатах имеет вид с,'((х, у), (х, у)) = (х, х)— — (у, у). Плоскость А нзотропна тогда и только тогда, когда для любого вектора х е Рз выполнено равенство (х, х) — (Ах, Ах) = =О. Следовательно, в базисе Ро, Р многообразие Б состоит из ортогональных матриц.
й 6. Клиффордоаы параллели Рассмотрим группу Бр!и(3) единичных кватернионов, которая как многообразие представляет собой трехмерную сферу Я~. Бр!п(3) — полупростая компактная группа Ли и на ней существует двусторонне инвариантная риманова метрика (соответствующая углам между лучами, идущими в точки 88 из ее центра). Группа движений в Бр!п(3) — это группа левых и правых умножений на кватернионы, по модулю равные 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
