М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Чтобы представить себе Я~ наглядно, будем использовать з проекцию из центра стандартной трехмерной сферы 2 х„= 1 А=О на трехмерное пространство, касательное к сфере Я в ее северз ном полюсе, т. е. в точке т = 1. Северный полюс считаем единицей группы. Тогда плоскость х = 1 превращается в пространство ЖРз, бесконечно удаленная плоскость которого ЖР' соответствует сечению сферы Я~ плоскостью х = О, В пространстве Жрз мы введем однородные координаты (т:х,:хг:хз), определенные с точностью до умножения на ненулевую константу. Инвариантная метрика на Я индуцирует метрику в плоскости Г = (хо — — 1) и превращает ее в риманово многообразие (точнее, в одну из ее карт, замыкание которой Ж!гз есть БО(3), которое двукратно накрыто группой Бр!п(3)).
Такая плоскость называется эллаптачвским пространстивом Ей(3). Группа движений в Е!1(3) есть проекция группы вращений сферы Яз. Итак, ЕП(3) есть реализация Бр!И(3) с индуцированной иивариантной метрикой. ГЛАВА 3. МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ 191 Е 6. КЛИФФОРДОВЫ ПАРАЛЛЕЛИ Опишем эту реализацию, и, в частности, опишем левоинвариантные и правоинварнантные векторные поля на Е!1(3). Мы знаем, что геодезическими в Я~ служат большие круги.
При проектировании из центра они переходят в прямые плоскости 5, которые тем самым служат геодезическими в Е11(3). Рассмотрим сначала какое-нибудь конкретное левоинвариантное векторное поле на Я~. Мы знаем, что такое поле можно получить из фиксированного единичного вектора в Т, Бр1п(3) = = (Ю(3), если применить к нему все левые сдвиги в Бр1п(3).
Выберем для определенности вектор, касающийся большого круга (а+ Ье ~ а + Ь = Ц. Экспоненциальное отображение прямой, натянутой на этот вектор, образует однопараметрическую подгруппу Р = (соз!Р + ! з1п ~р !!р Е $Ц. Касательный вектор к ней в точке со =О, есть( — з!и 22+ зсоз 92)~ о — — з'. Рассмотрим левые сдвиги этого касательного вектора при действии группы Зр)п(3). Для того чтобы вычислить сдвиг в точку д е Бр1п(3), надо умножить д слрава на з. При умножении на з имеем 1 !-+ з, з н — 1, у' + — х, й !-т у'.
Следовательно, матрица оператора умножения на з' есть 0 — 1 0 0 о о о 0 О 0 1 0 0 — 1 0 Матрица А кососнмметрнческая и одновременно ортогональная. Это соответствует тому, что точку з можно рассматривать и как точку 5р(п(3), н как вектор, принадлежащий алгебре Ли (;В(3). Образ этого вектора в точке д = (а + а, з + аэу + а !с) есть а, (д)(з) = Ад = -ао аз а2 В силу того, что А ортогональна, !1Ад!! = 1 при любом д, а поскольку А кососимметркческая, Ад 1.д, т. е.
Ад — касательный вектор в точке д. Рассмотрим сдвиг многообразия Я по траекториям диффе- з ренцнального уравнении, отвечающего построенному векторно- му полю хо х1 х2 хз (5.30) ! ХО ХЗ Х2' Траектории этого поля получаются сдвигом на элементы однопараметрнческой подгруппы Р, и потому являются геодезическими в О, т. е. при любом начальном состоянии Х(0) = з = (х (0), х,(0), х (0), хз(0)) точка пробегает большой круг с единичной скоростью. У и р а ж н е н и е.
Проинтетрируйте систему (5.30) н найдите траекторию, прокода!дую через точку Х(0) = (то(0), е! (О), хз(0), аз(0)) Поток уравнения (5.30) образует однопараметрическую группу изометрнй единичной сферы. В частности, пара точек Х'(0), Х2(0) переходит в пару Х 1(т), Х ( г), причем б!з((Х'(0), Х (0)) = йз1(Х'(т),Х2(т)) и йз1(Х'(0),Х'(т)) = = йз((Х (0), Х (т)). О и р е д е л е н н е. Преобразование Р риманова многообразия лг, прн котором б(з((х, Р(х)) = сопз( прн любом х, называется здлиффо)здоаым сдвигом. В евклндовом пространстве клиффордов сдвиг — зто сдвиг в обычном смысле слова. На сфере Я~ таких сдвигов нет.
Выше мы построили клиффордов сдвиг на Яз. Найдем его действие на Е!!(3). Выбрав надлежащую систему координат в Е!1(3), мы можем считать, что подгруппе Р соответствует прямая х, = хг = О. Она отвечает траектории системы (5.30) с начальными данными х,(0) = х (0) = О. У системы (5.30) есть два первых интеграла: т + х, = С, и х2 + т = С . Это означает, что 2 2 2 2 траектории лежат на двумерной поверхности 2 2 о+ х! =Р + (5.31) которая является тором на Я~. Образ этой поверхности при проекции на ЕП(3) — это поверхность 2 2 2 2 ХО + ! + Х2 + ХЗ = ! (1,)(хо2+ хг) „( 2+ хзг) -О Первое уравнение (5.32) есть условие нормировки однородных координат.
Второе уравнение задает однопараметрическое глАВА ь. мАтРичнОе дВОЙнОе Отношение 192 $7. СВЯЗЬ КЛИФФОРДОВЫХ ПАРАЛЛЕТН!Й С ИЗОКЛИНИЧНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ 193 множество поверхностей Г, =((1- р)(,'+*,') - р(,'+,') =О). При р=1 получаем Г, = Ь. Прн Р=О получаем Ге=(хе =х, = =0) — прямую в бесконечно удаленной части Е11(3) (соответствующие две окружности на В зацеплены). Прн 0 < р < 1 эта з поверхность в нашей карте есть однополостный гиперболоид Г =((1 — р) = рх + рхз — (1 — р)х,). Тем самым семейство торов (5,31) переходит прн проекции в семейство однополостных гиперболоидов. Поскольку траекторнн системы (5.30) являются геодезическими, они должны совпадать с прямолинейными образующими гиперболоидов.
В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных данных для системы (5.30) левоинвариаитное поле отвечает одному нз двух семейств прямолинейных образующих. Очевидно, что правоннвариантное поле отвечает другому семейству. Как же осуществляется левый клнффордов сдвиг в Е!1(3)? Через каждую точку Х надо провести гиперболоид Г и образующую одного из семейств на Г . При сдвиге на т каждая точка проходит йо соответствующей образующей одно н то же расстояние (в смысле метрики ЕП(3)). Поскольку это преобразованне является изометрней, то каждая геодезическая перейдет в геодезическую. Отсюда следует, что прямые второго семейства переходят друг в друга, Выберем две любые точки, А н В, на одной прямой и сдвинем нх на т.
Получим две точки С н .О, на другой прямой (см. рис. 5.1). Имеем Рис. 5.1 АВ= С0, АС=ВХ). Далее, поскольку рас- сматриваемое отображение — изометрня, то сумма углов САВ и .ОСА равна я. Далее, прямая АВ оказывается клиффордово параллельной С.О (в смысле некоторого другого сдвига в Я~). То есть пространственный четырехугольник АВВС обладает всеми свойствами параллелограмма: противоположные стороны равны и клнффордово параллельны, соответствующие углы в сумме равны 77 (однако его диагонали не пересекаются) !25]. Ясно, что за исходную кривую Ь можно взять любой большой круг 8з.
Прямые АВ и АС можно выбрать перпендикулярными, тогда мы получим клнффордов прямоугольник. Отсюда следует, что клнффордовы параллели — это прямые, которые находятся на постоянном расстоянии друг от друга. Оказывается, клиффордовы параллели имеют прямое отношение к геометрии грассмановых многообразий н уравнению Рнккатн. ф 7. Связь клиффордоаых параллелей с изоклмиичиьгми плоскостями Как и в случае пространства Е11(3), для описания ЕН(277 — 1) мы будем Использовать центральную проекцию нз начала координат О пространства й~~" на гиперплоскость х „=1. Прн этой проекции каждой прямой, проходящей через О, ставится в соответствне ее точка пересечения с гнперплоскостью х „= 1.
Прямым, которые параллельны этой гнперплоскости, сопоставляются несобственные элементы гиперплоскостн, соответствующие направлению этих прямых. Такая проекция превращает гнперплоскость х „ = 1 в действительное проектнвное пространство КРЕ" '. На стандартной (2и — 1)-мерной сфере Я~" ' С~В" действует полупростая компактная группа Ли О(277), оставляющая ннвариантной угловую метрику на сфере. Эта метрика индуцирует метрику д в плоскости хз„=1. Каждому ортогональному преобразованию Р~" соответствует проектнвное (дробно-линейное) преобразование плоскости х„= 1, сохраняющее индуцнрованную метрику.
Плоскость х „= 1, снабженная метрикой д, называется эллипгаичесяим Ттроегпранетво.и н обозначается ЕП(2и — 1). Поскольку геодезическими на сфере являются большие круги, геодезическими линиями в пространстве ЕП(2и — 1) служат обычные прямые. По той же причине вполне геодезическими подмногообразнями являются обычные плоскости.
Эллиптическое пространство Е11(2и-1) является компактным и максимальное расстояние между любыми двумя его точкамн равно 77. Каждому и-мерному подпространству А с К~" соответствует (и — 1)-мерная (собственная или несобственная) пло- ГЛАВА К МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ $8. ЛВОЙное ОтнОшение нА мнОГООБРАзии лАГРАнжА — ГРАссмАнА 195 194 скость Ас Е!!(2п — 1), являющаяся пересечением А с х „= 1: А= АП( „= Ц. Двумерная плоскость К называется полуперпендикулярнои к плоскости А, если К и А одномерно и существует вектор р е К такой, что р.!. А (см.
рис. 5.2). А У т в е р ж д е н и е 5. 11. Плоскостпи А и В изоклиничны тогда и К тполько тпогда, когда через каждое одномерное направление в А (или в В) можно провестпи общую полуперпен- в дикулярную плоскостпь как к А, тпак и к В. Доказательство. Рассмотрим Рис. 5.2 проекцию вектора (х,Ах) плоскости А на плоскость В. В $1 было показано, что такой проекцией является вектор (у, Ву), где у=(1„+В В) '(1„+В А)х. Если в свою очередь рассмотреть проекцию получившегося вектора (у, Ву) иа плоскость А, то получится вектор (г, Аг), где г — (1 +Ат.4)-'(1 +АГВ)у (5.33) Объединяя формулы (5.5) и (5.33), получаем следующее утверждение.
Л е м м а 5.8. Вектпор г коллинеарен вектпору х тпогда и тполько тпогда, когда ои являетпся собстпвенныль вектпором матприт4ы (1„+А А) '(1„+А В)(1„+В В) '(1„+ВтА). (5.34) Коллинеарность векторов х и г означает, что двумерная плоскость Врап((х, Ах),(у, Ву)) полуперпендикулярна как к плоскости А, так и к плоскости В, Заметим теперь, что фигурирующая в лемме 5.8 матрица (5.34) есть матрица для определения углов. Следовательно, каждый вектор является собственным вектором этой матрицы тогда и только тогда, когда эта матрица скалярная, т. е. когда А и В нзоклиничны. 0 гя Пусть А,  — два п мерных подпространства в В ", А, В— их проекции на ЕП(2п — 1). Две (п — 1)-плоскости пространства Е1!(2п — 1) называются клиффордово параллельными, если расстояние от любой точки одной из ннх до другой плоскости постоянно.
Те оре ма 5.6 (ВанЯ. Ч.), Простпранстпва А и В изоклиничны тпогда и тполько тпогда, когда А и В клиффордово параллельны. Доказательство. Пусть А и В изоклиничны, Π— их точка пересечения. Выберем произвольную точку х Е А и проведем через х плоскость К, полуперпендикулярную как к плоскости А, так и к плоскости В. Пусть у= КГпВ. Угол вектора Ох с плоскостью В равен углу хОу. Этот угол наименьший из Всех углов вида хОг, где г Е В, поэтому расстояние от точки х до плоскости В (в метрике пространства ЕИ(2п — 1)) равно углу хОу. Этот угол не зависит от выбора точки х е А, поскольку плоскости А и В изоклиничиы. Следовательно, плоскости А и В клиффордово параллельны. Приведенное рассуждение очевидным образом обратимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
