М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Гурвица и др., ход его мыслей был поразительно похож на вышеприведенные рассуждения Гурвица. Помимо общеизвестной ситуации, связанной с открытием неевклидовой геометрии, это еще один яркий пример того удивительного феномена в истории науки, когда одна и та же принципиально новая идея практически одновременно и независимо приходит в головы совершенно не связанным между собой ученым. В некотором смысле подход Дирака является более смелым: Гурвиц с самого начала имел в виду матрицы в качестве реализации своей конструкции, а Дирак не представлял себе, к каким математическим объектам ведут его рассуждения. ГГЗ глава з.
матгичное двойное ОтношЕНИЕ 172 2 3. ВпОлне Геодезические подмнОГООБРАзия Приведем здесь кратко линию рассуждений Дирака. Эффект Зеемана — расщепление спектральных линий при излучении атомов, помещенных в магнитное поле, — показывает, что электрон обладает некоторой внутренней степенью свободы. Дирак представлял себе эту степень свободы как момент вращения электрона вокруг своей оси (откуда и происходит термин спин), В современной физике уже никто серьезно не относится к механическим аналогиям, тем не менее они сыграли важную роль в развитии физической теории, а такие лингвистические реликты как спин, орбита н т. п., прочно вошли в обиходную физическую лексику н даже перекочевали из нее в математическую литературу.
Дирак хотел найти адекватный математический аппарат для описания спина. Для этого ему необходимо было извлечь квадратный корень из оператора Лапласа, т. е. найти дифференциальный оператор первого порядка, квадрат которого давал бы оператор Лапласа. С первого взгляда эта задача представляется неразрешимой„поскольку, как мы знаем, многочлен, соответствующий оператору Лапласа, неприводим. Но при страстном стремлении к цели невозможность преодолевается. Дирак записал формальное равенство д дз д2 / д д д 1 — + — + — = ~а — +а — +а — ), дя~ ду2 даз ~, дя ду дз) ' из которого немедленно следуют условия на коэффициенты а1, О2, аЗ.' а, = 1, а1а +ага1=0, 2,2 б(1,2,3).
Присоединение единицы к этим переменным дает клиффордову алгебру (5.10), (5.11). С помощью полученного оператора Дирак записал уравнение для электрона, переменными которого служат спинорные величины: ,ди до ди ди 3 — =о1 +о2 — +оз +Ф7ж. дг 'д* ду дз Впоследствии Паули нашел представление величин а,. в форме матриц После этого исторического отступления вернемся к уравнениям Гурвица и посмотрим, как они применяются к изучению грассмановых многообразий. р 3. Вполне геодезические нодмногообразия многообразий Грассмана Пусть Ж' с Ж", п > з > й.
Тогда й-мерные подпространства, лежащие в Ж', образуют подмногообразие С (Ж') многообразия С (Ж"). Это подмногообразие вполне геодезическое. Мы не будем приводить здесь формального доказательства, потому что сам этот факт достаточно нагляден: если начальная и конечная точки являются подпространствами Ж, то геодезическая многообразия С„($Г) не покидает подпространство Ж это увеличило бы ее длину.
Если при этом 2я > о1, то геодезические линии представляют собой повороты я-плоскости вокруг фиксированного подпространства. В этом параграфе мы обсудим наиболее интересный случай, когда плоскости, соответствующие точкам геодезической, находятся в общем положении, т. е. пересекаются только в начале координат пространства Ж". Для простоты мы будем рассматривать только многообразие С„(Ж2"). Многообразие С„(Ж2") имеет структуру риманова симметрического пространства С„(Ж2") = 0(2о)/(0(о) х 0(о)), для которого 0(2П) является транзитивной группой его изометрий. 2п Замечание. Как симметрическое пространство С„(Ж ) имеет ранг о (определение ранга симметрического пространства см, в (8]).
Поэтому оно не является двухточечно транзитнвным пространством 18]. Это значит, что, вообще говоря, не существу2в ет изометрии <р, которая переводит пару точек А„В, е С (Ж ) з любую другую эквидистантную с ней пару А2, В2 Е С„(Ж "). Напомним, что две пары точек называются эгсвидосгпангаными, если расстояния между точками каждой пары одинаковы: Йзг(А„В1) = ЙЗ1(А2, В, ). Рассмотрим две пары точек Р,Я и Я, Т многообразия 2в С„(Ж2"). Найдем критерий существования изометрии С„(Ж ), переводящей одну из этих пар точек в другую. Для этого нам понадобятся следующие леммы.
175 4 З ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ 174 ГЛАВА к мАТРичное двойное ОтнОшение Л е и и а 5.3. Пустпь координаты плосхостпи Я в нехотпорой хартпе грассманова многообразия С„(Ж "), отпвечающие ортпогональным плоскостям 1~~ и У, задаютпся невы- рожденной матрипей 4~. Тогда ортпогоналъное дополнение к плосхостпи Я в этпой карте задаетпся матрит4ей — (Я~) 1.
Доказательство немедленно следует из условия ортогональности двух плоскостей (5.2). Л е и и а 5,4. Преобразование, хотпорое каждой плоскости Д ставит в соответстпвие ее ортогональное дополнение, и дейстпвие 0(2п) на С„(Ж~") кольнутируютп. Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть Я вЂ” карта на многообразии С„(1ь "). Рассмотрим точки, координаты которых в карте 21 задаются невырождениыми матрицами (т.
е. такие плоскости Я, что Я трансверсально 1тз). Рассмотрим любой элемент д= ( 1 б 0(2п). Имеем I А В~ д: О ('~ В) д=(С+.О®(А+В®-1=Я. Тогда С+ Х?Я = В(А+ ВЯ). Транспонируя, получаем Ст+ т)тттт ~т т17+ т)тВт от Следовательно, (-О')-' = (В'Я' — И')(А'Я' — С")-' = т т — ('А С '1( (В Р/ Итак, (-В')-' = ( 4 В ) (-0')-'. Если в рассматриваемой системе координат бе1 Я = О, то перейдем к другой карте 22, которая получается из й применением преобразования д Е 0(2п).
П Определение. Две пары точек, Р,с~ и Я, Т, назовем эхвивалентпными отпноситпсльно действия 0(2п), если сушествует такая изоиетрия д е 0(2п) иногообразия С„(К~"), что Я = д(Р), Т = д( Я). Те о р е и а 5А, Две пары тпочек Р, Я и Я, Т эхвивалентпны тпогда и только тогда, когда их матричные двойные отноиаения совпадаютп: 11/Чр 1=~0Чзт) Доказательство, Необходимость следует из леммы 5.3 и инвариантности матричного двойного отношения четверки точек. Докажем достаточность этого условия. Доказательство проведем в два этапа. 1. Пусть сначала плоскости Р и Я расположены так, что ни один из векторов одной из этих плоскостей не ортогонален другой плоскости.
Тогда матрица ОЧР, (а значит, и ПЧ ) невы- рождена. Действительно, квадратичная форма для определения углов, определяющая созг чт, в этом случае не имеет нулевых собственных значений, которые соответствовали бы направлениям в одной из плоскостей, ортогональным другой плоскости. Выберем карту Ж, в которой координатами точки Р служит нулевая матрица. Точка Я обязательно попадет в эту карту, так как в силу предложения 5.2 точки многообразия, которые ие лежат в карте 21, состоят из плоскостей, имеющих нетривиальное пересечение с ортогональным дополнением плоскости Р. Обозначим координаты плоскости Я в карте Ф через У. Поскольку группа 0(2п) действует на многообразии С„(1~~") траизитивно, переведем точку 8 в нуль. При этом точка Т перейдет в точку И', которая по тем же причинам должна лежать в карте 21.
В силу инвариантности матричных двойных отношений класс 11зЧ ], представляемый матрицей (1+У У) ', и класс (ОУ,ц ), представляемый матрицей (1+И' Ит) ', совпадают. Следовательно, ИттИ, т ту -1 (5.16) где д б 51(п). поскольку матрицы У~У и иг~ит симметричны и имеют одинаковый спектр, мы можем считать, что д е 0(п). Нам надо найти элемент, принадлежащий стабилизатору плоскости О (т.
е. матрицу (а1 1, ат ~ О(п), (= 1,2), коа2 т тарый переводит 1т в $Ф', т. е. а2Ка1 1= Ит. (5.17) Одно из решений уравнения (5.1?) имеет вид а, = д, а = = И'дЧ '. Проверим, что при де 0(п) матрица а2 окажется орто- 177 ГЛАВА а мАГРичнОе дВОйнОе ОтнОшение 176 $ Э. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОДМНОГООБРАЗНЯ гональной. Равенство ((Ут) а, Ж )(14'а1 У ) =1„есть прямое следствие (5.16) при а, = д. 2. Пусть теперь плоскости Р и (~ расположены так, что по крайней мере один из векторов плоскости Р ортогонален плоскости Я.
Тогда матрица ПЧр, (а значит, и ПЧЕ, ) вырождена. Нетрудно проверить, что размерность линейного надпространства, составленного из векторов плоскости Р, ортогональных плоскости Я, равна размерности ядра матрицы ПЧр . Плоскость 1б имеет нетривиальное пересечение с Р . Поэтому Я не может попасть в ту карту, в которой Р =О.
Малым шевелением плоскости Я можно добиться того, что эта плоскость попадает в карту 21. А именно, выберем последовательность точек Я»- Я такую, что матрицы 1гЧр1 невырождены, т. е. все плоскости Ч» трансверсальны ортогональному дополнению к Р. Из того, что Я -+ Я, следует, что спектр любой матрицы из класса [РЧро ] стремится к спектру матрицы 1зЧр . Рассмотрим множество Ь„, состоящее из матриц Т таких, что [ОЧ ] совпадает с [ОЧр ]. Очевидно, что точка Т является предельной точкой для набора множеств Я».
Следовательно, существует такая последовательность точек Т» ~ Я», что Иш Т = Т. В силу » сю совпадения [РЧр ] и [»)У ] и уже рассмотренного случая доказываемой теоремы существуют такие преобразования д» е О(2п), что д,(Р)=В, д„(О,)=Т„. (5.18) Многообразие О(2п) компактное, поэтому из последовательности преобразований д» можно выбрать сходящуюся подпоследовательность д„— + д е О(2п). Переходя в равенстве (5.18) к пределу, убеждаемся, что пара плоскостей Р, Я эквивалентна паре Я,Т. С) Нам понадобится следующее простое утверждение, связанное с изоклиничными плоскостями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
