М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Утверждение 4.5. 1Тустпь С вЂ” лгатпричнол группа Ла, чт — ес алгебра Ли. Пусть поэффит4иенты правой части А(8) систпелгы диффервнциольньгх уравнений (4.10) принадлежат 1б при всех 4 Е (а, Ь) и начальное значение этой систелгы Хо принадлеггит С. Тогда решение Х(4,Хе, то) пРи всех Ф Е (а, Ь) пРинадлежит С. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку группа С матричная, многообразие С является гладким подмногообразием пространства й . В пространстве В система (4.10) имеет единственное решение. С другой стороны, эту же систему можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений, заданную на группе С. Действительно, при каждом фиксированном значении г Е (а, Ь) векторы А(1)Х правой части уравнения (4.!0) образуют право- инвариантное векторное поле на многообразии С, полученное правым переносом элемента А(г) Е Ф= Т,С во все точки Х е Е С многообразия С.
Это векторное поле гладкое, и система (4.10), рассматриваемая как уравнения, определенные на многообразии С, имеет, и притом единственное, решение, лежащее в С. Очевидно, что оба эти решения совпадают. О ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА Матричное дифференциальное уравнение (4.10) возникает при рассмотрении фундаментальной системы решений векторного дифференциального уравнения х= А(2)х, (4.11) где х й К". Несколько более общие матричные системы — это системы ляпуновского типа Х = Ь(2)Х + ХМ(2), (4.12) где Х, Т, М суть (и х и)-матрицы. Утверждение 4.5 переносится на этот случай почти буквально.
Утверждение 4.6. Пусть коэффициенты правой части систслкьг (4.12) — Т(2) и М(2) — принадлегсат алгебре Ф при всех 2 Е (а, Ь); пусть тангсе Хо Е С. Тогда рсигсние Х(2,Х,, Ф ) б С при всех 1 6(а, Ь). Доказательство. При каждом фиксированном значении 2 б (а, Ь) матрицы Т (2)Х образует правоинвариантное векторное поле на многообразии С. Точно так же ХМ(2) образует левоинвариантное векторное поле. Правая часть системы (4.12) есть сумма касательных векторов в точке Х Е С, следовательно, она также является касательным вектором к многообразию С в точке Х.
Дальнейшие рассуждения полностью аналогичны доказательству утверждения 4.5. П Рассмотрим произвольное представление И группы С, т. е. гомоморфизм группы Ли С в группу линейных операторов, действующих на некотором линейном пространстве У. В силу утверждения 4.6, поток решений уравнения (4.12) на многообразии С х К индуцирует поток на 12(С) х К. В качестве коэффициентов А и М новой системы следует взять их образы при отображении 11И в точке с. 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим естественное представление группы И.(п), при котором эта группа уже реализована как группа линейных преобразований пространства К". Плюккеровы координаты 1с-мерной плоскости, будучи минорами порядка Ь, соответствуют Ь-й внешней степени естественного представления группы ОЦп) (определенне внешней степени представления см. в [23, 57]).
Ассоциированные системы иа грассмановых многообразиях. Для того чтобы описать эволюцию плюккеровых $4. СИСТЕМЫ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ 1Б1 координатах Ь-мерных плоскостей, точки которых переносятся согласно системе (4.11), надо выписать производные миноров, зная, что производные элементов, составляющих эти миноры, удовлетворяют системе (4.11). Это вычисление, которое нам потребуется при изучении комплексных уравнений Риккати, полностью будет проведено в гл. 6. Здесь же мы ограничимся рассмотрением простейшего из нетривиальных случаев — многообразия Лагранжа — Грассмана А(К4).
Пусть хкк(х„хз,х,х ) и у=(у„у,у, у) — два базисных вектора лагранжевой плоскости ку'. Мы хотим найти систему дифференциальных уравнений, которая описывает эволюцию плюккеровых координат этой лагранжевой плоскости в потоке, описываемом гамильтоиовой системой (4.13) Х =Х(2)Х. Тот факт, что система (4.13) гамильтонова, означает, что (4 х 4)-матрица Т,(2) принадлежит 25р(2, К). Обозначим элементы матрицы Х, через Л,,.
Как объяснялось в $1, плюккеровыми координатами плоскости ЬУ' служит шестимерный вектор С = = (с!2 С13, с14 стз С24, сзб), Где с ° — минор матрицы соответствукнций столбцам (1', 2). Дифференцируя эти миноры, нетрудно убедиться, что вектор С удовлетворяет линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с матрицей Л1З вЂ” л л л (4.14) 4! З! 42 +л Аналогичную систему дифференциальных уравнений можно выписать для миноров матрицы порядка Ь, составленной из Ь и-мерных векторов.
Тогда эти миноры (плюккеровы координаты Й-мерной плоскости в п-мерном пространстве) удовлетворяют квадратичным соотношениям (4.3), которые автоматически л„+л л 42 ЛЗ! — Л 41 0 л 11+ ЗЗ Л43 Л2, 0 -л л л л +л 0 л, Л вЂ” л!3 Л \2 0 л +л л — Л вЂ” о О л л +л Л32 б М. И. Зегкккк 162 ГЛАВА 4. МНОГООБРАЗИЯ ГРАССМАНА оказываются интегралами получающейся системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае многообразия С (Ка) эти квадратичные соотношения состоят только из одного уравнения (4.15) У я р а ж н е н и е. Проверьте непосредственным вычислением, что левая часть уравнения (4ЛВ) является верным интегралом системы дифференциальных уравнений с матрнцей (4.14).
Так как плоскость И' лагранжева, то (х,,уи) =- х, из+ т 114— — хзи1 — х Уг =О. В теРминах плюккеРовых кооРдинат это Условие переписывается в виде с1в+ сга =О. Функция С1з+ С24 является первым интегралом системы с матрицей (4.14), если Ь(г) е ар(2, К). Итак, с любой линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка и ассоциируется набор систем дифференциальных уравнений которые описывают эволюцию координат плюккеровых вложений С„(К") — ь КР', где и = Сс, Интегральными многообразиями этих систем являются плюккеровы квадрики. Эти ассоциированные системы соответствуют внешним степеням естественного представления группы И.(п) (см.
[23, 57]). Можно рассматривать и другие представления. Разложению представления на непрнводимые компоненты соответствует операция разделения переменных для обыкновенных дифференциальных уравнений. Возможен и обратный процесс: наличие у линейной системы квадратичных первых интегралов сигнатуры нуль может свидетельствовать о том, что данная система описывает перенос и-плоскостей по некоторой линейной системе меньшего порядка. Это иногда позволяет понизить размерность рассматриваемой системы, оставляя ее линейной. ГЛАВА о МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ Напомним, что при исследовании одномерного дифференциального уравнения Риккати важную роль играет двойное отношение четырех точек, лежащих на проективной прямой (см.
введение, а также [4б, 11]). Проективная природа многообразия С„(К2") позволяет ввести аналогичное понятие, которое окажется столь же полезным прн изучении многомерного уравнения Риккати [95, 107, 117, 17, 91, 111, 18, 19]. В этой главе мы всегда будем предполагать, что рассматриваемые карты на многообразии Грассмана С„(К2") задаются па- РО" й взаимно ортогональных плоскостей 1~~ и Ъ" . ли 1 Матричное двойное отношение на многообразии Грассмана В пространстве Кг" рассмотрим четыре и-мерные плоскости: Р Р, Р, Р. Выберем плоскости 1~~ и и' так, что 1~ трансвер- 2 З т 9( на многообс ь ал на плоскостям Р,..., Р4.
Рассмотрим кар у 11' '3 жа ю разин С„(К "), определяемую плоскостями $ю 1~, содерж щу все четыре плоскости лоскости Р ... Р. Координаты этих плоскостей в карте Я будем обозначать теми же буквами. Л 5.1. Размерностпь пересечения плосностпеб А мы А — В. и В совпадаетп с размерностпью ядра матприт4ьа ложении тпогда и тпольмо тпогда, магда е ( а тельство. Если плоскости А и В имеют нетридоказательс виальное пересечение, то существует такой горизонтальный век- У хфО что (х,Ах)=(х, Вх), т. е.
(А — В)х=О, следовательно, матрица А — В вырождена. Размерность ядр р цы ГЛАВА 3. МАТРИЧНОЕ ДВОИНОЕ ОТНОШЕНИЕ 164 $1 ДВОРДТОЕ ОТНОШЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ ГРАССМАНА 166 А — В равна максимальному числу линейно независимых векторов, лежащих в пересечении А и В. С) Предположим, что плоскости Р, Р и ЄРпопарно находятся в общем положении. В силу леммы 5.1 это означает, что матрицы Р2 — Рз и Р, — Р4 обратимы. По аналогии с формулой двойного отношения для четырех точек проективной прямой составим матрицу ') =(12 — Р1)(РЗ- Р2) '(Р4-Р2)(Р4 — Р1Г' (51) Выясним, как меняется эта матрица при епроективных» преобразованиях, т. е. при действии 5Ц2ы) на многообразии С„(Ж "). Ранее (утверждение 4.4) мы доказали, что группа Я.(2»») порождается преобразованиями: 1) ИГ +%'+А; 2) И ю-»С»т'В, 4)еТВк бе1С; з) Очевидно, что преобразование 1) не меняет 0Ч.
Выясним, как действуют преобразования 2) на двойное отношение. Умножение на В справа приводит к той же матрице; 0Ч(Р! В> РЗВ РЗВ Р4В) =(РЗ вЂ” Р1)ВВ '(Рз Р2) '(Р4 — Р2)ВВ '(Р4 — Р1) 0Ч(~1~ Р2' РЗТ 14)' При умножении на С слева получаем 0Ч(С)1 С~ 2' С~ 3 С~ 4) = С(РЗ вЂ” Р!)(РЗ вЂ” Р2) С С(Р4 — Р2)(Р4 — Р1) С = С 0Ч(Р„Р; Рз, Р ) С ', Таким образом, при преобразованиях 2) имеем 0Ч!-! С0Ч С 1, ') Аббревиатура 1)к происходит ат немецкого термина порре!Тегьанп!м— двойное опвновиение.
т. е. сохраняется класс эквивалентных (относительно сопряжения) матриц. Применяя преобразование 3), получаем 0Ч( — Р ',— Р ';-Р ',-Р ')= Р-1)(Р-1 Р-1)-1 1(РЗ1)РЗ3(32)22(42)44(41)1 = Р! 0Ч(Р! у Р21 Рзь Р4)Р! ° Тем самым доказано, что класс матриц, подобных матрице 0Ч(Р„РТ; Рз, Ра), является инвариантом (отражающим взаимное расположение четверки плоскостей ЄЄР,Р4) относительно действия группы 81.(2т»). В частности, в силу $1 гл. 4 это означает, что указанный класс не зависит от выбора карты 9, т. е.
от выбора плоскостей Чб, $~ . Именно этот класс, обозначаемый через [0Ч(Р1, Рз; Рз, Р4)], и будет называться лса4тарычыым эв ойныле отпноыае44иеле четверки лаотрыч Р! Р2 Рз Р4. Мы будем говорить, что матрица двойного отношения смолл)»на, если 0Ч(Р„Р; Рз, Р) = о 1„, и е Ж. Если 0Ч(Р„Р2; Рз, Р) = — 1, то эту четверку плоскостей будем называть гарлеоничесмой. Так как в этом случае класс матриц, подобных матрице 0Ч, состоит всего из одной матрицы и 1, то определения скалярного двойного отношения и гармонической четверки плоскостей не зависят от выбора представителя из класса подобных матриц. Рассмотрим два и-мерных линейных подпространства (244)-мерного евклидова пространства Ж2", т. е.
две точки, А, В, многообразия С (Ж2") О п р е д е л е н и е. Плоскость А называется изомликычыоб с В, если все векторы ре А образуют с плоскостью В один и тот же угол. Пример 5.1. В) Любые две прямые на плоскости Ж 2 изоклиничны. б) Любые две взаимно ортогональные а-мерные плоскости в евклндовом пространстве Ж2" изоклиничны. У и р а и и е н и е. Выпишите уравнение двух иаокаиничиых плоскостей в пространстве К4, угон между которыми равен к/4.
1 +АГВ=О. или (5.2) (!„+В А)х=(1„+В В)у. у=(1„+В В) ~(1„+В~А)х. (5.5) РУ(( — Ат) ',(-В ) '; В, А). ГЛАВА 5. МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ Найдем условие изоклиничности двух плоскостей. Для этого выберем в многообразии С„(К~") карту, которая определяется двумя ортогональными плоскостями, У и У, в Я~". Сначала рассмотрим случай, когда угол между плоскостями равен я/2. Утвержден ие 5.1. Необходимое и достагпочное условие оргпогональносгпи двух плосносгпеи, А и В, выражаетсл уравнением Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
