М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Плоскости А и В ортогональны в том и только том случае, когда (х, Ах) 1 (у, Ву) для любых х, у е ЕЖ: хту+ хТАТВу хт(1 +АТВ)у — О Следовательно, 1„+АГВ = О. П Для произвольных и-мерных плоскостей рассмотрим матрицу 1„+АГВ. Нетрудно убедиться в том, что справедливо следующее утверждение.
Утвержден ие 5.2. Соотноигение Гк(1„+А В) = п — 1г, 1г < и, (5.3) справедливо тогда и тольно тогда, когда А содержигп подпространство размерности в, перпендикулярное В. Теперь рассмотрим случай изоклнничных плоскостей А н В, когда угол между этими плоскостями равен у < я/2. Тогда Г)Г(1„+А В) = п,.
Утверждение 5.3. Необходимое и досгпагпочное условие изонлиничности плосносгпеб А и В состоигп в том, что (1„+АГА) '(1„+А В)(1„+В В) '(1 +В А)=о!, (5А) где О < о < 1. Если матрицы А и В обратимы, то зто выражение подобно магприце $ Е ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ НА МНОГООБРАЗИИ ГРАССМАНА 167 До к а з а т е л ь с т в о. Спроектируем вектор р = (х, Ях) на плоскость В. Проекцией является такой вектор д = (у, Ву), что разность (х — у; Ах — Ву) ортогональна плоскости В, т. е. для любого г Е УВ имеем гт(х — у)+аГВ (Ах — Ву) =О. Это означает, что х — у+ ВТАх — ВТВу = О, Л е м м а 5.2. Для лтобой магприцы А матрица 1„+АГА симметрична и полозсательно определена. Доказательство.
Матрица 1„+АГА является матрицей положительно определенной квадратичной формы, представляющей скалярный квадрат вектора (х,Ах), принадлежащего плоскости А. П Поскольку!„+В В>О, имеем Обозначим через у угол между векторами р и д. Тогда (х у+х А Ву) — Т Т (хтх+ хТАТАх)(у у+ у ВТВу)' Подставив в это выражение формулу (5.5), получим х (1п+А В)(1„+В В) '(1в+В А)х с05 р— хт(1 +А~А)х Обозначим через Г арифметический квадратный корень из положительно определенной матрицы 1„+А А, т. е. такую положительно определенную симметрическую матрицу Г, что Г = г = 1„+А А. Тогда, обозначив Гх через с', получим ~ Г (1 +А В)(1 +В В) (1 +В А)Г б соз 5Р- стс 1бэ Е 2. КЛИЕЕОРДОВЫ АЛГЕЫ Ы которая равна от ВгВА+Вт'Вз= '6 а' (5.7) подобную матрице 9 2.
Клиффордовы алгебры Ат)-з ( Вт)-1, В А) (5.8) (5.9) е ез = езе„= ео з = 1,..., н, (5АО) (5.11) еое,=е,.ео — — ег, 2=1,...,п> ГЛАВА Ь. МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ Таким образом, углы между плоскостями А и В определяются квадратичной формой с матрицей Г '(1„+А В)(1„+В В) '(1„+В А)Г '.
Полученная матрица подобна матрице Г-'1-'(1 +АтВ)(1 +ВтВ)-'(1 +Вт 1)Г-'Г, (1„+АТА) '(1„+А В)(1„+В В) 1(1„+В А). (5.6) Преобразуем последнее выражение, умножив его слева на (1„+А А), а справа на(1„+А А) 1. Пусть матрицы А и В обратимы. Тогда, вынося множители за скобки, получим матрицу [Ат( — (-Ат)-з) [ [( — ( — Вт)-')-'(Вт)-' [ и „[Вт( 1 ( Вт)-1)[[( 1 ( 1т)-1)-1( ~т)-~[ Плоскости А и В изоклиничны тогда и только тогда, когда созз со = сопзй Следовательно, ОЧ(( — А ) ', ( — В ) ', В, А) = =о 1„, где и =созг а.
П Квадратичную форму с матрицей (5.6) мы будем называть тсвадразтичной формой для определения углов между плоскостями, а саму матрицу обозначать для краткости 1)ЧАВ. 3 а м е ч а н и е. В произвольном (неизоклиничном) случае рассмотрим множество (С е 1~~ ( Я~[= 1). На этом множестве соз у определяется как значение квадратичной формы с матри- 2 цей?АЧА . Из способа построения матрицы (5.6) следует, что матрица ПЧ„э симметрична и ее спектр лежит на отрезке [О, 1[.
Этот спектр задает критические значения функции соз ст, определенной на проективизации плоскости А, т. е. такие значения, при которых происходит перестройка поверхностей уровня функции созз ьт [32[. В частности, минимальное и максимальное собственные значения этой квадратичной формы дают минимальное и максимальное значения угла между плоскостями. Изоклиничиые плоскости играют важную роль при изучении геометрии грассманова многообразия. Так, в работе [120] изучались вполне геодезические подмногообразия Ф многообразия С,(ае~"), характеризуемые следующим свойством: любые два различных элемента 1Ч, рассматриваемые как подпространства ае~", находятся в общем положении.
Было доказано, что )Ч изометрично либо сфере, либо проективному пространству (действительному, комплексному или кватернионному), причем любые два элемента 1Ч соответствуют изоклиничным плоскостям. Обратно: любое множество попарно изоклнничных линейных подпространств можно расширить до вполне геодезического подмногообразия № В этой работе было доказано также, что подпростраиство алгебры Ли, соответствующее вполне геодезическому подмногообразию, имеет базис, составленный из матриц Я„ ... ..., Я„, удовлетворяющих системе уравнений Гурвица О п р е д е л е и и е.
Ассоциативная алгебра, порожденная образующими е, е„..., е„с соотношениями ') называется алгеброй Хлиффорда. Образующими линейного пространства алгебры Клиффорда служат моиомы ее е„.... е, и ч й' У и р а ж н е н и е. Докажите, что размерность алгебрм Клиффорда равна 2". Алгебра, порожденная соотношениями ') Через 6чч обоаначен символ Кроиекера: 6,,=1,6з =Онри г~г'. ГЛАВА Д МАТРИЧНОЕ ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ 1ГО 4 2 клиФФОРДОВы АлГеБРы изоморфна (над полем С) алгебре Клиффорда. Изоморфизм уста- навливаетсЯ Умножением ОбРазУюших ел, и >О, на мнимУю еДнницу «.
Клиффорд открыл этн алгебры, обобщая конструкцию кватернионов, а также под влиянием конструкции алгебр Грассмана [26]. Нетрудно видеть, что, при и= 3 клиффордова алгебра совпадает с алгеброй кватернионов. В силу приведенного определения, очевидно, что матричные уравнения Гурвица (5.7) определяют представление клиффордовой алгебры, при котором образующим ел, я > О, соответствуют кососимметрические матрицы. Адольф Гурвиц пришел к уравнениям (5.10),(5.11), занимаясь задачей о композиции квадратичных форм, получившей впоследствии название Г«робле на Гурвича — Радона. Она формулируется следующим образом. Пусть (х„..., х ), (у„..., у,) — независимые переменные над полем Ж или С. !ребуется ойределить, пзпи каких значениях (р,д) биквадратичная форма (х~+...+ха)(У!+...+У ) допускает представление в виде суммы квадратов д билинейных форм, т.
е. когда имеет место тождество (*! + .. + *Р)(У! +. + У«) — = (з! + .. + Е«), (5.12) где (5.13) л=! 1=1 В случае поля С эта проблема была решена Гурвицем и опубликована после его смерти в статье [88]. Гурвиц доказал, что проблема имеет решение тогда и только тогда, когда: 1) р = 2т + 1, где т = 0 или т =— 3 (ГпоГ! 4), !7 делится на 2', 2) р=2т+1, где те— е ! или тгв2 (Гное 4), дделится на 2'+', 3) р=2т+2, где тее3 (то!! 4), выделится на 2', 4)~ = 2т+ 2, где т = О, т е— е 1 или т гя 2 (Гное 4), д делится на 2' Дж.
Радон получил тот же результат для случая поля В [102]. Впоследствии матричные уравнения Гурвица были использованы Е. Штифелем при решении проблемы нахождения максимального числа линейно независимых в каждой точке векторных полей на сферах [112]. Покажем, как из задачи (5.12), (5.13) возникают уравнения Гурвица. Запишем соотношение (5.12) в матричной форме, обо- значаЯ чеРез Ал матРицУ РазмеРа д х 4 с элементами а«„, где индекс Г! фиксирован: (, <-....~~)1,= (А А )(А А ). Следовательно, АААт 1 ~ АлАт+А Атл=О при !«ф й.
(5.14) Из (5.14), в частности, следует, что матрицы Ал ортогональ- ны и, следовательно, невырождены. Введем теперь вместо Ал «аффинные координаты» В„, «проективнзируя«набор матриц А„: А„=В А, 6=1,...,р — 1, или, что эквивалентно, Вл —— АААт. (5.15) Из второй группы уравнений (5.14) следует, что матрицы Вл кососимметрнческие. Подставив теперь в уравнения (5.14) соотношения (5.15) и используя равенство Вл = — Вл, получаем, что т уравнения Гурвица являются следствием соотношений (5.14).
Другим важным применением клиффордовых алгебр является построение спинорных представлений ортогональных групп, открытых Э. Картаном [68] в контексте общей теории конечно- мерных представлений полупростых алгебр Ли. Название с«лин- предстГ«аале««не (от английского зр«т« — вращение) обязано своим происхождением классическим работам Дирака по теории электрона [73]. Хотя Дирак не был математиком и ничего не знал о работах В. Клиффорда, Э. Картана, А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
