М.И. Зеликин - Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении (1998) (1155773), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пусть два векторных поля, А и В, принадлежат распределению Ж'. Рассмотрим некоторое Ь-мерное интегральное многообразие Ь распределения й'. Тогда во всех точках хе Ь поля А и В касаются Т. Следовательно, их коммутатор также будет касаться Ь (см. гл. 3), и, следовательно, будет принадлежать распределению 14'. Это означает, что распределение Ж инволютивно. Докажем обратное утверждение. Предположим, что распределение В' инволютивно. Проведем индукцию па размерности распределения. Прн й = 1 утверждение о существовании слоения, касающегося данного распределения, вытекает из теоремы существования н единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предположим, чта теорема доказана для распределений с размерностью, не превосходящей в — 1. Докажем ее для распределений размерности Й. Доказательство достаточно проводить в некоторой достаточно малой окрестности У фиксированной точки. Без ограничения общности можно считать, что координаты этой точки равны нулю.
Пусть Х„...,Х вЂ” гладкие векторные поля, образующие базис ннволютивного распределения %'. Поскольку это базис, Х,(О) ф О. В силу теоремы о выпрямлении векторного поля 14, с. 228! в окрестности У можно выбрать такую систему координат, что локальными координатами векторного поля Х, служат функции х, =1,х, =О,..., х, =О. 1 2 Р Соответствующий этому полю дифференциальный оператор д есть —,.
Далее, вместо векторных полей Х,..., Х„построим д!' 283 282 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5 4. РАспРеделения и теОРемА ФРОБениусА поля Хю..., Хы определяемые формулами Хв = Х1 — ~1Х,. Выберем скалярные функции у,.(г) так, чтобы первая координата полей Хв(~) была равна нулю при всех 2 Е 17. Иными словами, вектор Х, «поворачивается» в плоскости Х„Х1 так, чтобы иметь нулевую проекцию на вектор Х,.
Легко видеть, что система векторов Х„ ХЕ,...,Х» остается базисом распределения »У. Рассмотрим сечение У окрестности 17, определяемое уравнением г = О. Поля Х,...,Х касаются сечения У, так как 1 их первая координата равна нулю. Векторы Х,..., ХА Образуют базис (й — 1)-мерного инволютивного распределения Й на сечении У (инволютивность Ж' следует из инволютивности И'). Следовательно, по предположению индукции распределение й' вполне интегрируемо и определяет на У некоторое (я-1)-мерное слоение.
Пусть слои 1, построенного слоения задаются уравнениями У«(»~,..., »")=с,, «=1,...,7в — я+1, (7.28) где константы с=(с„...,с „,) параметризуют множество слоев. Тот факт, что слои 1, касаются распределения 1У, аналитически выражается в том, что производные от функций Гв по направлению векторов Х,. в точках У равны нулю: Х,. (7,.) = О, г е У. (7.29) Через каждую точку сечения У проведем траекторию векторного поля Х,. Траектории, выходящие из точек слоя 1„образуют 1«-мерное многообразие, которое мы обозначим Ь,. В окрестности 11 каждый слой Ь, задается той же системой уравнений (7.28), что и слой 1,. Та, что эти уравнения не зависят ат 2', означает, что слои Ь, суть «цилиндры» по координате 2~. Итак„ мы построили Ьмерное слоение, определенное на (в'.
Докажем, что построенное слоение является интегральным для распределения 1У. Для этого достаточно показать, что производные от функций А по направлениям Х„Х,. равны нулю во всех точках окрестности 1Г. Прежде всего очевидно, что векторное поле Х, касается слоев Ь,. Действительно, по построению ',Х,(Л) = Х,(Х,(Л)), вычтя из него нулевое (в силу формулы (7.30)) слагаемое Х,(Х1(Д)). Тогда —,',,(Х,(0) =(Х„Х,КО (7.31) Воспользуемся инволютивностью распределения УУ. Так как поля Х„Х,..., Х, принадлежат распределению»У, то их коммутаторы также принадлежат Ю. Поскольку эти поля образуют базис $У, найдутся такие функции х,'(2), что 1Х„Х.) = х~.
Х1 + ~ х*.Х,. (7.32) »=2 Подставляя (7.32) в (7.31) и учитывая (7.30), получаем — '1(Х (О) = Е х (Х.(О) »=2 Зафиксируем в равенствах (7.33) индекс «и независимые переменные 7~,..., е". Тогда эти равенства можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций (Х,(71)) от независимого переменного 1'.
Начальные условия для этих функций при 21 = 0 нулевые в силу равенств (7.29). Поскольку система (7.33) линейна и однородна, имеем в силу теоремы единственности (7.33) Х,(71) = О, (7.34) что и доказывает полную интегрируемость распределения »У. П оно касается траекторий, из которых «сотканы» слои Ь,. Фор- мально это выражается в виде равенств Х,(Ц= — =О, д~,. (7.30) которые очевидны, так как функции 11 не зависят от 2 . Для то- 1 го чтобы вычислить производные 71 по остальным направлениям, найдем систему дифференциальных уравнений, которой удовлет- воряют эти производные.
Прн любом й е 77 преобразуем выраже- ние 285 284 ГЛАВА 1. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 5 5. СВЯЗНОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ РАССЛОЕНИИ Рассмотрим случай распределения Иг коразмерности 1. В этом случае распределение тт' задается всего лишь одной дифференциальной 1-формой от.
Легко видеть, что условие инволютнвности распределения тт' (т. е. равенство вы = й Л ю) эквивалентно легко проверяемому условию вот Л ю =О. (7.35) Простым примером не вполне интегрируемой 1-формы в м~ является форма хау+ г(». Легко проверить, что условие (7.35) для этой формы не выполнено. Поэтому не существует двумерного слоения на 1й, слои которого касались бы распределения, з задаваемого формой х«1у+ а».
Это утверждение означает, что не существует семейства двумерных поверхностей, ортогональных семейству интегральных кривых векторного поля (О, х, 1). у 6. Связность в линейном расслоении Пусть тп Е -+ М вЂ” линейное расслоение с и мерным слоем над гладким тп-мерным многообразием М.
Дифференциал отображения тг в точке у е Е задает отображение касательного пространства к Е в точке у в касательное пространство к М в точке тг(у). Ядро этого дифференциала (т. е. множество векторов, касающихся слоя, проходящего через точку у) называется всртикальньгл«подпространстпвол« в точке у. Это надпространство будет обозначаться через 1г(у). Семейство подпространств 11(у) образует гладкое п-мерное распределение на Е. Уп рак н е н не, Об»пените, почему распределение У(у) гладкое и поче.
му оно интегрируемое. О и редел е н и е. Связностпью общего вида ~7 на расслоении тг: Е- М с тп-мерной базой М называется гладкое распределение т-мерных плоскостей на многообразии Е, которое в каждой точке уЕ Е трансверсально к У(у). Плоскости этого распределения называются горизонтальньгл«и подпространствалти и обозначаются через Н(у). Гладкая кривая у = у(й) в Е называется горизонтальной, если любой ее касательный Вектор горизонтален, т. е. у'(Б) Е Н(у(й)). Из определения следует, что касательное пространство Т„Е к многообразию Е в любой точке у является прямой суммой горизонтальной и вертикальной плоскостей Т Е = Н(у)8 T(у), поэтому любой касательный вектор к многообразию Е однозначно разлагается на горизонтальную и вертикальную составляющие. Лемма 7.2.
Нустпь в расслоении тг: Е-+М задана оБщая связность и г(д) — некоторая кривая на бпзс М. Тогда для любой тпочки уз Е Е такой, чтпо тгу = г(0) и для любого достаточно малого участпка кривом г(й) (О < й < < 6), найдстпся лишь одна горизонтпальная кривая 'у(й) е Е Е, начинаюирдяся в точке уз = 7(0) и просктпирующпяся на г(В): у(в) = г(в). До к аз а тел ьст в о. Достаточно малый отрезок гладкой кривой можно считать несамопересекающимся. Ограничим расслоение на кривую 1(й). Тогда базой получившегося расслоения будет кривая 1(й), а слоями — слои исходного расслоения тг 'г(й), лежащие над точками кривой г(й). Поскольку база нового расслоения одномерна, горизонтальные направления связности в расслоении Е порождают (или «высекают») одномерные горизонтальные направления в расслоении Е„„над кривой г(о).
Интегральные траектории этого поля горизонтальных направлений, и талька они, будут горизонтальными кривыми расслоения Е,, Применение стандартных теорем существования н едннствеййости решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений завершает доказательство леммы. О Определенная кривая у называется накрывающил«путсл« для кривой г(й). Замечание. В лемме 7.2 рассматривается малый участок кривой г(9), потому что горизонтальные кривые общей связности могут за конечное время уйти на бесконечность.
В этом случае накрывающий путь не будет определен. Ниже мы рассмотрим естественное условие, исключающее возможность ухода горизонтальной кривой на бесконечность за конечное время. Предположим пока, что горизонтальные кривые не уходят на бесконечность за конечное время. Тогда при помощи леммы 7.2 для любого гладкого пути г(б), (д < д < О,) можно определить отображение у, е слоя тг ' г(йо) 288 ГЛАВА 7. МНОГОМЕРНОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 287 $ к связность В линеЙнОм РАсслоении х =%(г(0), х)г(0). (7.36) в слой я г(0 ), которое называется параллельным переносом слоя вдоль пути г(0). В силу гладкой зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных данных отображение р гладкое.
Далее, отображение у не зависит от параметризацни пути г(0). Действительно, изменение параметризации меняет лишь длину касательного вектора, сохраняя его направление, что не влияет на отображение уцг>. О пределе н ие. Связность в векторном расслоении называется линейнойв если парзллельный перенос вдоль любой кривой является линейным отображением слоев. 3 а м е ч а н н е. В этом определении линейное отображение слоев согласовано со структурной группой векторного расслоения. Опишем операцию параллельного переноса в локальных координатах расслоения Е. Пусть с = (е~,..., г ) — локальные координаты на лг, а х= (х',..., х") — координаты на слое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
